La eficiencia y la equidad son dos de los principales objetivos de la economía del bienestar . Dado un conjunto de recursos y un conjunto de agentes, el objetivo es dividir los recursos entre los agentes de una manera que sea tanto Pareto eficiente (PE) como libre de envidia (EF). El gol lo definieron primero David Schmeidler y Menahem Yaari . [1] Posteriormente, la existencia de tales asignaciones se ha demostrado en diversas condiciones.
Existencia de asignaciones PEEF
Suponemos que cada agente tiene una relación de preferencia en el conjunto de todos los paquetes de mercancías. Las preferencias son completas, transitivas y cerradas. De manera equivalente, cada relación de preferencia se puede representar mediante una función de utilidad continua. [2] : 79
Preferencias débilmente convexas
Teorema 1 (Varian): [2] : 68 Si las preferencias de todos los agentes son convexas y fuertemente monótonas , entonces existen asignaciones PEEF.
Prueba : La prueba se basa en la existencia de un equilibrio competitivo con ingresos iguales. Suponga que todos los recursos de una economía se dividen por igual entre los agentes. Es decir, si la dotación total de la economía es, luego cada agente recibe una dotación inicial .
Dado que las preferencias son convexas , el modelo de Arrow-Debreu implica que existe un equilibrio competitivo. Es decir, hay un vector de precios y una partición tal que:
- (CE) Todos los agentes maximizan sus utilidades dado su presupuesto. Es decir, si luego .
- (EI) Todos los agentes tienen la misma renta en los precios de equilibrio: para todos .
Tal asignación es siempre EF. Prueba: por la condición (EI), para cada. Por lo tanto, por la condición (CE),.
Dado que las preferencias son monótonas , cualquier asignación de este tipo también es PE, ya que la monotonicidad implica la no saciedad local . Véanse los teoremas fundamentales de la economía del bienestar .
Ejemplos de
Todos los ejemplos involucran una economía con dos bienes , xey, y dos agentes, Alice y Bob. En todos los ejemplos, las utilidades son débilmente convexas y continuas.
A. Muchas asignaciones de PEEF: la dotación total es (4,4). Alice y Bob tienen utilidades lineales , que representan bienes sustitutos :
- ,
- .
Tenga en cuenta que las utilidades son débilmente convexas y fuertemente monótonas. Existen muchas asignaciones de PEEF. Si Alice recibe al menos 3 unidades de x, entonces su utilidad es 6 y no envidia a Bob. Del mismo modo, si Bob recibe al menos 3 unidades de y, no envidia a Alice. Entonces, la asignación [(3,0); (1,4)] es PEEF con servicios públicos (6,9). Del mismo modo, las asignaciones [(4,0); (0,4)] y [(4,0,5); (0,3,5)] son PEEF. Por otro lado, la asignación [(0,0); (4,4)] es PE pero no EF (Alice envidia a Bob); la asignación [(2,2); (2,2)] es EF pero no PE (las utilidades son (6,6) pero pueden mejorarse, por ejemplo, a (8,8)).
B. Asignación PEEF esencialmente única: la dotación total es (4,2). Alice y Bob tienen utilidades Leontief , que representan bienes complementarios :
- .
Tenga en cuenta que las utilidades son débilmente convexas y solo débilmente monótonas. Aún existe una asignación PEEF. La asignación igual [(2,1); (2,1)] es PEEF con el vector de utilidad (1,1). EF es obvio (cada asignación igual es EF). Con respecto a PE, tenga en cuenta que ambos agentes ahora solo quieren y, por lo que la única forma de aumentar la utilidad de un agente es tomar algo de y del otro agente, pero esto disminuye la utilidad del otro agente. Si bien existen otras asignaciones de PEEF, por ejemplo, [(1.5,1); (2.5,1)], todas tienen el mismo vector de utilidad de (1,1), ya que no es posible dar a ambos agentes más de 1. [3 ]
Condiciones topológicas en el espacio de asignaciones eficientes
Las asignaciones de PEEF existen incluso cuando las preferencias de los agentes no son convexas. Hay varias condiciones suficientes que están relacionadas con la forma del conjunto de asignaciones correspondientes a un perfil de utilidad eficiente específico. Incluso un vector de utilidad u, defina A (u) = el conjunto de todas las asignaciones para las cuales el perfil de utilidad es u. Los siguientes teoremas sucesivamente más generales fueron demostrados por diferentes autores:
Teorema 2 (Varian): [2] : 69 Suponga que las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas . Si, para cada perfil de utilidad u débilmente eficiente de Pareto , el conjunto A (u) es un singleton (es decir, no hay dos asignaciones de WPE de manera que todos los agentes sean indiferentes entre ellos), entonces existen asignaciones de PEEF.
