El operador paralelo (también conocido como suma reducida , suma paralela o suma paralela ) (pronunciado "paralelo", [1] siguiendo la notación de líneas paralelas de la geometría [2] [3] ) es una función matemática que se usa como abreviatura en ingeniería eléctrica , [4] [5] [6] [nb 1] pero también se utiliza en cinética , mecánica de fluidos y matemáticas financieras . [7] [8]
Descripción general
El operador paralelo representa el valor recíproco de una suma de valores recíprocos (a veces también denominado "fórmula recíproca") y se define por: [9] [6] [10] [11]
con siendo los números complejos extendidos (con las reglas correspondientes). [12] [ aclaración necesaria ] Esta última forma a veces también se denomina "producto sobre suma".
El operador da la mitad de la media armónica de dos números a y b . [7] [8]
Como caso especial, para :
- .
Además, para todos :
con que representa el valor absoluto de.
Con y siendo positivo los números reales sigue .
El concepto se ha extendido de una operación escalar a matrices [13] [14] [15] [16] [17] y se ha generalizado aún más . [18]
Notación
El operador fue introducido originalmente como suma reducida por Sundaram Seshu en 1956, [19] [20] [13] estudiado como operador ∗
por Kent E. Erickson en 1959, [21] [22] [13] y popularizado por Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr. como Además paralelo o suma paralelo operador :
en matemáticas y teoría de la red desde 1966. [14] [15] [1] Mientras que algunos autores siguen utilizando este símbolo hasta el presente, [7] [8] para Por ejemplo, Sujit Kumar Mitra se usó ∙
como símbolo en 1970. [13] En la electrónica aplicada , un ∥
signo se volvió más común como símbolo del operador más adelante. [23] [24] [25] [26] [nb 1] [nb 2] Esto a menudo se escribía como una línea vertical doble (||) disponible en la mayoría de los conjuntos de caracteres , pero ahora se puede representar usando el carácter Unicode U + 2225 ( ∥) para "paralelo a". En LaTeX y lenguajes de marcado relacionados, las macros \|
y \parallel
se utilizan a menudo para denotar el símbolo del operador.
Reglas
Para Además , el operador paralelo sigue la ley conmutativa :
y la ley asociativa : [12] [7] [8]
La multiplicación es distributiva sobre esta operación. [1] [7] [8]
Además, el operador paralelo tiene como elemento neutro y, para el número como elemento inverso . Sin emabargo,no es un grupo abeliano , comopara cada distinto de cero una yno está bien definido ( forma indeterminada ).
En ausencia de paréntesis, el operador paralelo se define como que tiene prioridad sobre la suma o la resta. [1] [27] [9] [10]
Aplicaciones
En ingeniería eléctrica , el operador paralelo se puede utilizar para calcular la impedancia total de varios circuitos eléctricos en serie y en paralelo . [nb 2]
Por ejemplo, la resistencia total de las resistencias conectadas en paralelo es el recíproco de la suma de los recíprocos de las resistencias individuales .
- .
Lo mismo ocurre con la capacitancia total de los condensadores en serie . [nb 2]
El mismo principio se puede aplicar a varios problemas en otras disciplinas.
Existe una dualidad entre la suma habitual (en serie) y la suma paralela. [7] [8]
Ejemplos de
Pregunta:
- Tres resistencias , y están conectados en paralelo . ¿Cuál es su resistencia resultante?
Respuesta:
- La resistencia efectivamente resultante es de aprox. 57 k Ω .
Pregunta: [7] [8]
- Un trabajador de la construcción levanta un muro en 5 horas. Otro trabajador necesitaría 7 horas para el mismo trabajo. ¿Cuánto tiempo se tarda en construir el muro si ambos trabajadores trabajan en paralelo?
Respuesta:
- Terminarán en cerca de 3 horas.
