El Octacube es una gran escultura de acero inoxidable que se exhibe en el departamento de matemáticas de la Universidad Estatal de Pensilvania en State College, PA . La escultura representa un objeto matemático llamado 24 celdas u "octacubo". Debido a que una celda real de 24 celdas es de cuatro dimensiones , la obra de arte es en realidad una proyección en el mundo tridimensional.
Octacube tiene una simetría intrínseca muy alta , que coincide con las características de la química ( simetría molecular ) y la física ( teoría cuántica de campos ).
La escultura fue diseñada por Adrian Ocneanu, profesor de matemáticas en la Universidad Estatal de Pensilvania . El taller de maquinaria de la universidad pasó más de un año completando el intrincado trabajo en metal. Octacube fue financiado por una exalumna en memoria de su esposo, Kermit Anderson, quien murió en los ataques del 11 de septiembre .
Obra de arte
El esqueleto de metal del Octacube mide aproximadamente 6 pies (2 metros) en las tres dimensiones. Es una disposición compleja de bridas de tres esquinas sin pintar. La base es un bloque de granito de 3 pies (1 metro) de altura, con algunos grabados. [1]
La obra de arte fue diseñada por Adrian Ocneanu, profesor de matemáticas de Penn State. Proporcionó las especificaciones para las 96 piezas triangulares de acero inoxidable de la escultura y para su montaje. La fabricación fue realizada por el taller de máquinas de Penn State, dirigido por Jerry Anderson. El trabajo tomó más de un año e incluyó doblar y soldar, así como cortar. Al discutir la construcción, Ocneanu dijo: [1]
Es muy difícil hacer que 12 láminas de acero se unan de manera perfecta y conforme en cada uno de los 23 vértices, sin dejar rastros de soldadura. Las personas que lo construyeron son realmente expertos y perfeccionistas de clase mundial: artistas de acero.
Debido al metal reflectante en diferentes ángulos, la apariencia es agradablemente extraña. En algunos casos, las superficies similares a espejos crean una ilusión de transparencia al mostrar reflejos de lados inesperados de la estructura. El creador matemático de la escultura comentó: [1]
Cuando vi la escultura real, me quedé bastante impresionado. Nunca imaginé el juego de luces en las superficies. Hay efectos ópticos sutiles que puedes sentir pero que no puedes identificar.
- Vistas del Octacube desde múltiples ángulos
Interpretación
Formas regulares
Los sólidos platónicos son formas tridimensionales con una simetría especial y alta . Son el siguiente paso en dimensión de los polígonos regulares bidimensionales (cuadrados, triángulos equiláteros, etc.). Los cinco sólidos platónicos son el tetraedro (4 caras), el cubo (6 caras), el octaedro (8 caras), el dodecaedro (12 caras) y el icosaedro (20 caras). Se conocen desde la época de los antiguos griegos y se valoran por su atractivo estético e importancia filosófica, incluso mística. (Véase también el Timeo , un diálogo de Platón .)
Los sólidos platónicos | ||||
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Tetraedro | Cubo | Octaedro | Dodecaedro | Icosaedro |
En dimensiones superiores, las contrapartes de los sólidos platónicos son los politopos regulares . Estas formas fueron descritas por primera vez a mediados del siglo XIX por un matemático suizo, Ludwig Schläfli . En cuatro dimensiones, hay seis : el pentacoron ( 5 celdas ), el tesseract ( 8 celdas ), el hexadecachoron ( 16 celdas ), el octacube ( 24 celdas ), el hecatonicosachoron ( 120 celdas ) y el hexacosichoron ( 600 celdas ).
La celda de 24 consta de 24 octaedros , unidos en un espacio de 4 dimensiones. La figura del vértice de 24 celdas (la forma tridimensional que se forma cuando se corta una esquina de cuatro dimensiones) es un cubo. A pesar de su nombre sugerente, el octacubo no es el análogo 4-D ni del octaedro ni del cubo. De hecho, es el único de los seis politopos regulares 4-D que carece de un sólido platónico correspondiente. [nota 1]
Intenta imaginarse las 24 celdas | ||
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Diagrama de Schlegel | Rotación en 4 dimensiones |
Proyecciones
Ocneanu explica el desafío conceptual al trabajar en la cuarta dimensión: [1] "Aunque los matemáticos pueden trabajar con una cuarta dimensión de manera abstracta agregando una cuarta coordenada a las tres que usamos para describir un punto en el espacio, una cuarta dimensión espacial es difícil de entender. visualizar."
