El cero es un número par. En otras palabras, su paridad —la cualidad de que un número entero sea par o impar— es par. Esto se puede verificar fácilmente con base en la definición de "par": es un múltiplo entero de 2 , específicamente 0 × 2 . Como resultado, el cero comparte todas las propiedades que caracterizan a los números pares: por ejemplo, 0 está vecino en ambos lados por números impares, cualquier entero decimal tiene la misma paridad que su último dígito; por lo tanto, dado que 10 es par, 0 será par. , y si y es par, entonces y + x tiene la misma paridad que x —y x y 0 + x siempre tienen la misma paridad.
El cero también encaja en los patrones formados por otros números pares. Las reglas de paridad de la aritmética, como par - par = par , requieren que 0 sea par. El cero es el elemento de identidad aditivo del grupo de enteros pares, y es el caso de partida a partir del cual se definen recursivamente otros números naturales pares . Las aplicaciones de esta recursividad de la teoría de grafos a la geometría computacional dependen de que el cero sea par. No solo 0 es divisible por 2, es divisible por cada potencia de 2 , lo cual es relevante para el sistema numérico binario utilizado por las computadoras. En este sentido, 0 es el número "más par" de todos. [1]
Entre el público en general, la paridad cero puede ser una fuente de confusión. En los experimentos de tiempo de reacción , la mayoría de las personas son más lentas para identificar 0 como par que 2, 4, 6 u 8. Algunos estudiantes de matemáticas, y algunos profesores, piensan que cero es impar, o par e impar, o ninguno. Los investigadores en educación matemática proponen que estos conceptos erróneos pueden convertirse en oportunidades de aprendizaje. Estudiar igualdades como 0 × 2 = 0 puede abordar las dudas de los estudiantes sobre llamar 0 a un número y usarlo en aritmética . Las discusiones en clase pueden llevar a los estudiantes a apreciar los principios básicos del razonamiento matemático, como la importancia de las definiciones. La evaluación de la paridad de este número excepcional es un ejemplo temprano de un tema omnipresente en las matemáticas: la abstracción de un concepto familiar en un entorno desconocido.
¿Por qué cero es par?
La definición estándar de "número par" se puede utilizar para probar directamente que cero es par. Un número se llama "par" si es un múltiplo entero de 2. Como ejemplo, la razón por la que 10 es par es que es igual a 5 × 2 . De la misma manera, cero es un múltiplo entero de 2, es decir, 0 × 2, por lo que cero es par. [2]
También es posible explicar por qué cero es par sin hacer referencia a definiciones formales. [3] Las siguientes explicaciones dan sentido a la idea de que cero es par en términos de conceptos numéricos fundamentales. A partir de esta base, se puede proporcionar una justificación para la definición en sí misma y su aplicabilidad a cero.
Explicaciones basicas
Dado un conjunto de objetos, se usa un número para describir cuántos objetos hay en el conjunto. Cero es el recuento de ningún objeto ; en términos más formales, es el número de objetos en el conjunto vacío . El concepto de paridad se utiliza para hacer grupos de dos objetos. Si los objetos de un conjunto se pueden marcar en grupos de dos, sin que quede ninguno, entonces el número de objetos es par. Si queda un objeto, entonces el número de objetos es impar. El conjunto vacío contiene cero grupos de dos y no queda ningún objeto de esta agrupación, por lo que cero es par. [5]
Estas ideas se pueden ilustrar dibujando objetos por parejas. Es difícil representar cero grupos de dos, o enfatizar la inexistencia de un objeto sobrante, por lo que ayuda a dibujar otras agrupaciones y compararlas con cero. Por ejemplo, en el grupo de cinco objetos, hay dos pares. Más importante aún, hay un objeto sobrante, por lo que 5 es impar. En el grupo de cuatro objetos, no hay ningún objeto sobrante, por lo que 4 es par. En el grupo de un solo objeto, no hay pares y hay un objeto sobrante, por lo que 1 es impar. En el grupo de objetos cero, no hay ningún objeto sobrante, por lo que 0 es par. [6]
Hay otra definición concreta de uniformidad: si los objetos de un conjunto se pueden colocar en dos grupos de igual tamaño, entonces el número de objetos es par. Esta definición es equivalente a la primera. Nuevamente, cero es par porque el conjunto vacío se puede dividir en dos grupos de cero elementos cada uno. [7]
Los números también se pueden visualizar como puntos en una recta numérica . Cuando se distinguen números pares e impares, su patrón se vuelve obvio, especialmente si se incluyen números negativos:
Los números pares e impares se alternan. Comenzando en cualquier número par, contar hacia arriba o hacia abajo de dos en dos llega a los otros números pares, y no hay razón para saltarse el cero. [8]
