En geometría algebraica , el grupo Néron-Severi de una variedad es el grupo de divisores módulo de equivalencia algebraica ; en otras palabras, es el grupo de componentes del esquema Picard de una variedad. Su rango se llama número Picard . Lleva el nombre de Francesco Severi y André Néron .
Definición
En los casos de mayor importancia para la geometría algebraica clásica, para una variedad completa V que no es singular , el componente conectado del esquema de Picard es una variedad abeliana escrita
- Imagen 0 ( V ).
El cociente
- Imagen ( V ) / Imagen 0 ( V )
es un grupo abeliano NS ( V ), llamado el grupo Néron-Severi de V . Este es un grupo abeliano generado finitamente por el teorema de Néron-Severi, que fue probado por Severi sobre los números complejos y por Néron sobre campos más generales.
En otras palabras, el grupo Picard encaja en una secuencia exacta
El hecho de que el rango sea finito es el teorema de la base de Francesco Severi ; el rango es el número de Picard de V , a menudo denotado ρ ( V ). Los elementos de orden finito se denominan divisores de Severi y forman un grupo finito que es un invariante biracional y cuyo orden se denomina número de Severi . Geométricamente NS ( V ) describe las clases de equivalencia algebraica de divisores en V ; es decir, utilizando una relación de equivalencia no lineal más fuerte en lugar de la equivalencia lineal de divisores , la clasificación se vuelve susceptible de invariantes discretos. La equivalencia algebraica está estrechamente relacionada con la equivalencia numérica , una clasificación esencialmente topológica por números de intersección .
2ciclos de primera clase Chern e integrales valorados
La secuencia exponencial de la gavilla
da lugar a una larga secuencia exacta con
La primera flecha es la primera clase Chern en el grupo Picard.
y el grupo Neron-Severi se puede identificar con su imagen. De manera equivalente, por exactitud, el grupo Neron-Severi es el núcleo de la segunda flecha
En el caso complejo, el grupo Neron-Severi es, por tanto, el grupo de 2-cociclos cuyo dual de Poincaré está representado por una hipersuperficie compleja, es decir, un divisor de Weil .
Referencias
- VA Iskovskikh (2001) [1994], "Grupo Néron-Severi" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- A. Néron, Problèmes arithmétiques et géometriques agregado a la noción de rang d'une courbe algébrique dans un corps Bull. Soc. Matemáticas. Francia, 80 (1952) págs. 101-166
- A. Néron, La théorie de la base pour les diviseurs sur les variétés algébriques , Coll. Géom. Alg. Lieja, G. Thone (1952) págs. 119-126
- F. Severi, La base per le varietà algebriche di dimensione qualunque contenute in una data e la teoria generale delle corrispondénze fra i punti di due superficie algebriche Mem. Accad. Ital., 5 (1934) págs. 239-283