Un triángulo rectángulo ( inglés americano ) o un triángulo rectángulo ( británico ), o más formalmente un triángulo ortogonal ( griego : ὀρθόςγωνία , lit. 'upright angle'), [1] es un triángulo en el que un ángulo es un ángulo recto ( es decir, un ángulo de 90 grados ). La relación entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo es la base de la trigonometría .
El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado c en la figura). Los lados adyacentes al ángulo recto se llaman piernas (o cateti , singular: cateto ). Lado una puede ser identificado como el lado adyacente al ángulo B y oponen a (o opuesto ) ángulo A , mientras que el lado B es el lado adyacente al ángulo A y en oposición a ángulo B .
Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, se dice que el triángulo es un triángulo pitagórico y las longitudes de sus lados se conocen colectivamente como un triple pitagórico .
Propiedades principales
Área
Como con cualquier triángulo, el área es igual a la mitad de la base multiplicada por la altura correspondiente. En un triángulo rectángulo, si se toma un cateto como base, el otro es la altura, por lo que el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los dos catetos. Como fórmula, el área T es
donde un y b son los lados del triángulo.
Si el círculo es tangente a la hipotenusa AB en el punto P, entonces denotando el semiperímetro ( a + b + c ) / 2 como s , tenemos PA = s - a y PB = s - b , y el área está dada por
Esta fórmula solo se aplica a los triángulos rectángulos. [2]
Altitudes
Si se dibuja una altitud desde el vértice con el ángulo recto a la hipotenusa, entonces el triángulo se divide en dos triángulos más pequeños que son similares al original y, por lo tanto, similares entre sí. De esto:
- La altitud a la hipotenusa es la media geométrica ( media proporcional ) de los dos segmentos de la hipotenusa. [3] : 243
- Cada cateto del triángulo es la media proporcional de la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.
En ecuaciones,
- (esto a veces se conoce como el teorema de la altitud del triángulo rectángulo )
donde a , b , c , d , e , f son como se muestra en el diagrama. [4] Así
Además, la altitud a la hipotenusa está relacionada con los catetos del triángulo rectángulo por [5] [6]
Para obtener soluciones de esta ecuación en valores enteros de a, b, f y c , consulte aquí .
La altitud de cada pierna coincide con la otra. Dado que estos se cruzan en el vértice en ángulo recto, el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus tres altitudes, coincide con el vértice en ángulo recto.
Teorema de pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que:
En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los dos catetos (los dos lados que se encuentran en un ángulo recto ).
Esto se puede expresar en forma de ecuación como
donde c es la longitud de la hipotenusa, y un y b son las longitudes de los dos lados restantes.
Las ternas pitagóricas son valores enteros de a, b, c que satisfacen esta ecuación.
Inradius y circumradius
El radio de la circunferencia inscrita de un triángulo rectángulo con las piernas a y b y hipotenusa c es
El radio de la circunferencia es la mitad de la longitud de la hipotenusa,
Por lo tanto, la suma del circunradio y el radio interno es la mitad de la suma de los catetos: [7]
Uno de los catetos se puede expresar en términos del radio interno y el otro cateto como
Caracterizaciones
Un triángulo ABC con lados, semiperímetro s , área T , altitud h opuesta al lado más largo, circunradius R , inradius r , exradii r a , r b , r c (tangente a a , b , c respectivamente), y medianas m a , m b , m c es un triángulo rectángulo si y solo si alguna de las afirmaciones de las siguientes seis categorías es verdadera. Todos ellos son, por supuesto, también propiedades de un triángulo rectángulo, ya que las caracterizaciones son equivalencias.
Lados y semiperímetro
Anglos
Área
- donde P es el punto de tangencia del círculo en el lado más largo AB . [12]
Inradius y exradii
- [13]
Altitud y medianas
- [7] : Prob. 954, pág. 26
- La longitud de una mediana es igual al circunradio .
- La altitud más corta (la del vértice con el ángulo más grande) es la media geométrica de los segmentos de línea en los que divide el lado opuesto (más largo). Este es el teorema de la altitud del triángulo rectángulo .
Circuncírculo e incírculo
- El triángulo se puede inscribir en un semicírculo , coincidiendo un lado con la totalidad del diámetro ( teorema de Tales ).
- El circuncentro es el punto medio del lado más largo.
- El lado más largo es un diámetro de la circunferencia
- El circuncírculo es tangente al círculo de nueve puntos . [9]
- El ortocentro se encuentra en la circunferencia. [7]
- La distancia entre el incentro y el ortocentro es igual a. [7]
Relaciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas para ángulos agudos se pueden definir como razones de los lados de un triángulo rectángulo. Para un ángulo dado, se puede construir un triángulo rectángulo con este ángulo, y los lados etiquetados como opuesto, adyacente e hipotenusa con referencia a este ángulo de acuerdo con las definiciones anteriores. Estas proporciones de los lados no dependen del triángulo rectángulo particular elegido, sino solo del ángulo dado, ya que todos los triángulos construidos de esta manera son similares . Si, para un ángulo dado α, el lado opuesto, el lado adyacente y la hipotenusa están etiquetados como O , A y H respectivamente, entonces las funciones trigonométricas son
Para la expresión de funciones hiperbólicas como razón de los lados de un triángulo rectángulo, vea el triángulo hiperbólico de un sector hiperbólico .