Con la introducción de la multiplicación , la paridad se puede abordar de una manera más formal utilizando expresiones aritméticas. Cada entero tiene la forma (2 × ▢) + 0 o (2 × ▢) + 1; los primeros números son pares y los segundos impares. Por ejemplo, 1 es impar porque 1 = (2 × 0) + 1, y 0 es par porque 0 = (2 × 0) + 0. Hacer una tabla de estos hechos refuerza la imagen de la recta numérica anterior. [9]
Definición de paridad
La definición precisa de un término matemático, como "par" que significa "múltiplo entero de dos", es en última instancia una convención . A diferencia de "par", algunos términos matemáticos se construyen a propósito para excluir casos triviales o degenerados . Los números primos son un ejemplo famoso. Antes del siglo XX, las definiciones de primalidad eran inconsistentes, y matemáticos importantes como Goldbach , Lambert , Legendre , Cayley y Kronecker escribieron que 1 era primo. [10] La definición moderna de "número primo" es "entero positivo con exactamente 2 factores ", por lo que 1 no es primo. Esta definición se puede racionalizar observando que se adapta más naturalmente a los teoremas matemáticos que conciernen a los números primos. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética es más fácil de enunciar cuando 1 no se considera primo. [11]
Sería posible redefinir de manera similar el término "par" de una manera que ya no incluye el cero. Sin embargo, en este caso, la nueva definición haría más difícil establecer teoremas sobre los números pares. El efecto ya se puede ver en las reglas algebraicas que gobiernan los números pares e impares . [12] Las reglas más relevantes se refieren a la suma , la resta y la multiplicación :
- par ± par = par
- impar ± impar = par
- par × entero = par
Insertando valores apropiados en el lado izquierdo de estas reglas, se puede producir 0 en el lado derecho:
- 2 - 2 = 0
- −3 + 3 = 0
- 4 × 0 = 0
Por lo tanto, las reglas anteriores serían incorrectas si cero no fuera par. [12] En el mejor de los casos, deberían modificarse. Por ejemplo, una guía de estudio de prueba afirma que los números pares se caracterizan como múltiplos enteros de dos, pero cero es "ni par ni impar". [13] En consecuencia, las reglas de la guía para números pares e impares contienen excepciones:
- par ± par = par (o cero)
- impar ± impar = par (o cero)
- par × entero distinto de cero = par [13]
Hacer una excepción para el cero en la definición de uniformidad obliga a hacer tales excepciones en las reglas para los números pares. Desde otra perspectiva, tomar las reglas obedecidas por números pares positivos y exigir que continúen siendo válidas para los números enteros fuerza la definición habitual y la uniformidad del cero. [12]
Contextos matemáticos
Innumerables resultados en la teoría de números invocan el teorema fundamental de la aritmética y las propiedades algebraicas de los números pares, por lo que las opciones anteriores tienen consecuencias de gran alcance. Por ejemplo, el hecho de que los números positivos tengan factorizaciones únicas significa que se puede determinar si un número tiene un número par o impar de factores primos distintos. Dado que 1 no es primo, ni tiene factores primos, es un producto de 0 primos distintos; dado que 0 es un número par, 1 tiene un número par de factores primos distintos. Esto implica que la función de Möbius toma el valor μ (1) = 1 , que es necesario para que sea una función multiplicativa y para que funcione la fórmula de inversión de Möbius . [14]
No ser raro
Un número n es impar si hay un número entero k tal que n = 2 k + 1 . Una forma de demostrar que cero no es impar es por contradicción : si 0 = 2 k + 1 entonces k = −1/2 , que no es un número entero. [15] Dado que el cero no es impar, si se demuestra que un número desconocido es impar, entonces no puede ser cero. Esta observación aparentemente trivial puede proporcionar una prueba conveniente y reveladora que explique por qué un número impar es distinto de cero.
Un resultado clásico de la teoría de grafos establece que una gráfica de orden impar (que tiene un número impar de vértices) siempre tiene al menos un vértice de grado par . (El enunciado en sí requiere que cero sea par: el gráfico vacío tiene un orden par y un vértice aislado tiene un grado par.) [16] Para probar el enunciado, en realidad es más fácil probar un resultado más fuerte: cualquier impar El gráfico de orden tiene un número impar de vértices de grados pares. La aparición de este número impar se explica por un resultado aún más general, conocido como el lema del apretón de manos : cualquier gráfico tiene un número par de vértices de grado impar. [17] Finalmente, el número par de vértices impares se explica naturalmente por la fórmula de la suma de grados .
