Las funciones de Wannier son un conjunto completo de funciones ortogonales utilizadas en la física del estado sólido . Fueron presentados por Gregory Wannier . [1] [2] Las funciones de Wannier son los orbitales moleculares localizados de sistemas cristalinos.
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Las funciones de Wannier para diferentes sitios de la red en un cristal son ortogonales, lo que permite una base conveniente para la expansión de estados de electrones en ciertos regímenes. Las funciones de Wannier han encontrado un uso generalizado, por ejemplo, en el análisis de las fuerzas de unión que actúan sobre los electrones; la existencia de funciones de Wannier localizadas exponencialmente en aisladores se demostró en 2006. [3] Específicamente, estas funciones también se utilizan en el análisis de excitones y materia condensada de Rydberg . [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]
Definición
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Aunque, al igual que los orbitales moleculares localizados , las funciones de Wannier se pueden elegir de muchas formas diferentes, [4] la definición original, [1] más simple y más común en la física del estado sólido es la siguiente. Elija una sola banda en un cristal perfecto y denote sus estados Bloch por
donde u k ( r ) tiene la misma periodicidad que el cristal. Entonces las funciones de Wannier están definidas por
- ,
dónde
- R es cualquier vector de celosía (es decir, hay una función de Wannier para cada vector de celosía de Bravais );
- N es el número de células primitivas en el cristal;
- La suma de k incluye todos los valores de k en la zona de Brillouin (o cualquier otra celda primitiva de la red recíproca ) que son consistentes con las condiciones de contorno periódicas en el cristal. Esto incluye N valores diferentes de k , distribuidos uniformemente a través de la zona de Brillouin. Dado que N suele ser muy grande, la suma se puede escribir como una integral de acuerdo con la regla de reemplazo:
donde "BZ" denota la zona de Brillouin , que tiene un volumen Ω.
Propiedades
Sobre la base de esta definición, se puede demostrar que se cumplen las siguientes propiedades: [5]
- Para cualquier vector de celosía R ' ,
En otras palabras, una función de Wannier solo depende de la cantidad ( r - R ). Como resultado, estas funciones a menudo se escriben en notación alternativa
- Las funciones de Bloch se pueden escribir en términos de funciones de Wannier de la siguiente manera:
- ,
donde la suma está sobre cada vector de celosía R en el cristal.
- El conjunto de funciones de onda es una base ortonormal para la banda en cuestión.
Las funciones de Wannier también se han ampliado a potenciales casi periódicos. [6]
Localización
Los estados de Bloch ψ k ( r ) se definen como las funciones propias de un hamiltoniano particular y, por lo tanto, se definen solo hasta una fase general. Aplicando una transformación de fase e iθ ( k ) a las funciones ψ k ( r ), para cualquier función (real) θ ( k ), se llega a una elección igualmente válida. Si bien el cambio no tiene consecuencias para las propiedades de los estados de Bloch, las funciones de Wannier correspondientes se modifican significativamente con esta transformación.
Por lo tanto, se utiliza la libertad de elegir las fases de los estados de Bloch para obtener el conjunto más conveniente de funciones de Wannier. En la práctica, esto es por lo general el conjunto localizada máximamente-, en el que la función de Wannier φ R se localiza alrededor del punto R y rápidamente llega a cero lejos de R . Para el caso unidimensional, Kohn [7] ha demostrado que siempre hay una opción única que otorga estas propiedades (sujeto a ciertas simetrías). En consecuencia, esto se aplica a cualquier potencial separable en dimensiones superiores; las condiciones generales no están establecidas y son objeto de investigación en curso. [3]
A Pipek-Mezey esquema de localización estilo También se ha propuesto recientemente para la obtención de funciones Wannier. [8] Contrariamente a las funciones de Wannier localizadas al máximo (que son una aplicación del esquema Foster-Boys a sistemas cristalinos), las funciones de Pipek-Mezey Wannier no mezclan los orbitales σ y π.
Teoría moderna de la polarización
Las funciones de Wannier han encontrado aplicación recientemente para describir la polarización en cristales, por ejemplo, ferroeléctricos . La teoría moderna de la polarización fue promovida por Raffaele Resta y David Vanderbilt. Véase, por ejemplo, Berghold, [9] y Nakhmanson, [10] y una introducción en power point de Vanderbilt. [11] La polarización por celda unitaria en un sólido se puede definir como el momento dipolar de la densidad de carga de Wannier:
donde la suma está sobre las bandas ocupadas, y W n es la función de Wannier localizada en la celda para la banda n . El cambio de polarización durante un proceso físico continuo es la derivada temporal de la polarización y también se puede formular en términos de la fase Berry de los estados de Bloch ocupados. [5] [12]
Interpolación de Wannier
Las funciones de Wannier se utilizan a menudo para interpolar la estructura de bandas calculada ab initio en un agarre grueso de los puntos k a cualquier punto k arbitrario . Esto es particularmente útil para la evaluación de integrales de la zona de Brillouin en cuadrículas densas y la búsqueda de puntos de Weyl, y también para tomar derivadas en el espacio k . Este enfoque es similar en espíritu a la aproximación de enlace estricto , pero por el contrario permite una descripción exacta de las bandas en un cierto rango de energía. Se han derivado esquemas de interpolación de Wannier para propiedades espectrales, [13] conductividad Hall anómala , [14] magnetización orbital , [15] propiedades de transporte termoeléctrico y electrónico, [16] efectos gyrotrópicos , [17] corriente de desplazamiento , [18] conductividad Hall de giro. [19] [20] y otros efectos.
Ver también
- Magnetización orbital
Referencias
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Otras lecturas
- Karin M Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Física de los ferroeléctricos: una perspectiva moderna . Saltador. pag. 2. ISBN 978-3-540-34590-9.
enlaces externos
- Wannier Gregory H (1937). "La estructura de los niveles de excitación electrónica en cristales aislantes". Revisión física . 52 (3): 191-197. Código Bibliográfico : 1937PhRv ... 52..191W . doi : 10.1103 / PhysRev.52.191 .
- Código informático Wannier90 que calcula funciones de Wannier localizadas al máximo
- Código de transporte de Wannier que calcula las funciones de Wannier localizadas al máximo que se ajustan a las aplicaciones de transporte cuántico
- WannierTools: un paquete de software de código abierto para materiales topológicos novedosos
- WannierBerri: un código de Python para la interpolación de Wannier y cálculos de enlace estricto
Ver también
- Teorema de bloch
- Ángulo de Hannay
- Fase geométrica