Triángulos rectángulos especiales
Los valores de las funciones trigonométricas se pueden evaluar exactamente para ciertos ángulos usando triángulos rectángulos con ángulos especiales. Estos incluyen el triángulo 30-60-90 que se puede usar para evaluar las funciones trigonométricas para cualquier múltiplo de π / 6, y el triángulo 45-45-90 que se puede usar para evaluar las funciones trigonométricas para cualquier múltiplo de π / 4. .
Triángulo de Kepler
Deje H , G , y A sean la media armónica , la media geométrica , y la media aritmética de dos números positivos a y b con una > b . Si un triángulo rectángulo tiene catetos H y G e hipotenusa A , entonces [14]
y
dónde es la proporción áurea Dado que los lados de este triángulo rectángulo están en progresión geométrica , este es el triángulo de Kepler .
Teorema de Tales
El teorema de Tales establece que si A es cualquier punto del círculo con diámetro BC (excepto B o C ) ABC es un triángulo rectángulo donde A es el ángulo recto. Lo contrario establece que si un triángulo rectángulo está inscrito en un círculo, entonces la hipotenusa será un diámetro del círculo. Un corolario es que la longitud de la hipotenusa es el doble de la distancia desde el vértice del ángulo recto hasta el punto medio de la hipotenusa. Además, el centro del círculo que circunscribe un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa y su radio es la mitad de la longitud de la hipotenusa.
Medianas
Las siguientes fórmulas son válidas para las medianas de un triángulo rectángulo:
La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide el triángulo en dos triángulos isósceles, porque la mediana es igual a la mitad de la hipotenusa.
Las medianas m a y m b de los catetos satisfacen [7] : p.136, # 3110
Línea Euler
En un triángulo rectángulo, la línea de Euler contiene la mediana de la hipotenusa, es decir, atraviesa tanto el vértice en ángulo recto como el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Esto se debe a que el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus altitudes, cae en el vértice en ángulo recto, mientras que su circuncentro, la intersección de sus bisectrices perpendiculares de lados , cae en el punto medio de la hipotenusa.
Desigualdades
En cualquier triángulo rectángulo, el diámetro del círculo es menor que la mitad de la hipotenusa, y más fuertemente es menor o igual que los tiempos de la hipotenusa. [15] : pág . 281
En un triángulo rectángulo con catetos a , by hipotenusa c ,
con igualdad solo en el caso isósceles. [15] : p . 282, p. 358
Si la altitud de la hipotenusa se denota h c , entonces
con igualdad solo en el caso isósceles. [15] : pág . 282
Otras propiedades
Si los segmentos de longitudes p y q que emana de vértice C trisect la hipotenusa en segmentos de longitud c / 3, a continuación, [3] : pp. 216-217
El triángulo rectángulo es el único triángulo que tiene dos, en lugar de uno o tres, cuadrados inscritos distintos. [dieciséis]
Dado h > k . Sean h y k los lados de los dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa c . Luego
Estos lados y el radio del círculo r están relacionados mediante una fórmula similar:
El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los radios del círculo y los tres círculos :
Ver también
- Triángulos agudos y obtusos (triángulos oblicuos)
- Espiral de Theodorus
Referencias
- ^ Daniel Parrochia (24 de julio de 2018). Matemáticas y Filosofía . John Wiley e hijos. págs. 72–. ISBN 978-1-78630-209-0.
- ^ Di Domenico, Angelo S., "Una propiedad de los triángulos que involucran el área", Gaceta Matemática 87, julio de 2003, págs. 323-324.
- ^ a b Posamentier, Alfred S. y Salkind, Charles T. Desafiando problemas en geometría , Dover, 1996.
- ^ Wentworth p. 156
- ^ Voles, Roger, "Soluciones enteras de, " Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269-271.
- ^ Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.
- ^ a b c d e Desigualdades propuestas en “ Crux Mathematicorum ” , [1] .
- ^ Triángulo a la derecha si s = 2R + r, Arte de resolución de problemas , 2011
- ^ a b c d Andreescu, Titu y Andrica, Dorian, "Números complejos de la A a la ... Z", Birkhäuser, 2006, págs. 109-110.
- ^ Propiedades de los triángulos rectángulos
- ^ a b c CTK Wiki Math, una variante del teorema de Pitágoras , 2011, [2] .
- ^ Darvasi, Gyula (marzo de 2005), "Inverso de una propiedad de triángulos rectángulos", The Mathematical Gazette , 89 (514): 72–76.
- ^ Bell, Amy (2006), "Teorema del triángulo rectángulo de Hansen, su inverso y una generalización" (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 335–342
- ^ Di Domenico, A., "La proporción áurea - el triángulo rectángulo - y los medios aritméticos, geométricos y armónicos", Mathematical Gazette 89, julio de 2005, 261. También Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol. 90, marzo de 2006, 153-154.
- ↑ a b c Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos . Libros de Prometeo, 2012.
- ^ Bailey, Herbert y DeTemple, Duane, "Cuadrados inscritos en ángulos y triángulos", Revista de matemáticas 71 (4), 1998, 278-284.
- Weisstein, Eric W. "Triángulo rectángulo" . MathWorld .
- Wentworth, GA (1895). Un libro de texto de geometría . Ginn & Co.
enlaces externos
- Calculadora de triángulos rectángulos
- Calculadora avanzada de triángulos rectángulos