En matemáticas , la matriz de Hasse-Witt H de una curva algebraica no singular C sobre un campo finito F es la matriz del mapeo de Frobenius ( p -th mapeo de potencia donde F tiene q elementos, q una potencia del número primo p ) con respecto a una base para los diferenciales del primer tipo . Es una matriz g × g donde C tiene género g . El rango de la matriz de Hasse-Witt es el invariante de Hasse o Hasse-Witt .
Esta definición, tal como se da en la introducción, es natural en términos clásicos y se debe a Helmut Hasse y Ernst Witt (1936). Proporciona una solución a la cuestión del rango p de la variedad jacobiana J de C ; el rango p está acotado por el rango de H , específicamente es el rango del mapeo de Frobenius compuesto consigo mismo g veces. También es una definición que es en principio algorítmica. Ha habido un interés sustancial reciente en esto como aplicación práctica a la criptografía , en el caso de C una curva hiperelíptica. La curva C es superespecial si H = 0.
Esa definición necesita un par de advertencias, al menos. En primer lugar, existe una convención sobre las asignaciones de Frobenius y, según la comprensión moderna, lo que se requiere para H es la transposición de Frobenius (consulte Frobenius aritmético y geométrico para obtener más información). En segundo lugar, el mapeo de Frobenius no es F -lineal; es lineal sobre el campo primo Z / p Z en F . Por lo tanto, la matriz se puede escribir pero no representa un mapeo lineal en el sentido directo.
o en otras palabras la primera cohomología de C con coeficientes en su estructura haz . Esto ahora se llama el operador Cartier-Manin (a veces solo operador Cartier ), para Pierre Cartier y Yuri Manin . La conexión con la definición de Hasse-Witt es por medio de la dualidad de Serre , que para una curva relaciona ese grupo con
El rango p de una variedad abeliana A sobre un campo K de característica p es el entero k para el cual el núcleo A [ p ] de la multiplicación por p tiene p k puntos. Puede tomar cualquier valor de 0 a d , la dimensión de A ; por el contrario, para cualquier otro número primo l hay l 2 d puntos en A [ l ]. La razón por la que el rango p es más bajo es que la multiplicación por pen A es una isogenia inseparable : el diferencial es p que es 0 en K. Al observar el kernel como un esquema de grupo, se puede obtener una estructura más completa (referencia a David Mumford Abelian Varieties , págs. 146–7); pero si, por ejemplo, uno mira la reducción mod p de una ecuación de división , el número de soluciones debe disminuir.
El rango del operador de Cartier-Manin, o matriz de Hasse-Witt, da un límite superior para el rango p . El rango p es el rango del operador de Frobenius compuesto consigo mismo g veces. En el artículo original de Hasse y Witt, el problema se expresa en términos intrínsecos a C , sin depender de J. Se trata de clasificar las posibles extensiones de Artin-Schreier de la función campo F ( C ) (el análogo en este caso de la teoría de Kummer ).