Implementación
Ya sugerido por Kent E. Erickson como una subrutina en computadoras digitales en 1959, [21] el operador paralelo se implementa como operador de teclado en las calculadoras científicas WP 34S de notación polaca inversa (RPN) desde 2008 [28] [29] [30 ] así como en WP 34C [31] y WP 43S desde 2015, [32] [33] permitiendo resolver incluso problemas en cascada con pocas pulsaciones de teclas como .270↵ Enter180∥120∥
Notas
- ^ a b Si bien el uso del símbolo ∥ para "paralelo" en geometría se remonta a 1673 en la obra de John Kersey el anciano , [A] comenzó a usarse más solo desde aproximadamente 1875. [B] El uso de un operador matemático para circuitos paralelos se origina en la teoría de redes en ingeniería eléctrica . Sundaram Seshu introdujo un operador de suma reducida en 1956, [C] Kent E. Erickson propuso un asterisco (∗) para simbolizar el operador en 1959, [D] mientras que Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr.usaron dos puntos (:) para la adición paralelo desde 1966. [E] Sujit Kumar Mitra utilizó un middot (∙) para que en 1970. [F] el primer uso del símbolo paralelo (∥) para este operador en electrónica aplicada es desconocido, pero podría haberse originado del libro de John W. McWane de 1981 "Introducción a la electrónica y la instrumentación", [G] que surgió de un curso del MIT con el mismo nombre desarrollado como parte de su influyente Proyecto de Desarrollo del Currículo Técnico entre 1974 y 1979. Este símbolo probablemente también se introdujo los otros símbolos usados podrían confundirse fácilmente con los signos comúnmente usados para multiplicar y dividir en algunos contextos.
- ^ a b c En circuitos eléctricos, el operador paralelo se puede aplicar, respectivamente, a resistencias en paralelo ( R en [Ω]) o inductancias ( L en [H]), así como a impedancias ( Z en [Ω]) o reactancias ( X en [Ω]). Ignorando el entonces engañoso glifo del símbolo del operador, también se puede aplicar a circuitos en serie de, respectivamente, conductancias ( G en [S]) o capacitancias ( C en [F]), así como a admitancias ( Y en [S]) o Sustancias ( B en [S]).
Referencias
- ↑ a b c d Duffin, Richard James (1971) [1970, 1969]. "Modelos de red" . Escrito en Durham, Carolina del Norte, EE. UU. En Wilf, Herbert Saul ; Hararay, Frank (eds.). Aspectos matemáticos del análisis de redes eléctricas . Actas de un simposio en matemáticas aplicadas de la American Mathematical Society y la Society for Industrial and Applied Mathematics celebrado en la ciudad de Nueva York, 1969-04-02 / 03. III de las Actas de SIAM-AMS (edición ilustrada). Providence, Rhode Island: Sociedad Americana de Matemáticas (AMS) / Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). págs. 65–92 [68]. ISBN 0-8218-1322-6. ISSN 0080-5084 . LCCN 79-167683 . ISBN 978-0-8218-1322-5 . Informe 69-21 . Consultado el 5 de agosto de 2019 . pp. 68–69:
[…] Para tener una notación corta conveniente para la resistencia conjunta de resistencias conectadas en paralelo, sea […] A: B = AB / (A + B) […] A: B puede considerarse como un nueva operación denominada adición paralela […] La adición paralela se define para cualquier número no negativo. El modelo de red muestra que la suma paralela es conmutativa y asociativa . Además, la multiplicación es distributiva sobre esta operación. Considere ahora una expresión algebraica en las operaciones (+) y (:) que operan en números positivos A, B, C, etc. […] Para dar una interpretación de red de tal polinomio, lea A + B como "A serie B" y A: B como "A paralelo B" entonces está claro que la expresión […] es la resistencia conjunta de la red […]
[1] [2] (206 páginas) - ^ Kersey (el mayor), John (1673). "Capítulo I: Sobre el alcance de este cuarto libro y el significado de los caracteres, abreviaturas y citas que se utilizan en él". Los elementos de ese arte matemático, comúnmente llamado álgebra . Libro IV - Los elementos de las artes algebraicas. Londres: Thomas Passinger, Three-Bibles, London-Bridge. págs. 177-178. Archivado desde el original el 5 de agosto de 2020 . Consultado el 9 de agosto de 2019 .