El lema de Sperner es una aplicación más avanzada de la misma estrategia. El lema establece que un cierto tipo de coloración en una triangulación de un simplex tiene un subsimplex que contiene todos los colores. En lugar de construir directamente tal subimplica, es más conveniente probar que existe un número impar de tales subimplices a través de un argumento de inducción . [18] Un enunciado más fuerte del lema explica por qué este número es impar: naturalmente se descompone como ( n + 1) + n cuando se consideran las dos posibles orientaciones de un simplex. [19]
Alternancia par-impar
El hecho de que cero sea par, junto con el hecho de que los números pares e impares se alternan, es suficiente para determinar la paridad de todos los demás números naturales . Esta idea se puede formalizar en una definición recursiva del conjunto de números naturales pares:
- 0 es par.
- ( n + 1) es par si y solo si n no es par.
Esta definición tiene la ventaja conceptual de apoyarse únicamente en los fundamentos mínimos de los números naturales: la existencia del 0 y de los sucesores . Como tal, es útil para sistemas lógicos informáticos como LF y el demostrador del teorema de Isabelle . [20] Con esta definición, la uniformidad de cero no es un teorema sino un axioma. De hecho, "cero es un número par" puede interpretarse como uno de los axiomas de Peano , del cual los números naturales pares son un modelo. [21] Una construcción similar extiende la definición de paridad a los números ordinales transfinitos : cada ordinal límite es par, incluido el cero, y los sucesores de ordinales pares son impares. [22]
El punto clásico en la prueba de polígono de la geometría computacional aplica las ideas anteriores. Para determinar si un punto se encuentra dentro de un polígono , se proyecta un rayo desde el infinito hasta el punto y se cuenta el número de veces que el rayo cruza el borde del polígono. El número de cruce es par si y solo si el punto está fuera del polígono. Este algoritmo funciona porque si el rayo nunca cruza el polígono, entonces su número de cruce es cero, que es par, y el punto está afuera. Cada vez que el rayo cruza el polígono, el número de cruce alterna entre pares e impares, y el punto en su punta alterna entre el exterior y el interior. [23]
En teoría de grafos, un grafo bipartito es un grafo cuyos vértices se dividen en dos colores , de modo que los vértices vecinos tienen colores diferentes. Si un gráfico conectado no tiene ciclos impares , entonces se puede construir una bipartición eligiendo un vértice base vy coloreando cada vértice en blanco o negro, dependiendo de si su distancia desde v es par o impar. Dado que la distancia entre vy sí mismo es 0, y 0 es par, el vértice de la base tiene un color diferente al de sus vecinos, que se encuentran a una distancia de 1. [24]
Patrones algebraicos
En álgebra abstracta , los enteros pares forman varias estructuras algebraicas que requieren la inclusión de cero. El hecho de que la identidad aditiva (cero) sea par, junto con la uniformidad de las sumas y los inversos aditivos de los números pares y la asociatividad de la suma, significa que los enteros pares forman un grupo . Además, el grupo de enteros pares bajo la suma es un subgrupo del grupo de todos los enteros; este es un ejemplo elemental del concepto de subgrupo. [16] La observación anterior de que la regla "par - par = par" obliga a 0 a ser par es parte de un patrón general: cualquier subconjunto no vacío de un grupo aditivo que está cerrado por sustracción debe ser un subgrupo y, en particular, debe contener la identidad . [25]
Dado que los enteros pares forman un subgrupo de enteros, dividen los enteros en clases laterales . Estas clases laterales pueden describirse como las clases de equivalencia de la siguiente relación de equivalencia : x ~ y si ( x - y ) es par. Aquí, la uniformidad del cero se manifiesta directamente como la reflexividad de la relación binaria ~. [26] Sólo hay dos clases sociales de este subgrupo, los números pares e impares, por lo que tiene un índice 2.
