En matemáticas, los trascendentes Painlevé son soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden no lineales en el plano complejo con la propiedad Painlevé (las únicas singularidades móviles son los polos), pero que generalmente no se pueden resolver en términos de funciones elementales . Fueron descubiertos por Émile Picard ( 1889 ), Paul Painlevé ( 1900 , 1902 ), Richard Fuchs ( 1905 ) y Bertrand Gambier ( 1910 ).
Historia
Los trascendentes Painlevé tienen su origen en el estudio de funciones especiales , que a menudo surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales, así como en el estudio de deformaciones isomonodrómicas de ecuaciones diferenciales lineales. Una de las clases de funciones especiales más útiles son las funciones elípticas . Se definen mediante ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas singularidades tienen la propiedad Painlevé : las únicas singularidades móviles son los polos . Esta propiedad es poco común en ecuaciones no lineales. Poincaré y L. Fuchs demostraron que cualquier ecuación de primer orden con la propiedad Painlevé se puede transformar en la función elíptica de Weierstrass o la ecuación de Riccati , que pueden resolverse explícitamente en términos de integración y funciones especiales previamente conocidas. Émile Picard señaló que para órdenes superiores a 1, pueden ocurrir singularidades esenciales móviles, y encontró un caso especial de lo que más tarde se denominó ecuación de Painleve VI (ver más abajo). (Para órdenes superiores a 2, las soluciones pueden tener límites naturales móviles.) Alrededor de 1900, Paul Painlevé estudió ecuaciones diferenciales de segundo orden sin singularidades móviles. Descubrió que hasta ciertas transformaciones, cada ecuación de la forma
(con R una función racional) se puede poner en una de las cincuenta formas canónicas (enumeradas en ( Ince 1956 )). Painlevé ( 1900 , 1902 ) encontró que cuarenta y cuatro de las cincuenta ecuaciones son reducibles en el sentido de que pueden resolverse en términos de funciones previamente conocidas, dejando solo seis ecuaciones que requieren la introducción de nuevas funciones especiales para resolverlas. Hubo algunos errores de cálculo y, como resultado, omitió tres de las ecuaciones, incluida la forma general de Painleve VI. Los errores fueron corregidos y la clasificación fue completada por el estudiante de Painlevé, Bertrand Gambier . Independientemente de Painlevé y Gambier, la ecuación Painleve VI fue encontrada por Richard Fuchs a partir de consideraciones completamente diferentes: estudió deformaciones isomonodrómicas de ecuaciones diferenciales lineales con singularidades regulares . Fue un problema abierto controvertido durante muchos años demostrar que estas seis ecuaciones realmente eran irreducibles para valores genéricos de los parámetros (a veces son reducibles para valores de parámetros especiales; ver más abajo), pero esto finalmente fue probado por Nishioka (1988) e Hiroshi. Umemura ( 1989 ). Estas seis ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden se denominan ecuaciones de Painlevé y sus soluciones se denominan trascendentes de Painlevé.
Painlevé pasó por alto la forma más general de la sexta ecuación, pero fue descubierta en 1905 por Richard Fuchs (hijo de Lazarus Fuchs ), como la ecuación diferencial satisfecha por la singularidad de una ecuación fucsiana de segundo orden con 4 puntos singulares regulares en P 1 bajo deformaciones que conservan la monodromía . Fue agregado a la lista de Painlevé por Gambier ( 1910 ).
Chazy ( 1910 , 1911 ) intentó extender el trabajo de Painlevé a ecuaciones de orden superior, encontrando algunas ecuaciones de tercer orden con la propiedad Painlevé.
Lista de ecuaciones de Painlevé
Estas seis ecuaciones, tradicionalmente llamadas Painlevé I-VI, son las siguientes:
- Yo (Painlevé):
- II (Painlevé):
- III (Painlevé):
- IV (Gambier):
- V (Gambier):
- VI (R. Fuchs):
Los números α, β, γ, δ son constantes complejas. Por reescalado y y t se puede elegir dos de los parámetros para el tipo III, y uno de los parámetros para el tipo V, por lo que estos tipos realmente sólo tienen 2 y 3 parámetros independientes.