La prueba utiliza el lema Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz .
Nota : Las condiciones en el Teorema 1 y en el Teorema 2 son independientes; ninguna de ellas implica a la otra. Sin embargo, la convexidad estricta de las preferencias implica a ambos. Es obvio que la convexidad estricta implica una convexidad débil (teorema 1). Para ver que implica la condición del teorema 2, suponga que hay dos asignaciones diferentes x, y con el mismo perfil de utilidad u. Defina z = x / 2 + y / 2. Por convexidad estricta, todos los agentes prefieren estrictamente z a x e y. Por tanto, xey no pueden ser débilmente PE.
Teorema 3 (Svensson): [4] Si las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas , y para cada perfil de utilidad de PE u, el conjunto A (u) es convexo, entonces existen asignaciones de PEEF.
La demostración usa el teorema de punto fijo de Kakutani .
Nota : si las preferencias de todos los agentes son convexas (como en el teorema 1), entonces A (u) obviamente también es convexa. Además, si A (u) es singleton (como en el teorema 2), obviamente también es convexo. Por tanto, el teorema de Svensson es más general que los dos teoremas de Varian.
Teorema 4 (Diamantaras): [5] Si las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas , y para cada perfil de utilidad u de PE, el conjunto A (u) es un espacio contráctil (puede reducirse continuamente a un punto dentro de ese espacio), entonces existen asignaciones de PEEF.
La demostración utiliza un teorema de punto fijo de Eilenberg y Montgomery. [6]
Nota: Todo conjunto convexo es contráctil, por lo que el teorema de Diamantaras es más general que los tres anteriores.
Optimalidad sigma
Svensson demostró otra condición suficiente para la existencia de asignaciones de PEEF. Nuevamente, todas las preferencias están representadas por funciones de utilidad continuas. Además, todas las funciones de utilidad son continuamente diferenciables en el interior del espacio de consumo.
El concepto principal es sigma-optimalidad . Supongamos que creamos, para cada agente, k copias con preferencias idénticas. Sea X una asignación en la economía original. Sea Xk una asignación en la economía de k replicados donde todas las copias del mismo agente reciben el mismo paquete que el agente original en X. La asignación X se llama sigma-óptima si para cada k , la asignación Xk es Pareto-óptima.
Lema: [7] : 528 Una asignación es sigma-óptima, si-y-solo-si es un equilibrio competitivo .
Teorema 5 (Svensson): [7] : 531 si todas las asignaciones óptimas de Pareto son óptimas sigma, entonces existen asignaciones PEEF.
Rendimientos marginales crecientes
Las asignaciones de PEEF pueden no existir incluso cuando todas las preferencias son convexas, si hay producción y la tecnología tiene rendimientos marginales crecientes.
Propuesta 6 (Vohra) : [8] T aquí existe economías en las que todas las preferencias son continuas fuertemente monótona y convexa, la única fuente de la no convexidad en la tecnología es debido a los costes fijos, y no existe ninguna asignación PEEF.
Por lo tanto, la presencia de rendimientos crecientes introduce un conflicto fundamental entre eficiencia y equidad.
Sin embargo, la ausencia de envidia se puede debilitar de la siguiente manera. Una asignación X se define como esencialmente libre de envidia (EEF) si, para cada agente i , hay una asignación factible Yi con el mismo perfil de utilidad (todos los agentes son indiferentes entre X y Yi) en la que el agente i no envidia a nadie. Obviamente, cada asignación de EF es EEF, ya que podemos tomar Yi como X para todo i.
Teorema 7 (Vohra): [8] Suponga que las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas y están representadas por funciones de utilidad continuas. Entonces, existen asignaciones de EEF Pareto-eficientes.
Inexistencia de asignaciones PEEF
Preferencias no convexas
Las asignaciones de PEEF pueden no existir incluso sin producción, cuando las preferencias no son convexas.
Como ejemplo, suponga que la dotación total es (4,2), y Alice y Bob tienen utilidades cóncavas idénticas:
- .
La asignación igual [(2,1); (2,1)] es EF con el vector de utilidad (2,2). Además, cada asignación de EF debe dar a ambos agentes la misma utilidad (ya que tienen la misma función de utilidad) y esta utilidad puede ser como máximo 2. Sin embargo, tal asignación no es PE, ya que está dominada por Pareto por la asignación [(4, 0); (0,2)] cuyo vector de utilidad es (4,2).