- ^ Cajori, Florian (1993) [septiembre de 1928]. "§ 184, § 359, § 368". Una historia de notaciones matemáticas: notaciones en matemáticas elementales . 1 (dos volúmenes en una reimpresión inalterada ed.). Chicago, EE. UU .: empresa editorial Open Court . págs. 193, 402–403, 411–412 . ISBN 0-486-67766-4. LCCN 93-29211 . Consultado el 22 de julio de 2019 . págs. 402–403, 411–412:
§359. [...] ∥ para ocurre paralelo en Oughtred 's Opuscula mathematica hactenus inedita (1677) [p. 197], obra póstuma (§ 184) […] §368. Señales de líneas paralelas. […] Cuando el signo de igualdad de Recorde se abrió paso en el continente , las líneas verticales se empezaron a utilizar para el paralelismo. Encontramos ∥ para "paralelo" en Kersey , [A] Caswell , Jones , [B] Wilson, [C] Emerson , [D] Kambly, [E] y los escritores de los últimos cincuenta años que ya han sido citados en conexión con otras pictografías. Antes de aproximadamente 1875 no ocurría con tanta frecuencia […] Hall y Stevens [F] usaban "par [F] o ∥" para el paralelo […][A] John Kersey , Álgebra (Londres, 1673), Libro IV, p. 177.[B] W. Jones , Synopsis palmarioum matheseos (Londres, 1706).[C] John Wilson, Trigonometry (Edimburgo, 1714), explicación de los personajes.[D] W. Emerson , Elements of Geometry (Londres, 1763), pág. 4.[E] L. Kambly
[3] , Die Elementar-Mathematik , Parte 2: Planimetrie , 43. edición (Breslau, 1876), p. 8. […][F] HS Hall y FH Stevens, Elementos de Euclides , Partes I y II (Londres, 1889), pág. 10. […] - ^ "INA 326 / INA 327 - Amplificador de instrumentación de E / S de riel a riel de precisión" (PDF) . Instrumentos Burr-Brown / Texas . 2018 [noviembre de 2004, noviembre de 2001]. págs. 3, 9, 13. SBOS222D. Archivado (PDF) desde el original el 13 de julio de 2019 . Consultado el 13 de julio de 2019 .
- ^ Bober, William; Stevens, Andrew (2016). "Capítulo 7.6. Transformadas de Laplace aplicadas a circuitos" . Métodos numéricos y analíticos con MATLAB para ingenieros eléctricos . Mecánica Aplicada y Computacional (1 ed.). Prensa CRC . pag. 224. ISBN 978-1-46657607-0. ISBN 1-46657607-3 . (388 páginas)
- ^ a b Ranade, Gireeja; Stojanovic, Vladimir, eds. (Otoño de 2018). "Capítulo 15.7.2 Resistencias en paralelo" (PDF) . EECS 16A Diseño de dispositivos y sistemas de información I (PDF) (notas de clase). Universidad de California, Berkeley . pag. 12. Nota 15. Archivado (PDF) desde el original el 27 de diciembre de 2018 . Consultado el 28 de diciembre de 2018 . pag. 12:
[…] Esta relación matemática surge con tanta frecuencia que en realidad tiene un nombre: el "operador paralelo", denotado ∥. Cuando decimos x∥y, significa. Tenga en cuenta que este es un operador matemático y no dice nada sobre la configuración real. En el caso de las resistencias, el operador paralelo se utiliza para las resistencias en paralelo, pero para otros componentes (como los condensadores) este no es el caso. […]
