En teoría de control y teoría de la estabilidad , el criterio de estabilidad de Nyquist o el criterio de estabilidad de Strecker-Nyquist , descubierto independientemente por el ingeniero eléctrico alemán Felix Strecker en Siemens en 1930 [1] [2] [3] y el ingeniero eléctrico sueco-estadounidense Harry Nyquist en Bell Telephone Laboratories en 1932, [4] es una técnica gráfica para determinar la estabilidad de un sistema dinámico . Porque solo mira la trama de Nyquistde los sistemas de bucle abierto, se puede aplicar sin calcular explícitamente los polos y ceros del sistema de bucle cerrado o de bucle abierto (aunque se debe conocer el número de cada tipo de singularidades del semiplano derecho). Como resultado, se puede aplicar a sistemas definidos por funciones no racionales , como sistemas con retrasos. A diferencia de los diagramas de Bode , puede manejar funciones de transferencia con singularidades de semiplano derecho. Además, existe una generalización natural a sistemas más complejos con múltiples entradas y múltiples salidas , como los sistemas de control para aviones.
El criterio de Nyquist se utiliza ampliamente en la ingeniería de sistemas de control y electrónica , así como en otros campos, para diseñar y analizar sistemas con retroalimentación . Si bien Nyquist es una de las pruebas de estabilidad más generales, todavía está restringida a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Los sistemas no lineales deben utilizar criterios de estabilidad más complejos , como Lyapunov o el criterio del círculo . Si bien Nyquist es una técnica gráfica, solo proporciona una cantidad limitada de intuición sobre por qué un sistema es estable o inestable, o cómo modificar un sistema inestable para que sea estable. Técnicas como los diagramas de Bode, aunque menos generales, a veces son una herramienta de diseño más útil.
Parcela de Nyquist
Un gráfico de Nyquist es un gráfico paramétrico de una respuesta de frecuencia que se utiliza en el control automático y el procesamiento de señales . El uso más común de los gráficos de Nyquist es evaluar la estabilidad de un sistema con retroalimentación . En coordenadas cartesianas , la parte real de la función de transferencia se traza en el eje X. La parte imaginaria se traza en el eje Y. La frecuencia se barre como parámetro, lo que da como resultado un gráfico por frecuencia. La misma gráfica se puede describir usando coordenadas polares , donde la ganancia de la función de transferencia es la coordenada radial y la fase de la función de transferencia es la coordenada angular correspondiente. La trama de Nyquist lleva el nombre de Harry Nyquist , un ex ingeniero de Bell Laboratories .
La evaluación de la estabilidad de un sistema de retroalimentación negativa de circuito cerrado se realiza aplicando el criterio de estabilidad de Nyquist al gráfico de Nyquist del sistema de circuito abierto (es decir, el mismo sistema sin su circuito de retroalimentación ). Este método es fácilmente aplicable incluso para sistemas con retrasos y otras funciones de transferencia no racionales, que pueden parecer difíciles de analizar con otros métodos. La estabilidad se determina observando el número de cercos del punto (-1, 0). El rango de ganancias sobre el cual el sistema será estable se puede determinar observando los cruces del eje real.
El gráfico de Nyquist puede proporcionar información sobre la forma de la función de transferencia. Por ejemplo, el gráfico proporciona información sobre la diferencia entre el número de ceros y polos de la función de transferencia [5] por el ángulo en el que la curva se acerca al origen.
Cuando se dibuja a mano, a veces se usa una versión de dibujos animados del gráfico de Nyquist, que muestra la linealidad de la curva, pero donde las coordenadas están distorsionadas para mostrar más detalles en las regiones de interés. Cuando se traza computacionalmente, se debe tener cuidado de cubrir todas las frecuencias de interés. Por lo general, esto significa que el parámetro se barre logarítmicamente para cubrir una amplia gama de valores.
Fondo
Consideramos un sistema cuya función de transferencia es ; cuando se coloca en un circuito cerrado con retroalimentación negativa, la función de transferencia de bucle cerrado (CLTF) se convierte. La estabilidad se puede determinar examinando las raíces del polinomio del factor de desensibilidad., por ejemplo, usando la matriz de Routh , pero este método es algo tedioso. También se pueden llegar a conclusiones examinando la función de transferencia de bucle abierto (OLTF), utilizando sus diagramas de Bode o, como aquí, su diagrama polar utilizando el criterio de Nyquist, como sigue.
Cualquier función de transferencia de dominio de Laplacese puede expresar como la proporción de dos polinomios :
Las raices de se llaman los ceros de, y las raíces de son los polos de. Los polos detambién se dice que son las raíces de la ecuación característica .
La estabilidad de está determinada por los valores de sus polos: para la estabilidad, la parte real de cada polo debe ser negativa. Si se forma cerrando un bucle de retroalimentación de unidad negativa alrededor de la función de transferencia de bucle abierto , entonces las raíces de la ecuación característica son también los ceros de , o simplemente las raíces de .