De manera análoga, el grupo alterno es un subgrupo del índice 2 en el grupo simétrico de n letras. Los elementos del grupo alterno, llamados permutaciones pares , son el producto de números pares de transposiciones . El mapa de identidad , un producto vacío de ninguna transposición, es una permutación par ya que cero es par; es el elemento de identidad del grupo. [27]
La regla "par × entero = par" significa que los números pares forman un ideal en el anillo de números enteros, y la relación de equivalencia anterior puede describirse como equivalencia módulo este ideal . En particular, los enteros pares son exactamente aquellos enteros k donde k ≡ 0 (mod 2). Esta formulación es útil para investigar ceros enteros de polinomios . [28]
Orden 2-adic
En cierto sentido, algunos múltiplos de 2 son "más uniformes" que otros. Los múltiplos de 4 se denominan doblemente pares , ya que se pueden dividir por 2 dos veces. No solo el cero es divisible por 4, el cero tiene la propiedad única de ser divisible por cada potencia de 2 , por lo que supera a todos los demás números en "uniformidad". [1]
Una consecuencia de este hecho aparece en el orden inverso de bits de los tipos de datos enteros utilizados por algunos algoritmos informáticos, como la transformada rápida de Fourier de Cooley-Tukey . Este orden tiene la propiedad de que cuanto más a la izquierda aparece el primer 1 en la expansión binaria de un número , o cuanto más veces es divisible por 2, más pronto aparece. La inversión de bits de cero sigue siendo cero; se puede dividir por 2 cualquier número de veces y su expansión binaria no contiene 1, por lo que siempre aparece primero. [29]
Aunque 0 es divisible por 2 más veces que cualquier otro número, no es sencillo cuantificar exactamente cuántas veces es. Para cualquier entero n distinto de cero , se puede definir el orden 2-ádico de n como el número de veces que n es divisible por 2. Esta descripción no funciona para 0; no importa cuántas veces se divida entre 2, siempre se puede volver a dividir entre 2. Más bien, la convención habitual es establecer el orden 2 de 0 para que sea infinito como un caso especial. [30] Esta convención no es peculiar del segundo orden; es uno de los axiomas de una valoración aditiva en álgebra superior. [31]
Las potencias de dos — 1, 2, 4, 8, ... — forman una secuencia simple de números de orden creciente de 2. En los números 2-ádicos , tales secuencias convergen en realidad a cero. [32]
Educación
El tema de la paridad de cero a menudo se trata dentro de los primeros dos o tres años de educación primaria , a medida que se introduce y desarrolla el concepto de números pares e impares. [34]
El conocimiento de los estudiantes
El gráfico de la derecha [33] muestra las creencias de los niños sobre la paridad cero, a medida que avanzan desde el primer año hasta el sexto año del sistema educativo inglés . Los datos son de Len Frobisher, quien realizó un par de encuestas a escolares ingleses. Frobisher estaba interesado en cómo el conocimiento de la paridad de un solo dígito se traduce en el conocimiento de la paridad de varios dígitos, y el cero ocupa un lugar destacado en los resultados. [35]
En una encuesta preliminar de casi 400 niños de siete años, el 45% eligió pares sobre impares cuando se les preguntó la paridad de cero. [36] Una investigación de seguimiento ofreció más opciones: ninguno , ambos y no sé . Esta vez, el número de niños en el mismo rango de edad que identificaron cero como par se redujo al 32%. [37] El éxito en decidir que cero es incluso inicialmente se dispara y luego se nivela en alrededor del 50% en los años 3 a 6. [38] A modo de comparación, la tarea más fácil, identificar la paridad de un solo dígito, se nivela en aproximadamente 85 % éxito. [39]
En entrevistas, Frobisher obtuvo el razonamiento de los estudiantes. Un estudiante de quinto año decidió que 0 era par porque se encontraba en la tabla de multiplicar del 2 . Un par de estudiantes de cuarto año se dieron cuenta de que cero se puede dividir en partes iguales. Otro de cuarto año razonó "1 es impar y si bajo es par". [40] Las entrevistas también revelaron los conceptos erróneos detrás de las respuestas incorrectas. Un segundo año estaba "bastante convencido" de que cero era impar, sobre la base de que "es el primer número que se cuenta". [41] Un cuarto año se refirió a 0 como "ninguno" y pensó que no era ni par ni impar, ya que "no es un número". [42] En otro estudio, Annie Keith observó una clase de 15 estudiantes de segundo grado que se convencieron entre sí de que cero era un número par basado en la alternancia par-impar y en la posibilidad de dividir un grupo de cero cosas en dos grupos iguales. [43]