La no existencia permanece incluso si debilitamos la envidia a la no dominación: ningún agente obtiene más de cada bien que otro agente.
Proposición 8 (Maniquet): [9] Existen economías de división de 2 buenos y 3 agentes con preferencias estrictamente monótonas, continuas e incluso diferenciables, donde hay dominio en cada asignación eficiente de Pareto.
Encontrar una asignación de PEEF
Para dos agentes, el procedimiento de ganador ajustado es un procedimiento simple que encuentra una asignación PEEF con dos propiedades adicionales: la asignación también es equitativa y, como máximo, se comparte un solo bien entre los dos agentes.
Para tres o más agentes con utilidades lineales, cualquier asignación óptima de Nash es PEEF. Una asignación óptima de Nash es una asignación que maximiza el producto de las utilidades de los agentes o, de manera equivalente, la suma de los logaritmos de las utilidades. Encontrar tal asignación es un problema de optimización convexa :
.
y así se puede encontrar de manera eficiente. El hecho de que cualquier asignación óptima de Nash sea PEEF es cierto incluso en el entorno más general de una tarta justa . [10]
Prueba : Considere una pieza infinitesimal de la torta, Z . Para cada agente i , la contribución infinitesimal de Z aes
.
Por lo tanto, la regla del óptimo de Nash le da cada pieza Z a un agente j para el cual esta expresión es mayor:
Sumando todos los subconjuntos infinitesimales de X j , obtenemos:
Esto implica la definición de asignación sin envidia:
Ver también
- Teorema de Weller : sobre la existencia de asignaciones de PEEF en la tarta.
- Se pueden encontrar más teoremas relacionados de Hal Varian en. [11]
- Los teoremas sobre las asignaciones del PEEF en economías con producción se pueden encontrar en. [12]
- Cálculo del equilibrio del mercado : algoritmos para calcular un equilibrio competitivo, que es justo y eficiente.
- Tao y Cole [13] estudian la existencia de asignaciones aleatorias de PEEF cuando las utilidades son no lineales (pueden tener complementos).
Referencias
- ^ David Schmeidler y Menahem Yaari (1971). "Asignaciones justas". Mimeo.
- ↑ a b c Hal Varian (1974). "Equidad, envidia y eficiencia". Revista de teoría económica . 9 : 63–91. doi : 10.1016 / 0022-0531 (74) 90075-1 . hdl : 1721,1 / 63490 .
- ^ Nótese que una economía similar aparece en el artículo de 1974 : 70 como un ejemplo de que no existeuna asignación de PEEF. Probablemente se trate de un error tipográfico: el "mínimo" debería ser "máximo", como en el ejemplo C siguiente. Vea este hilo de intercambio de pilas de economía .
- ^ Svensson, Lars-Gunnar (1 de septiembre de 1983). "Sobre la existencia de asignaciones justas". Zeitschrift für Nationalökonomie . 43 (3): 301-308. doi : 10.1007 / BF01283577 . ISSN 0044-3158 .
- ^ Diamantaras, Dimitrios (1 de junio de 1992). "Sobre la equidad con los bienes públicos". Elección social y bienestar . 9 (2): 141-157. doi : 10.1007 / BF00187239 . ISSN 0176-1714 .
- ^ Eilenberg, Samuel; Montgomery, Deane (1946). "Teoremas de punto fijo para transformaciones de valores múltiples". Revista Estadounidense de Matemáticas . 68 (2): 214-222. doi : 10.2307 / 2371832 . JSTOR 2371832 .
- ^ a b Svensson, Lars-Gunnar (1994). "σ-Optimidad y equidad". Revista económica internacional . 35 (2): 527–531. doi : 10.2307 / 2527068 . JSTOR 2527068 .
- ^ a b Vohra, Rajiv (1 de julio de 1992). "Equidad y eficiencia en economías no convexas". Elección social y bienestar . 9 (3): 185-202. doi : 10.1007 / BF00192877 . ISSN 0176-1714 .
- ^ Maniquet, François (1 de diciembre de 1999). "Una fuerte incompatibilidad entre eficiencia y equidad en economías no convexas". Revista de Economía Matemática . 32 (4): 467–474. doi : 10.1016 / S0304-4068 (98) 00067-6 . ISSN 0304-4068 .
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