En matemáticas , el grupo Picard de un espacio anillado X , denotado por PIC ( X ), es el grupo de isomorfismo clases de poleas invertibles (o haces de línea) de X , con la operación de grupo siendo tensor producto . Esta construcción es una versión global de la construcción del grupo de clase divisor, o grupo de clase ideal , y se usa mucho en la geometría algebraica y la teoría de variedades complejas .
Alternativamente, el grupo Picard se puede definir como la cohomología gavilla grupo
Para esquemas integrales, el grupo Picard es isomorfo al grupo de clases de divisores de Cartier . Para variedades complejas, la secuencia exponencial de la gavilla proporciona información básica sobre el grupo Picard.
El nombre es en honor a las teorías de Émile Picard , en particular a los divisores en superficies algebraicas .
Ejemplos de
- El grupo Picard del espectro de un dominio Dedekind es su grupo de clase ideal .
- Las poleas invertibles en espacio proyectivo P n ( k ) para k un campo , son las de torsión poleas por lo que el grupo de Picard de P n ( k ) es isomorfo a Z .
- El grupo de Picard de la línea afín con dos orígenes sobre k es isomorfo a Z .
- El grupo Picard del -Espacio afín complejo dimensional :, de hecho, la secuencia exponencial produce la siguiente secuencia larga exacta en cohomología
y desde [1] tenemos porque es contráctil, entonces y podemos aplicar el isomorfismo de Dolbeault para calcularpor el lema Dolbeault-Grothendieck .
Esquema de picard
La construcción de una estructura de esquema en ( versión functor representable de) el grupo Picard, el esquema Picard , es un paso importante en la geometría algebraica, en particular en la teoría de la dualidad de las variedades abelianas . Fue construido por Grothendieck & 1961/62 , y también descrito por Mumford (1966) y Kleiman (2005) . La variedad Picard es dual con la variedad albanesa de geometría algebraica clásica.
En los casos de mayor importancia para la geometría algebraica clásica, para una variedad completa no singular V sobre un campo de característica cero, el componente conectado de la identidad en el esquema de Picard es una variedad abeliana escrita Pic 0 ( V ). En el caso particular en que V es una curva, este componente neutral es la variedad jacobiana de V . Sin embargo, para campos de característica positiva, Igusa construyó un ejemplo de una superficie proyectiva lisa S con Pic 0 ( S ) no reducido y, por lo tanto, no una variedad abeliana .
El cociente PIC ( V ) / Pico 0 ( V ) es un grupo abeliano finitamente generado- denota NS ( V ), el grupo Néron-Severi de V . En otras palabras, el grupo Picard encaja en una secuencia exacta
El hecho de que el rango de NS ( V ) sea finito es el teorema de la base de Francesco Severi ; el rango es el número de Picard de V , a menudo denotado ρ ( V ). Geométricamente NS ( V ) describe las clases de equivalencia algebraica de divisores en V ; es decir, utilizando una relación de equivalencia no lineal más fuerte en lugar de la equivalencia lineal de divisores , la clasificación se vuelve susceptible de invariantes discretas. La equivalencia algebraica está estrechamente relacionada con la equivalencia numérica , una clasificación esencialmente topológica por números de intersección .
Esquema relativo de Picard
Sea f : X → S un morfismo de esquemas. El functor relativo de Picard (o el esquema de Picard relativo si es un esquema) viene dado por: [2] para cualquier S -esquema T ,
dónde es el cambio de base de f y f T * es la presión de regreso.
Decimos una L entiene grado r si para cualquier punto geométrico s → T el retrocesode L a lo largo de s tiene el grado r como una gavilla invertible sobre la fibra X s (cuando el grado se define para el grupo Picard de X s ).
Ver también
- Cohomología de la gavilla
- Variedad de chow
- Divisor cartier
- Paquete de líneas holomórficas
- Grupo de clase ideal
- Grupo de clase Arakelov
- Pila de grupo
- Categoría Picard
Notas
- ^ Cohomología de la gavilla # Cohomología de la gavilla con coeficientes constantes
- ^ Kleiman 2005 , definición 9.2.2.
Referencias
- Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence , Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, habla no. 232, págs. 143-161
- Grothendieck, A. (1962), VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales , Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, habla no. 236, págs. 221–243
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 , OCLC 13348052
- Igusa, Jun-Ichi (1955), "Sobre algunos problemas de geometría algebraica abstracta", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 41 (11): 964–967, Código Bib : 1955PNAS ... 41..964I , doi : 10.1073 / pnas.41.11.964 , PMC 534315 , PMID 16589782
- Kleiman, Steven L. (2005), "El esquema de Picard", Geometría algebraica fundamental , Matemáticas. Surveys Monogr., 123 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 235–321, arXiv : math / 0504020 , Bibcode : 2005math ...... 4020K , MR 2223410
- Mumford, David (1966), Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6, MR 0209285 , OCLC 171541070
- Mumford, David (1970), variedades abelianas , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290