En matemáticas , una descomposición de libro abierto (o simplemente un libro abierto ) es una descomposición de una múltiple M cerrada orientada de 3 en una unión de superficies (necesariamente con límite) y toros sólidos . Los libros abiertos tienen relevancia para la geometría de contacto , con un famoso teorema de Emmanuel Giroux (que se muestra a continuación) que muestra que la geometría de contacto se puede estudiar desde un punto de vista totalmente topológico.
Este es el caso especial m = 3 de una descomposición en libro abierto de una variedad m -dimensional, para cualquier m .
Cuando Σ es una superficie compacta orientada con n componentes de contorno y φ: Σ → Σ es un homeomorfismo que es la identidad cerca del límite, podemos construir un libro abierto formando primero el toroide de mapeo Σ φ . Dado que φ es la identidad en ∂Σ, ∂Σ φ es el paquete circular trivial sobre una unión de círculos, es decir, una unión de toros; un toro para cada componente de contorno. Para completar la construcción, se pegan toros sólidos para rellenar los toros de contorno de modo que cada círculo S 1 × { p } ⊂ S 1 ×∂ D 2se identifica con el límite de una página. En este caso, la unión es la colección de n núcleos S 1 × {q} de los n toros sólidos pegados en el toro de mapeo, para q ∈ D 2 elegido arbitrariamente . Se sabe que cualquier libro abierto puede construirse de esta manera. Como la única información utilizada en la construcción es la superficie y el homeomorfismo, una definición alternativa de libro abierto es simplemente el par (Σ, φ) con la construcción entendida. En resumen, un libro abierto es un toro de mapeo con toros sólidos pegados de modo que el círculo central de cada toro corre paralelo al límite de la fibra.
Cada toro en ∂Σ φ está fibroso por círculos paralelos a la encuadernación, cada círculo es un componente del límite de una página. Uno visualiza una estructura que parece un rolodex para una vecindad de la encuadernación (es decir, el toroide sólido pegado a ∂Σ φ ): las páginas del rolodex se conectan a las páginas del libro abierto y el centro del rolodex es la encuadernación. De ahí el término libro abierto .
Es un teorema de 1972 de Elmar Winkelnkemper que para m > 6, una variedad m -dimensional simplemente conexa tiene una descomposición en libro abierto si y solo si tiene la firma 0. En 1977, Terry Lawson demostró que para m > 6 impar, cada m La variedad bidimensional tiene una descomposición en libro abierto. Incluso para m > 6, una variedad m -dimensional tiene una descomposición en libro abierto si y solo si una obstrucción asimétrica del grupo de Witt es 0, según un teorema de 1979 de Frank Quinn .
Teorema. Sea M una 3-variedad compacta orientada. Entonces hay una biyección entre el conjunto de estructuras de contacto orientadas en M hasta la isotopía y el conjunto de descomposiciones en libro abierto de M hasta la estabilización positiva.