Principio del argumento de Cauchy
De un análisis complejo , un contorno dibujado en el complejo plano, que abarca pero no pasa por ningún número de ceros y polos de una función , se puede asignar a otro plano (llamado plano) por la función . Precisamente, cada punto complejo en el contorno está mapeado al punto en el nuevo plano dando un nuevo contorno.
La trama de Nyquist de , que es el contorno rodeará el punto de El avión tiempos, donde por el principio del argumento de Cauchy . Aquí y son, respectivamente, el número de ceros de y polos de dentro del contorno . Tenga en cuenta que contamos los cercos en el plano en el mismo sentido que el contorno y que los cercos en la dirección opuesta son cercos negativos . Es decir, consideramos que los cercos en el sentido de las agujas del reloj son positivos y los cercos en el sentido contrario a las agujas del reloj son negativos.
En lugar del principio del argumento de Cauchy, el artículo original de Harry Nyquist en 1932 utiliza un enfoque menos elegante. El enfoque que se explica aquí es similar al enfoque utilizado por Leroy MacColl (Teoría fundamental de los servomecanismos, 1945) o por Hendrik Bode (Análisis de redes y diseño de amplificadores de retroalimentación, 1945), quienes también trabajaron para Bell Laboratories . Este enfoque aparece en la mayoría de los libros de texto modernos sobre teoría del control.
El criterio de Nyquist
Primero construimos el contorno de Nyquist , un contorno que abarca la mitad derecha del plano complejo:
- un camino que viaja por el eje, desde a .
- un arco semicircular, con radio , que comienza en y viaja en el sentido de las agujas del reloj para .
El contorno de Nyquist mapeado a través de la función produce una parcela de en el plano complejo. Según el principio de argumento, el número de cercos en sentido horario del origen debe ser el número de ceros de en el plano complejo de la mitad derecha menos el número de polos de en el plano complejo de la mitad derecha. Si, en cambio, el contorno se mapea a través de la función de transferencia de bucle abierto, el resultado es el diagrama de Nyquist de. Contando los cercos del contorno resultante de -1, encontramos la diferencia entre el número de polos y ceros en el plano complejo de la mitad derecha de. Recordando que los ceros de son los polos del sistema de circuito cerrado, y observando que los polos de son los mismos que los polos de , ahora establecemos el Criterio de Nyquist :
Dado un contorno de Nyquist , dejar ser el número de polos de rodeado por , y ser el número de ceros de rodeado por . Alternativamente, y lo que es más importante, si es el número de polos del sistema de bucle cerrado en el semiplano derecho, y es el número de polos de la función de transferencia de bucle abierto en el semiplano derecho, el contorno resultante en el -avión, rodeará (en el sentido de las agujas del reloj) el punto veces tales que .
Si el sistema es originalmente inestable en bucle abierto, es necesaria la retroalimentación para estabilizar el sistema. Los polos del semiplano derecho (RHP) representan esa inestabilidad. Para la estabilidad de lazo cerrado de un sistema, el número de raíces de lazo cerrado en la mitad derecha del plano s debe ser cero. Por lo tanto, el número de cercos en sentido antihorario sobredebe ser igual al número de polos de bucle abierto en el RHP. Cualquier cerco en el sentido de las agujas del reloj del punto crítico por la respuesta de frecuencia de lazo abierto (cuando se juzga de baja frecuencia a alta frecuencia) indicaría que el sistema de control de retroalimentación se desestabilizaría si el lazo estuviera cerrado. (El uso de ceros RHP para "cancelar" los polos RHP no elimina la inestabilidad, sino que asegura que el sistema permanecerá inestable incluso en presencia de retroalimentación, ya que las raíces de bucle cerrado viajan entre polos de bucle abierto y ceros en presencia De hecho, el RHP cero puede hacer que el polo inestable no se pueda observar y, por lo tanto, no se pueda estabilizar mediante la retroalimentación).
El criterio de Nyquist para sistemas con polos en el eje imaginario
La consideración anterior se realizó con el supuesto de que la función de transferencia de bucle abierto no tiene ningún polo en el eje imaginario (es decir, polos de la forma ). Esto resulta del requisito del principio del argumento de que el contorno no puede atravesar ningún polo de la función de mapeo. El caso más común son los sistemas con integradores (polos en cero).
Para poder analizar sistemas con polos sobre el eje imaginario, se puede modificar el contorno de Nyquist para evitar pasar por el punto . Una forma de hacerlo es construir un arco semicircular con radio alrededor , que comienza en y viaja en sentido antihorario para . Tal modificación implica que el fasor viaja a lo largo de un arco de radio infinito por , dónde es la multiplicidad del polo sobre el eje imaginario.
Derivación matemática
Nuestro objetivo es, a través de este proceso, verificar la estabilidad de la función de transferencia de nuestro sistema de retroalimentación unitaria con ganancia k , que viene dada por
Es decir, nos gustaría comprobar si la ecuación característica de la función de transferencia anterior, dada por
tiene ceros fuera del semiplano izquierdo abierto (normalmente inicializado como OLHP).