Esther Levenson, Pessia Tsamir y Dina Tirosh llevaron a cabo investigaciones más profundas, y entrevistaron a un par de estudiantes de sexto grado en los EE. UU. Que tenían un alto rendimiento en su clase de matemáticas. Un estudiante prefirió explicaciones deductivas de afirmaciones matemáticas, mientras que el otro prefirió ejemplos prácticos. Ambos estudiantes inicialmente pensaron que 0 no era ni par ni impar, por diferentes razones. Levenson y col. demostró cómo el razonamiento de los estudiantes reflejaba sus conceptos de cero y división. [44]
Reclamaciones hechas por estudiantes [45] |
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"El cero no es par ni impar " . |
" Zero podría estar igualado. " |
" Zero no es extraño " . |
" Zero tiene que ser par " . |
"El cero no es un número par " . |
"El cero siempre será un número par " . |
"El cero no siempre será un número par " . |
" Zero es parejo. " |
" Zero es especial " . |
Deborah Loewenberg Ball analizó las ideas de los estudiantes estadounidenses de tercer grado sobre los números pares, impares y el cero, que acababan de discutir con un grupo de estudiantes de cuarto grado . Los estudiantes discutieron la paridad de cero, las reglas para números pares y cómo se hacen las matemáticas. Las afirmaciones sobre cero adoptaron muchas formas, como se ve en la lista de la derecha. [45] Ball y sus coautores argumentaron que el episodio demostró cómo los estudiantes pueden "hacer matemáticas en la escuela", en contraposición a la reducción habitual de la disciplina a la solución mecánica de ejercicios. [46]
Uno de los temas de la literatura de investigación es la tensión entre las imágenes conceptuales de paridad de los estudiantes y sus definiciones de conceptos. [47] Los alumnos de sexto grado de Levenson et al. Definieron los números pares como múltiplos de 2 o números divisibles por 2, pero inicialmente no pudieron aplicar esta definición a cero, porque no estaban seguros de cómo multiplicar o dividir cero por 2 El entrevistador finalmente los llevó a concluir que cero era par; los estudiantes tomaron diferentes caminos para llegar a esta conclusión, basándose en una combinación de imágenes, definiciones, explicaciones prácticas y explicaciones abstractas. En otro estudio, David Dickerson y Damien Pitman examinaron el uso de las definiciones por cinco avanzados de licenciatura de matemáticas mayores . Descubrieron que los estudiantes universitarios podían aplicar en gran medida la definición de "par" a cero, pero aún no estaban convencidos por este razonamiento, ya que entraba en conflicto con sus imágenes conceptuales. [48]
Conocimiento de los profesores
Investigadores de educación matemática de la Universidad de Michigan han incluido la pregunta de verdadero o falso "0 es un número par" en una base de datos de más de 250 preguntas diseñadas para medir el conocimiento del contenido de los profesores. Para ellos, la pregunta ejemplifica "el conocimiento común ... que cualquier adulto bien educado debería tener", y es "ideológicamente neutral" en el sentido de que la respuesta no varía entre las matemáticas tradicionales y las reformistas . En un estudio de 2000–2004 de 700 maestros de primaria en los Estados Unidos , el desempeño general en estas preguntas predijo significativamente mejoras en los puntajes de las pruebas estandarizadas de los estudiantes después de tomar las clases de los maestros. [49] En un estudio más profundo de 2008, los investigadores encontraron una escuela donde todos los maestros pensaban que cero no era ni impar ni par, incluido un maestro que era ejemplar en todas las demás medidas. La idea errónea había sido difundida por un entrenador de matemáticas en su edificio. [50]
No se sabe cuántos profesores albergan conceptos erróneos sobre el cero. Los estudios de Michigan no publicaron datos para preguntas individuales. Betty Lichtenberg, profesora asociada de educación matemática en la Universidad del Sur de Florida , en un estudio de 1972 informó que cuando un grupo de futuros maestros de escuela primaria recibió una prueba de verdadero o falso que incluía el ítem "Cero es un número par", encontraron que era una "pregunta delicada", y alrededor de dos tercios respondieron "Falso". [51]
Implicaciones para la instrucción
Matemáticamente, demostrar que cero es par es una simple cuestión de aplicar una definición, pero se necesita más explicación en el contexto de la educación. Una cuestión se refiere a los fundamentos de la prueba; la definición de "par" como "múltiplo entero de 2" no siempre es apropiada. Es posible que un estudiante de los primeros años de educación primaria aún no haya aprendido lo que significa "entero" o "múltiple", y mucho menos cómo multiplicar por 0. [52] Además, establecer una definición de paridad para todos los números enteros puede parecer una arbitrariedad. atajo conceptual si los únicos números pares investigados hasta ahora han sido positivos. Puede ser útil reconocer que a medida que el concepto numérico se extiende de los enteros positivos para incluir los enteros cero y negativos, las propiedades de los números, como la paridad, también se extienden de una manera no trivial. [53]