(16 páginas) - ^ a b c d e f g Ellerman, David Patterson (21 de marzo de 1995). "Capítulo 12: suma paralela, dualidad serie-paralelo y matemáticas financieras" . El traspaso intelectual como forma de vida: ensayos en filosofía, economía y matemáticas (PDF) . La filosofía mundana: estudios en intersección de filosofía y economía . G - Serie de referencias, información y temas interdisciplinarios (ed. Ilustrada). Rowman & Littlefield Publishers, Inc. págs. 237–268. ISBN 0-8476-7932-2. Archivado (PDF) desde el original el 5 de marzo de 2016 . Consultado el 9 de agosto de 2019 . pag. 237:
[…] Cuando las resistencias con resistencia ayb se colocan en serie, su resistencia compuesta es la suma habitual (en adelante, la suma en serie ) de las resistencias a + b. Si las resistencias se colocan en paralelo, su resistencia compuesta es la suma paralela de las resistencias, que se denota con dos puntos completos […]
[4] (271 páginas) - ^ a b c d e f g Ellerman, David Patterson (mayo de 2004) [21 de marzo de 1995]. "Introducción a la dualidad serie-paralelo" (PDF) . Universidad de California en Riverside . CiteSeerX 10.1.1.90.3666 . Archivado desde el original el 10 de agosto de 2019 . Consultado el 9 de agosto de 2019 .
La suma paralela de dos números reales positivos x: y = [(1 / x) + (1 / y)] −1 surge en la teoría de circuitos eléctricos como la resistencia resultante de enganchar dos resistencias xey en paralelo. Existe una dualidad entre la suma habitual (en serie) y la suma paralela. […]
[5] (24 páginas) - ^ a b Basso, Christophe P. (2016). "Capítulo 1.1.2 El divisor de corriente" . Funciones de transferencia de circuitos lineales: Introducción a las técnicas analíticas rápidas (1 ed.). Chichester, West Sussex, Nueva Jersey, EE.UU .: John Wiley & Sons Ltd. p. 12. ISBN 978-1-11923637-5. LCCN 2015047967 . Consultado el 28 de diciembre de 2018 . (464 páginas)
- ^ a b Cotter, Neil E., ed. (12 de octubre de 2015) [20 de septiembre de 2014]. "Libro de cocina ECE1250 - Nodos, serie, paralelo" (notas de la conferencia). Libros de cocina. Universidad de Utah . Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 11 de agosto de 2019 .
[…] Una forma conveniente de indicar que dos resistores están en paralelo es poner un ∥ entre ellos. […]
- ^ Böcker, Joachim (18 de marzo de 2019) [Abril de 2008]. "Grundlagen der Elektrotechnik Teil B" (PDF) (en alemán). Universität Paderborn . pag. 12. Archivado (PDF) desde el original el 17 de abril de 2018 . Consultado el 9 de agosto de 2019 . pag. 12:
Für die Berechnung des Ersatzwiderstands der Parallelschaltung wird […] gern die Kurzschreibweise ∥ benutzt.