Aunque es imposible ver o hacer objetos de 4 dimensiones, es posible mapearlos en dimensiones más bajas para obtener algunas impresiones de ellos. Una analogía para convertir las 24 celdas 4-D en su escultura 3-D es la proyección cartográfica , donde la superficie de la Tierra 3-D (o un globo) se reduce a un plano 2-D plano (un mapa portátil). Esto se hace con luz 'proyectando una sombra' desde el globo hacia el mapa o con alguna transformación matemática. Existen muchos tipos diferentes de proyección de mapas: el familiar Mercator rectangular (utilizado para la navegación), el gnomónico circular (primera proyección inventada) y varios otros. Todos tienen limitaciones en el sentido de que muestran algunas características de manera distorsionada ("no se puede aplanar una cáscara de naranja sin dañarla"), pero son ayudas visuales útiles y referencias convenientes.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Stereographic_polytope_24cell_faces.png/220px-Stereographic_polytope_24cell_faces.png)
De la misma manera que el exterior de la Tierra es una piel en 2-D (doblada hacia la tercera dimensión), el exterior de una forma de 4 dimensiones es un espacio en 3-D (pero doblado a través del hiperespacio, la cuarta dimensión). Sin embargo, así como la superficie del globo terrestre no se puede mapear en un plano sin algunas distorsiones, tampoco puede la forma 3-D exterior de la hiperforma 4-D de 24 celdas. En la imagen de la derecha se muestra una celda de 24 proyectada en el espacio como un objeto 3-D (y luego la imagen es una representación en 2-D, con perspectiva para ayudar al ojo). Algunas de las distorsiones:
- Líneas de borde curvas: son rectas en cuatro dimensiones, pero la proyección en una dimensión inferior hace que parezcan curvas (se producen efectos similares al cartografiar la Tierra).
- Es necesario utilizar caras semitransparentes debido a la complejidad del objeto, por lo que se ven las muchas "cajas" (celdas octaédricas).
- Solo se ven claramente 23 celdas. La celda 24 es el "exterior hacia dentro", todo el espacio exterior alrededor del objeto visto en tres dimensiones.
Para mapear las 24 celdas, Ocneanu usa una proyección relacionada que él llama proyección estereográfica radial en ventana . Al igual que con la proyección estereográfica, hay líneas curvas que se muestran en el espacio 3-D. En lugar de utilizar superficies semitransparentes, se cortan "ventanas" en las caras de las celdas para que se puedan ver las celdas interiores. Además, solo 23 vértices están físicamente presentes. El vértice 24 "ocurre en el infinito" debido a la proyección; lo que uno ve son las 8 piernas y brazos de la escultura que divergen hacia afuera desde el centro de la escultura tridimensional. [1]
Simetría
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/19/Sphere_symmetry_group_oh.png/220px-Sphere_symmetry_group_oh.png)
La escultura Octacube tiene una simetría muy alta. La estructura de acero inoxidable tiene la misma cantidad de simetría que un cubo o un octaedro. La obra de arte se puede visualizar como relacionada con un cubo: los brazos y piernas de la estructura se extienden hasta las esquinas. Imaginar un octaedro es más difícil; implica pensar en las caras del cubo visualizado que forman las esquinas de un octaedro. El cubo y el octaedro tienen la misma cantidad y tipo de simetría: simetría octaédrica , llamada O h (orden 48) en notación matemática. Algunos, pero no todos, los elementos de simetría son
- 3 ejes de rotación cuádruple diferentes (uno a través de cada par de caras opuestas del cubo visualizado): arriba / abajo, adentro / afuera e izquierda / derecha como se ve en la fotografía
- 4 ejes de rotación triples diferentes (uno a través de cada par de esquinas opuestas del cubo [a lo largo de cada uno de los pares opuestos de brazo / pierna])
- 6 ejes de rotación de dos pliegues diferentes (uno a través del punto medio de cada borde opuesto del cubo visualizado)
- 9 planos de espejo que bisecan el cubo visualizado
- 3 que lo cortan arriba / abajo, izquierda / derecha y adelante / atrás. Estos espejos representan su subsimetría diédrica reflectante D 2h , orden 8 (una simetría subordinada de cualquier objeto con simetría octaédrica)
- 6 que van a lo largo de las diagonales de las caras opuestas del cubo visualizado (estos van a lo largo de conjuntos dobles de pares de brazos y piernas). Estos espejos representan su subimetría tetraédrica reflectante T d , orden 24 (una simetría subordinada de cualquier objeto con simetría octaédrica).