Singularidades
Las singularidades de las soluciones de estas ecuaciones son
- El punto ∞, y
- El punto 0 para los tipos III, V y VI, y
- El punto 1 para el tipo VI, y
- Posiblemente algunos postes móviles
Para el tipo I, las singularidades son polos dobles (móviles) del residuo 0, y todas las soluciones tienen un número infinito de tales polos en el plano complejo. Las funciones con doble polo en z 0 tienen la expansión de la serie Laurent
convergiendo en alguna vecindad de z 0 (donde h es un número complejo). La ubicación de los polos fue descrita en detalle por (Boutroux 1913 , 1914 ). El número de polos en una bola de radio R crece aproximadamente como una constante multiplicada por R 5/2 .
Para el tipo II, las singularidades son todos polos simples (móviles).
Degeneraciones
Las primeras cinco ecuaciones de Painlevé son degeneraciones de la sexta ecuación. Más precisamente, algunas de las ecuaciones son degeneraciones de otras según el siguiente diagrama, que también da las correspondientes degeneraciones de la función hipergeométrica de Gauss .
III Bessel | ||||||||
VI Gauss | → | V Kummer | II Airy | → | En uno | |||
IV Hermite-Weber |
Sistemas hamiltonianos
Todas las ecuaciones de Painlevé se pueden representar como sistemas hamiltonianos .
Ejemplo: si ponemos
luego la segunda ecuación de Painlevé
es equivalente al sistema hamiltoniano
para el hamiltoniano
Simetrías
Una transformación de Bäcklund es una transformación de las variables dependientes e independientes de una ecuación diferencial que la transforma en una ecuación similar. Todas las ecuaciones de Painlevé tienen grupos discretos de transformaciones de Bäcklund que actúan sobre ellas, que se pueden utilizar para generar nuevas soluciones a partir de las conocidas.
Ejemplo tipo I
El conjunto de soluciones de la ecuación de Painlevé tipo I
es actuado por la simetría de orden 5 y → ζ 3 y , t → ζ t donde a es una quinta raíz de 1. Hay dos soluciones invariantes bajo esta transformación, una con un polo de orden 2 en 0, y la otra con un cero de orden 3 en 0.
Ejemplo tipo II
En el formalismo hamiltoniano de la ecuación de Painlevé tipo II
con
dos transformaciones de Bäcklund están dadas por
y
Ambos tienen orden 2 y generan un grupo diedro infinito de transformaciones de Bäcklund (que de hecho es el grupo de Weyl afín de A 1 ; ver más abajo). Si b = 1/2 entonces la ecuación tiene la solución y = 0; la aplicación de las transformaciones de Bäcklund genera una familia infinita de funciones racionales que son soluciones, como y = 1 / t , y = 2 ( t 3 −2) / t ( t 3 −4), ...
Okamoto descubrió que el espacio de parámetros de cada ecuación de Painlevé se puede identificar con la subálgebra de Cartan de un álgebra de Lie semisimple , de modo que las acciones del grupo de Weyl afín se elevan a las transformaciones de Bäcklund de las ecuaciones. Las álgebras de Lie para P I , P II , P III , P IV , P V , P VI son 0, A 1 , A 1 ⊕A 1 , A 2 , A 3 y D 4 ,
Relación con otras áreas
Una de las principales razones por las que se estudian las ecuaciones de Painlevé es su relación con la monodromía de sistemas lineales con singularidades regulares ; en particular, Painlevé VI fue descubierto por Richard Fuchs debido a esta relación. Este tema se describe en el artículo sobre deformación isomonodrómica .
Las ecuaciones de Painlevé son todas reducciones de ecuaciones diferenciales parciales integrables ; ver (MJ Ablowitz y PA Clarkson 1991 ).
Las ecuaciones de Painlevé son todas reducciones de las ecuaciones duales de Yang-Mills del yo ; véase Ablowitz, Chakravarty y Halburd ( 2003 ).
Los trascendentes Painlevé aparecen en la teoría de matrices aleatorias en la fórmula de la distribución de Tracy-Widom , el modelo de Ising 2D , el proceso de exclusión asimétrico simple y en la gravedad cuántica bidimensional.
La ecuación de Painlevé VI aparece en la teoría de campos conformados bidimensionales : es obedecida por combinaciones de bloques conformales en ambos y , dónde es la carga central del álgebra de Virasoro .
Referencias
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enlaces externos
- Clarkson, PA Painlevé Trascendents , Capítulo 32 de la Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST
- Joshi, Nalini ¿Qué es eso que se llama Painlevé?
- Ecuaciones de Takasaki, Kanehisa Painlevé
- Weisstein, Eric W. "Trascendentes Painleve" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Propiedad Painleve" . MathWorld .