Suma de ángulos de un triángulo
En un espacio euclidiano , la suma de los ángulos de un triángulo es igual al ángulo recto (180 grados , π radianes , dos ángulos rectos o media vuelta ). Un triángulo tiene tres ángulos, uno en cada vértice , delimitados por un par de lados adyacentes .
Durante mucho tiempo se desconoció si existen otras geometrías, para las cuales esta suma es diferente. La influencia de este problema en las matemáticas fue particularmente fuerte durante el siglo XIX. Al final, se demostró que la respuesta es positiva: en otros espacios (geometrías) esta suma puede ser mayor o menor, pero luego debe depender del triángulo. Su diferencia de 180 ° es un caso de defecto angular y sirve como una distinción importante para los sistemas geométricos.
Casos
Geometría euclidiana
En geometría euclidiana , el postulado del triángulo establece que la suma de los ángulos de un triángulo es dos ángulos rectos . Este postulado es equivalente al postulado paralelo . [1] En presencia de los otros axiomas de la geometría euclidiana, las siguientes afirmaciones son equivalentes: [2]
- Postulado del triángulo : La suma de los ángulos de un triángulo es dos ángulos rectos.
- El axioma de Playfair : Dada una línea recta y un punto que no está en la línea, se puede trazar exactamente una línea recta a través del punto paralelo a la línea dada.
- Axioma de Proclo : Si una línea se cruza con una de dos líneas paralelas, también se debe cruzar con la otra. [3]
- Postulado de la equidistancia : las líneas paralelas son equidistantes en todas partes (es decir, la distancia de cada punto de una línea a la otra línea es siempre la misma).
- Propiedad del área del triángulo : el área de un triángulo puede ser tan grande como queramos.
- Propiedad de los tres puntos : Tres puntos se encuentran en una línea o en un círculo .
- Teorema de Pitágoras : en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. [1]
Geometría hiperbólica
La suma de los ángulos de un triángulo hiperbólico es menor que 180 °. La relación entre el defecto angular y el área del triángulo fue probada por primera vez por Johann Heinrich Lambert . [4]
Uno puede ver fácilmente cómo la geometría hiperbólica rompe el axioma de Playfair, el axioma de Proclus (el paralelismo, definido como no intersección, es intransitivo en un plano hiperbólico), el postulado de equidistancia (los puntos en un lado y equidistantes de una línea dada no forman una línea) y el teorema de Pitágoras. Un círculo [5] no puede tener una curvatura arbitrariamente pequeña , [6] por lo que la propiedad de los tres puntos también falla.
La suma de los ángulos puede ser arbitrariamente pequeña (pero positiva). Para un triángulo ideal , una generalización de triángulos hiperbólicos, esta suma es igual a cero.
Geometría esférica
Para un triángulo esférico , la suma de los ángulos es mayor que 180 ° y puede ser hasta 540 °. Específicamente, la suma de los ángulos es
- 180 ° × (1 + 4 f ),
donde f es la fracción del área de la esfera que está encerrada por el triángulo.
Tenga en cuenta que la geometría esférica no satisface varios de los axiomas de Euclides (incluido el postulado paralelo ).
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Ángulos exteriores
Los ángulos entre los lados adyacentes de un triángulo se conocen como ángulos interiores en geometrías euclidianas y otras. Los ángulos exteriores también se pueden definir y el postulado del triángulo euclidiano se puede formular como el teorema del ángulo exterior . También se puede considerar que la suma de los tres ángulos exteriores, que equivale a 360 ° [7] en el caso euclidiano (como para cualquier polígono convexo ), es menor de 360 ° en el caso esférico y mayor de 360 ° en el caso hiperbólico.
En geometría diferencial
En la geometría diferencial de superficies , la cuestión del defecto angular de un triángulo se entiende como un caso especial del teorema de Gauss-Bonnet donde la curvatura de una curva cerrada no es una función, sino una medida con el apoyo en exactamente tres puntos - vértices de un triángulo.
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Ver también
- Elementos de Euclides
- Fundamentos de la geometría
- Los axiomas de Hilbert
- Cuadrilátero Saccheri (considerado antes que Saccheri por Omar Khayyám )
- Cuadrilátero de lambert
Referencias
- ↑ a b Eric W. Weisstein (2003). Enciclopedia concisa de matemáticas CRC (2ª ed.). pag. 2147. ISBN 1-58488-347-2.
El postulado paralelo es equivalente al postulado de la equidistancia , el axioma de Playfair , el axioma de Proclus , el postulado del triángulo y el teorema de Pitágoras .
- ^ Keith J. Devlin (2000). El lenguaje de las matemáticas: hacer visible lo invisible . Macmillan. pag. 161. ISBN 0-8050-7254-3.
- ^ Esencialmente, la transitividad del paralelismo.
- ^ Ratcliffe, John (2006), Fundamentos de los colectores hiperbólicos , Textos de posgrado en matemáticas, 149 , Springer, p. 99, ISBN 9780387331973,
Que el área de un triángulo hiperbólico es proporcional a su ángulo defecto aparecido por primera vez en la monografía de Lambert Theorie der Parallellinien , que fue publicado póstumamente en 1786.
- ^ Definido como el conjunto de puntos a la distancia fijadesde su centro.
- ^ Definido en el sentido diferencialmente geométrico.
- ^ De la definición de un ángulo exterior, se suma al ángulo recto con los ángulos interiores. Entonces, la suma de tres ángulos exteriores sumada a la suma de tres ángulos interiores siempre da tres ángulos rectos.
- Geometría
- Geometría triangular