Utilizando los puntos de la sala central, la escultura representa los sistemas de raíces del tipo D4, B4 = C4 y F4, es decir, todos los 4d distintos de A4. Puede visualizar la proyección de D4 a B3 y D4 a G2.
Alusiones científicas
Muchas moléculas tienen la misma simetría que la escultura Octacube . La molécula orgánica, cubane (C 8 H 8 ) es un ejemplo. Los brazos y piernas de la escultura son similares a los átomos de hidrógeno que se proyectan hacia afuera. El hexafluoruro de azufre (o cualquier molécula con geometría molecular octaédrica exacta ) también comparte la misma simetría, aunque el parecido no es tan similar.
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Cubano | Hexafloruro de azufre |
El Octacube también muestra paralelismos con los conceptos de la física teórica. El creador Ocneanu investiga los aspectos matemáticos de la teoría cuántica de campos (QFT). El tema ha sido descrito por un ganador de la medalla Fields , Ed Witten , como el área más difícil de la física. [2] Parte del trabajo de Ocneanu es construir modelos teóricos, e incluso físicos, de las características de simetría en QFT. Ocneanu cita la relación de las mitades interna y externa de la estructura como análoga a la relación de las partículas de espín 1/2 (por ejemplo, electrones ) y las partículas de espín 1 (por ejemplo, fotones ). [1]
monumento
Octacube fue encargado y financiado por Jill Anderson, una graduada de matemáticas de la PSU de 1965, en memoria de su esposo, Kermit, otro graduado de matemáticas de 1965, quien murió en los ataques terroristas del 11 de septiembre . [1] Resumiendo el memorial, Anderson dijo: [1]
Espero que la escultura anime a los estudiantes, profesores, administradores, exalumnos y amigos a reflexionar y apreciar el maravilloso mundo de las matemáticas. También espero que todos los que vean la escultura comiencen a comprender el hecho aleccionador de que todos son vulnerables a que les suceda algo terrible y que todos debemos aprender a vivir un día a la vez, aprovechando al máximo lo que se les ha dado. nosotros. Sería fantástico que todos los que vean el Octacube se vayan con la sensación de que ser amable con los demás es una buena forma de vivir.
Anderson también financió una beca de matemáticas a nombre de Kermit, al mismo tiempo que avanzaba el proyecto de escultura. [1]
Recepción
Penn State ha puesto a disposición una explicación más completa de la escultura, que incluye cómo se hizo, cómo se financió su construcción y su papel en las matemáticas y la física . [1] Además, Ocneanu ha proporcionado su propio comentario. [3]
Ver también
Artistas:
- Salvador Dalí , pintor de alusiones de cuarta dimensión
- David Smith , escultor de acero inoxidable abstracto y geométrico
- Tony Smith , otro creador de grandes esculturas geométricas abstractas
Matemáticas:
- Teoría de grupos , la disciplina matemática que históricamente abarcó mucha investigación sobre la simetría
- Álgebra de operadores y teoría de la representación , áreas de investigación matemática de Ocneanu
Referencias
Notas
- ^ El análogo 4-D del cubo es el tesseract de 8 celdas. (De manera similar, el cubo es el análogo 3-D del cuadrado). El análogo 4-D del octaedro es el hexadecacoron de 16 celdas.
Citas
- ^ a b c d e f g h i j Boletín de noticias sobre el Octacube , Departamento de Matemáticas, Penn State University, 13 de octubre de 2005 (consultado el 6 de mayo de 2013)
- ^ "Mentes hermosas, vol. 20: Ed Witten" . la Repubblica . 2010 . Consultado el 22 de junio de 2012 . Aquí .
- ^ Las matemáticas de las 24 celdas , un sitio web mantenido por Adrian Ocneanu. Archivado el 1 de septiembre de 2006 en la Wayback Machine.
enlaces externos
- Video de Penn State sobre el Octacube
- Video creado por el usuario sobre cómo imaginar un objeto de cuatro dimensiones (pero un tesseract). Tenga en cuenta la discusión de las proyecciones a los ~ 22 minutos y la discusión de las celdas en el modelo a los ~ 35 minutos.
Coordenadas : 40 ° 47′51.5 ″ N 77 ° 51′43.7 ″ W / 40.797639 ° N 77.862139 ° W / 40.797639; -77.862139