- ^ a b Georg, Otfried (2013) [1999]. "Capítulo 2.11.4.3: Aufstellen der Differentialgleichung aus der komplexen Darstellung - MATHCAD Anwendung 2.11-6: Benutzerdefinierte Operatoren" . Elektromagnetische Felder und Netzwerke: Anwendungen en Mathcad und PSpice . Springer-Lehrbuch (en alemán) (1 ed.). Springer-Verlag . págs. 246–248. doi : 10.1007 / 978-3-642-58420-6 . ISBN 978-3-642-58420-6. ISBN 3-642-58420-9 . Consultado el 4 de agosto de 2019 . (728 páginas)
- ^ a b c d Mitra, Sujit Kumar (febrero de 1970). "Una operación de matriz para analizar multipuertos serie-paralelo" . Revista del Instituto Franklin . Comunicación breve. Instituto Franklin . 289 (2): 167-169. doi : 10.1016 / 0016-0032 (70) 90302-9 . pag. 167:
El propósito de esta comunicación es extender el concepto de la operación escalar Suma Reducida introducido por Seshu […] y luego elaborado por Erickson […] a las matrices, para delinear algunas propiedades interesantes de esta nueva operación matricial, y aplicar la operación matricial en el análisis de redes de puertos n en serie y en paralelo . Sean A y B dos matrices cuadradas no singulares que tienen inversas , A −1 y B −1 respectivamente. Definimos la operación ∙ como A ∙ B = (A −1 + B −1 ) −1 y la operación ⊙ como A ⊙ B = A ∙ (−B). La operación ∙ es conmutativa y asociativa y también distributiva con respecto a la multiplicación. […]
(3 páginas) - ^ a b Duffin, Richard James ; Hazony, Dov; Morrison, Norman Alexander (marzo de 1966) [12 de abril de 1965, 25 de agosto de 1964]. "Síntesis de redes mediante matrices híbridas". Revista SIAM de Matemática Aplicada . Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada (SIAM). 14 (2): 390–413. doi : 10.1137 / 0114032 . JSTOR 2946272 . (24 páginas)
- ^ a b Anderson, Jr., William Niles; Duffin, Richard James (1969) [27 de mayo de 1968]. "Suma de matrices en serie y en paralelo". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . Academic Press, Inc. 26 (3): 576–594. doi : 10.1016 / 0022-247X (69) 90200-5 . pag. 576:
[…] definimos la suma paralela de A y B por la fórmula A (A + B) + B y la denotamos por A: B. Si A y B no son singulares, esto se reduce a A: B = (A −1 + B −1 ) −1 que es la fórmula eléctrica bien conocida para la adición de resistencias en paralelo. Luego se muestra que las matrices semidefinidas hermitianas forman un semigrupo conmutativo parcialmente ordenado bajo la operación de suma paralela. […]
[6] - ^ Mitra, Sujit Kumar; Puri, Madan Lal (octubre de 1973). "Sobre la suma paralela y la diferencia de matrices" (PDF) . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . Academic Press, Inc. 44 (1): 92–97. doi : 10.1016 / 0022-247X (73) 90027-9 . Archivado desde el original (PDF) el 13 de abril de 2019.
- ^ Mitra, Sujit Kumar; Bhimasankaram, Pochiraju; Malik, Saroj B. (2010). Matriz de pedidos parciales, operadores en cortocircuito y aplicaciones . Serie en Álgebra. 10 (ilustrada 1ª ed.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 978-981-283-844-5. ISBN 981-283-844-9 . Consultado el 19 de agosto de 2019 . (446 páginas)
- ^ Eriksson-Bique, Sirkka-Liisa Anneli ; Leutwiler, Heinz (febrero de 1989) [10 de enero de 1989]. "Una generalización de la suma paralela" (PDF) . Aequationes Mathematicae . Birkhäuser Verlag . 38 (1): 99-110. doi : 10.1007 / BF01839498 . Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
- ^ Seshu, Sundaram (septiembre de 1956). "Sobre circuitos eléctricos y circuitos de conmutación" . Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . Instituto de Ingenieros de Radio (IRE). CT-3 (3): 172-178. doi : 10.1109 / TCT.1956.1086310 .(7 páginas) (NB. Ver fe de erratas .)
- ^ Seshu, Sundaram; Gould, Roderick (septiembre de 1957). "Corrección de 'En circuitos eléctricos y circuitos de conmutación ' " . Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . Corrección. Instituto de Ingenieros de Radio (IRE). CT-4 (3): 284. doi : 10.1109 / TCT.1957.1086390 .(1 página) (NB. Se refiere a la referencia anterior ).