Suponemos que tenemos un contorno en el sentido de las agujas del reloj (es decir, orientado negativamente) encerrando el semiplano derecho, con muescas según sea necesario para evitar pasar por ceros o polos de la función . El principio del argumento de Cauchy establece que
Dónde denota el número de ceros de encerrado por el contorno y denota el número de polos de por el mismo contorno. Reorganizando, tenemos, que es decir
Luego notamos que tiene exactamente los mismos polos que . Por lo tanto, podemos encontrar contando los polos de que aparecen dentro del contorno, es decir, dentro del semiplano derecho abierto (ORHP).
Ahora reorganizaremos la integral anterior mediante sustitución. Es decir, estableciendo, tenemos
Luego hacemos una sustitución adicional, configurando . Esto nos da
Ahora notamos que nos da la imagen de nuestro contorno bajo , es decir, nuestra trama de Nyquist . Podemos reducir aún más la integral
aplicando la fórmula integral de Cauchy . De hecho, encontramos que la integral anterior corresponde precisamente al número de veces que la gráfica de Nyquist rodea el puntoagujas del reloj. Por lo tanto, finalmente podemos afirmar que
Así encontramos que como se define arriba corresponde a un sistema estable de retroalimentación unitaria cuando , como se evaluó anteriormente, es igual a 0.
Resumen
- Si la función de transferencia de bucle abierto tiene un polo cero de multiplicidad , entonces el diagrama de Nyquist tiene una discontinuidad en . Durante un análisis más detallado, se debe suponer que el fasor viajaveces en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de un semicírculo de radio infinito. Después de aplicar esta regla, los polos cero deben despreciarse, es decir, si no hay otros polos inestables, entonces la función de transferencia de bucle abierto debe considerarse estable.
- Si la función de transferencia de bucle abierto es estable, entonces el sistema de circuito cerrado es inestable para cualquier cerco del punto -1.
- Si la función de transferencia de bucle abierto es inestable , entonces debe haber un contador de cerco -clockwise de -1 para cada polo de en la mitad derecha del plano complejo.
- El número de cercos excedentes ( N + P mayor que 0) es exactamente el número de polos inestables del sistema de circuito cerrado.
- Sin embargo, si la gráfica pasa por el punto , entonces decidir incluso sobre la estabilidad marginal del sistema se vuelve difícil y la única conclusión que se puede sacar del gráfico es que existen ceros en el eje.
Ver también
- Estabilidad BIBO
- Diagrama de Bode
- Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
- Ganar margen
- Parcela de Nichols
- Círculos de pasillo
- Margen de fase
- Criterio de estabilidad de Barkhausen
- Criterio circular
- Ingeniería de control
- Valor singular de Hankel
Referencias
- ^ Reinschke, Kurt (2014). "Capítulo 4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist" . Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (en alemán) (2 ed.). Springer-Verlag . pag. 184. ISBN 978-3-64240960-8. Consultado el 14 de junio de 2019 .
- ^ Bissell, Christopher C. (2001). "Inventar la 'caja negra': las matemáticas como una tecnología habilitadora olvidada en la historia de la ingeniería de las comunicaciones" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 14 de junio de 2019 . Consultado el 14 de junio de 2019 .
- ^ Strecker, Felix (1947). Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke (en alemán). Stuttgart, Alemania: S. Hirzel Verlag . (NB. Los trabajos anteriores se pueden encontrar en la sección de literatura).
- ^ Nyquist, Harry (enero de 1932). "Teoría de la regeneración" . Revista técnica de Bell System . EE.UU .: American Telephone and Telegraph Company (AT&T). 11 (1): 126-147. doi : 10.1002 / j.1538-7305.1932.tb02344.x .
- ↑ Nyquist Plots Archivado el 30 de septiembre de 2008 en la Wayback Machine.
Otras lecturas
- Faulkner, EA (1969): Introducción a la teoría de sistemas lineales ; Chapman & Hall; ISBN 0-412-09400-2
- Pippard, AB (1985): Respuesta y estabilidad ; Prensa de la Universidad de Cambridge; ISBN 0-521-31994-3
- Gessing, R. (2004): Control fundamentals ; Universidad Tecnológica de Silesia; ISBN 83-7335-176-0
- Franklin, G. (2002): Control de retroalimentación de sistemas dinámicos ; Prentice Hall, ISBN 0-13-032393-4
enlaces externos
- Applets con parámetros modificables
- EIS Spectrum Analyzer: un programa gratuito para el análisis y simulación de espectros de impedancia
- Función MATLAB para crear un diagrama de Nyquist de una respuesta de frecuencia de un modelo de sistema dinámico.
- Modelado de gráficos PID Nyquist : herramienta virtual interactiva gratuita, simulador de circuito de control
- Función de Mathematica para crear la gráfica de Nyquist