- ^ a b Erickson, Kent E. (marzo de 1959). "Una nueva operación para el análisis de redes en serie-paralelo" . Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . Instituto de Ingenieros de Radio (IRE). CT-6 (1): 124-126. doi : 10.1109 / TCT.1959.1086519 . pag. 124:
[…] La operación ∗ se define como A ∗ B = AB / A + B. El símbolo ∗ tiene propiedades algebraicas que simplifican la solución formal de muchos problemas de redes en serie-paralelo. Si la operación ∗ se incluyera como una subrutina en una computadora digital , podría simplificar la programación de ciertos cálculos de red. […]
(3 páginas) (NB. Ver comentario .) - ^ Kaufman, Howard (junio de 1963). "Comentario sobre una nueva operación para el análisis de redes en serie-paralelo". Transacciones IEEE sobre teoría de circuitos . Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE). CT-10 (2): 283. doi : 10.1109 / TCT.1963.1082126 . pag. 283:
[…] Comentarios sobre la operación ∗ […] a ∗ b = ab / (a + b) […]
(1 página) (NB. Se refiere a la referencia anterior ). - ^ Wolf, Lawrence J. (1977) [1976, 1974]. "Sección 4. Materiales de instrucción - 4.3. El proyecto de desarrollo del plan de estudios técnico del MIT - Introducción a la electrónica y la instrumentación". En Aldridge, Bill G .; Mowery, Donald R .; Wolf, Lawrence J .; Dixon, Peggy (eds.). Tecnología de ciencia e ingeniería - Guía del plan de estudios: Una guía para un plan de estudios de grado asociado de dos años (PDF) . Saint Louis Community College – Florissant Valley , St. Louis, Missouri, EE. UU .: Asociación Nacional de Maestros de Ciencias , Washington DC, EE. UU. pp. 21, 77. Archivado (PDF) desde el original el 15 de febrero de 2017 . Consultado el 8 de agosto de 2019 . pag. 21:
[…] Introducción a la electrónica y la instrumentación es un enfoque nuevo y contemporáneo del curso de introducción a la electrónica. Diseñado para estudiantes sin experiencia previa en electrónica, desarrolla las habilidades y conocimientos necesarios para usar y comprender los sistemas electrónicos modernos. […] John W. McWane […]
(NB. El Proyecto SET fue un plan de estudios postsecundario de dos años desarrollado entre 1974 y 1977 que preparaba a los técnicos para utilizar instrumentos electrónicos). - ^ Wiesner, Jerome Bert ; Johnson, Howard Wesley ; Killian, Jr., James Rhyne , eds. (11 de abril de 1978). "Escuela de Ingeniería - Centro de Estudios Avanzados de Ingeniería (CAES) - Investigación y Desarrollo - Proyecto de Investigación y Desarrollo de Currículo Técnico". Informe del presidente y el canciller 1977–78 - Instituto de Tecnología de Massachusetts (PDF) . Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT). págs. 249, 252-253. Archivado (PDF) desde el original el 10 de septiembre de 2015 . Consultado el 8 de agosto de 2019 . pp. 249, 252-253:
[…] El Programa de Investigación y Desarrollo del Currículo Técnico, patrocinado por la Organización Imperial de Servicios Sociales de Irán , está entrando en el cuarto año de un contrato de cinco años. Continúa el desarrollo del plan de estudios en electrónica e ingeniería mecánica. […] Administrado conjuntamente por CAES y el Departamento de Ciencia e Ingeniería de Materiales , el Proyecto está bajo la supervisión del Profesor Merton C. Flemings. Está dirigido por el Dr. John W. McWane. […] Desarrollo de materiales curriculares. Esta es la actividad principal del proyecto y está relacionada con el desarrollo de materiales de curso innovadores y de vanguardia en áreas necesarias de tecnología de ingeniería […] nuevo curso de introducción a la electrónica […] se titula Introducción a la electrónica y la instrumentación y consta de ocho […] módulos […] CC de corriente, voltaje y resistencia; Redes de circuitos básicos; Señales que varían en el tiempo; Amplificadores operacionales; Fuentes de alimentación; Corriente, voltaje e impedancia de CA; Circuitos digitales; y Medición y Control Electrónicos. Este curso representa un cambio importante y una actualización de la forma en que se introduce la electrónica, y debería ser de gran valor para STI así como para muchos programas de EE. UU. […]
- ^ Wedlock, Bruce D. (1978). Redes de circuitos básicos . Proyecto de Investigación y Desarrollo de Currículo Técnico . Introducción a la electrónica e instrumentación. Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT).(81 páginas) (NB. Esto formó la base de la Parte I del libro de McWane de 1981 ).
- ^ McWane, John W. (1 de mayo de 1981). Introducción a la electrónica y la instrumentación (edición ilustrada). North Scituate, Massachusetts, EE. UU .: Breton Publishers , Wadsworth, Inc. págs. 78, 96–98, 100, 104. ISBN 0-53400938-7. ISBN 978-0-53400938-0 . Consultado el 4 de agosto de 2019 . pag. xiii, 96–98, 100:
[…] Bruce D. Wedlock […] fue el autor principal que contribuyó a la Parte I, REDES DE CIRCUITOS BÁSICOS , incluido el diseño de los ejemplos complementarios. […] La mayor parte del desarrollo del programa IEI se llevó a cabo como parte del Proyecto de Investigación y Desarrollo del Currículo Técnico del Centro de Estudios de Ingeniería Avanzada del MIT . […] Notación taquigráfica […] símbolo taquigráfico ∥ […]
(xiii + 545 páginas) (NB. En 1981, también existía un manual de laboratorio de 216 páginas que acompañaba a este libro. El trabajo surgió de un programa del curso del MIT " El Proyecto de Desarrollo del Currículo Técnico del MIT - Introducción a la Electrónica e Instrumentación " desarrollado entre 1974 y 1979. En 1986, se publicó una segunda edición de este libro con el título "Introducción a la tecnología electrónica".) - ^ Paul, Steffen; Paul, Reinhold (24 de octubre de 2014). "Capítulo 2.3.2: Zusammenschaltungen linearer resistiver Zweipole - Parallelschaltung" . Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1: Gleichstromnetzwerke und ihre Anwendungen (en alemán). 1 (5 ed.). Springer-Verlag . pag. 78. ISBN 978-3-64253948-0. ISBN 3-64253948-3 . Consultado el 4 de agosto de 2019 . pag. 78:
[…] Bei abgekürzter Schreibweise achte man sorgfältig auf die Anwendung von Klammern. […] Das Parallelzeichen ∥ der Kurzschreibweise hat die gleiche Bedeutung wie ein Multiplikationszeichen. Deshalb können Klammern entfallen.
(446 páginas) - ^ Dale, Paul; Bonin, Walter (30 de noviembre de 2012) [9 de diciembre de 2008]. Manual del propietario de WP 34S (PDF) (3.1 ed.). pp. 1, 14, 32, 66, 116. Archivado (PDF) desde el original el 9 de julio de 2019 . Consultado el 13 de julio de 2019 . [7] (211 páginas)
- ^ Bonin, Walter (2015) [2008-12-09]. Manual del propietario del WP 34S (3.3 ed.). Plataforma de publicación independiente CreateSpace . ISBN 978-1-5078-9107-0. [8]
- ^ Bonin, Walter (11 de julio de 2016) [9 de diciembre de 2008]. Manual del propietario del WP 34S (4 ed.). Plataforma de publicación independiente CreateSpace . ISBN 978-1-53366238-5. ISBN 1-53366238-X . (410 páginas)
- ^ Dowrick, Nigel (3 de mayo de 2015) [16 de marzo de 2015]. "Modo de bloqueo complejo para WP-34s" . Museo HP . Archivado desde el original el 3 de abril de 2019 . Consultado el 7 de agosto de 2019 .
- ^ Bonin, Walter (2020) [2015]. Manual del propietario del WP 43S (PDF) . 0.16 (borrador ed.). pag. 119. ISBN 978-1-72950098-9. ISBN 1-72950098-6 . Consultado el 20 de agosto de 2020 . [9] [10] (328 páginas)
- ^ Bonin, Walter (2020) [2015]. Manual de referencia de WP 43S (PDF) . 0.16 (borrador ed.). pag. 127. ISBN 978-1-72950106-1. ISBN 1-72950106-0 . Consultado el 20 de agosto de 2020 . [11] [12] (315 páginas)
Otras lecturas
- Pekarev, Èdward L .; Šmul'jan, Ju. L. (30 de abril de 1976). "Suma y resta paralela de operadores" . Matemáticas de la URSS-Izvestiya . Sociedad Matemática Estadounidense . 10 (2): 351–370. Código bibliográfico : 1976IzMat..10..351P . doi : 10.1070 / IM1976v010n02ABEH001694 .
- Duffin, Richard James ; Morley, Tom D. (julio de 1978). "Operadores casi definidos y sistemas electromecánicos". Revista SIAM de Matemática Aplicada . Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada (SIAM). 35 (1): 21–30. doi : 10.1137 / 0135003 . JSTOR 2101028 . (10 páginas)
- Morley, Tom D. (julio de 1979). "Suma paralela, el principio de Maxwell y el mínimo de proyecciones" (PDF) . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . Departamento de Matemáticas, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign , Urbana, Illinois, EE. UU. 70 (1): 33–41. doi : 10.1016 / 0022-247X (79) 90073-8 . Archivado desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
- Seeger, Alberto (mayo de 1990) [22/03/1988]. "Adición directa e inversa en análisis y aplicaciones convexas" (PDF) . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . Departamento de Matemáticas, Universidad de Washington , Seattle, Washington, Estados Unidos: Academic Press, Inc. 148 (2): 317–349. doi : 10.1016 / 0022-247X (90) 90004-Y . Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 20 de agosto de 2020 . (33 páginas)
- Bryant, Randal E .; Tygar, J. Doug; Huang, Lawrence P. (1994). "Caracterización geométrica de redes de resistencias variables serie-paralelo" (PDF) . Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas I: Teoría y aplicaciones fundamentales . 41 (11): 686–698. doi : 10.1109 / 81.331520 . Archivado desde el original (PDF) el 14 de agosto de 2017.
- Antezana, Jorge; Corach, Gustavo; Stojanoff, Demetrio (abril de 2006) [14 de septiembre de 2005]. "Operadores bilaterales en corto y sumas paralelas" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . La Plata, Argentina y Buenos Aires, Argentina. 414 (2–3): 570–588. arXiv : matemáticas / 0509327 . doi : 10.1016 / j.laa.2005.10.039 . Archivado (PDF) desde el original el 9 de agosto de 2017 . Consultado el 20 de agosto de 2020 . [13] (19 páginas)
- Chansangiam, Pattrawut (febrero de 2016) [agosto de 2015, julio de 2015]. "Aspectos matemáticos para las conexiones de redes eléctricas" . Revista de ingeniería de KKU . 43 (1): 47–54. doi : 10.14456 / kkuenj.2016.8 . Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
- Besenyei, Ádám (1 de septiembre de 2016). "La irresistible desigualdad de Milne" (PDF) . Budapest: Departamento de Análisis Aplicado y Matemática Computacional, Universidad Eötvös Loránd . CIA2016. Archivado (PDF) desde el original el 8 de agosto de 2019 . Consultado el 11 de agosto de 2019 .
enlaces externos
- https://github.com/microsoftarchive/edx-platform-1/blob/master/common/lib/calc/calc/calc.py