Cognición numérica
Sin embargo, los adultos que creen que cero es par pueden no estar familiarizados con pensar que es par, lo suficiente como para ralentizarlos considerablemente en un experimento de tiempo de reacción . Stanislas Dehaene , un pionero en el campo de la cognición numérica , dirigió una serie de experimentos de este tipo a principios de la década de 1990. Se muestra un número al sujeto en un monitor , y una computadora registra el tiempo que le toma al sujeto presionar uno de los dos botones para identificar el número como par o impar. Los resultados mostraron que 0 era más lento de procesar que otros números pares. Algunas variaciones del experimento encontraron demoras de hasta 60 milisegundos o aproximadamente el 10% del tiempo de reacción promedio, una pequeña diferencia pero significativa. [55]
Los experimentos de Dehaene no fueron diseñados específicamente para investigar 0, sino para comparar modelos competidores de cómo se procesa y extrae la información de paridad. El modelo más específico, la hipótesis del cálculo mental, sugiere que las reacciones a 0 deberían ser rápidas; 0 es un número pequeño y es fácil calcular 0 × 2 = 0 . (Se sabe que los sujetos calculan y nombran el resultado de la multiplicación por cero más rápido que la multiplicación de números distintos de cero, aunque son más lentos para verificar los resultados propuestos como 2 × 0 = 0 ). Los resultados de los experimentos sugirieron que estaba sucediendo algo bastante diferente: Aparentemente, la información de paridad se estaba recuperando de la memoria junto con un grupo de propiedades relacionadas, como ser primo o potencia de dos . Tanto la secuencia de potencias de dos como la secuencia de números pares positivos 2, 4, 6, 8, ... son categorías mentales bien diferenciadas cuyos miembros son prototípicamente pares. Zero no pertenece a ninguna de las listas, de ahí las respuestas más lentas. [56]
Experimentos repetidos han mostrado un retraso en cero para sujetos con una variedad de edades y antecedentes nacionales y lingüísticos, confrontados con nombres de números en forma numérica , deletreados y deletreados en una imagen especular. El grupo de Dehaene encontró un factor diferenciador: la experiencia matemática. En uno de sus experimentos, los estudiantes de la École Normale Supérieure se dividieron en dos grupos: los de estudios literarios y los de matemáticas, física o biología. La ralentización en 0 "se encontró esencialmente en el grupo [literario]" y, de hecho, "antes del experimento, algunos sujetos L no estaban seguros de si 0 era par o impar y había que recordarles la definición matemática". [57]
Esta fuerte dependencia de la familiaridad vuelve a socavar la hipótesis del cálculo mental. [58] El efecto también sugiere que no es apropiado incluir cero en experimentos donde se comparan números pares e impares como un grupo. Como dice un estudio, "la mayoría de los investigadores parecen estar de acuerdo en que el cero no es un número par típico y no debe investigarse como parte de la recta numérica mental". [59]
Contextos cotidianos
Algunos de los contextos en los que aparece la paridad cero son puramente retóricos. El número proporciona material para foros de mensajes de Internet y sitios web de preguntas a expertos. [60] El lingüista Joseph Grimes reflexiona sobre que preguntar "¿Es el cero un número par?" a las parejas casadas es una buena manera de hacer que estén en desacuerdo. [61] Las personas que piensan que cero no es ni par ni impar pueden usar la paridad de cero como prueba de que cada regla tiene un contraejemplo , [62] o como un ejemplo de una pregunta capciosa . [63]
Alrededor del año 2000, los medios de comunicación notaron un par de hitos inusuales: "1999/11/19" fue la última fecha del calendario compuesta por todos los dígitos impares que ocurrirían durante mucho tiempo, y que "2000/02/02" fue la primera fecha uniforme que se produce en mucho tiempo. [64] Dado que estos resultados hacen uso de que 0 sea par, algunos lectores no estuvieron de acuerdo con la idea. [sesenta y cinco]
En las pruebas estandarizadas , si una pregunta se refiere al comportamiento de números pares, puede ser necesario tener en cuenta que cero es par. [66] Las publicaciones oficiales relacionadas con las pruebas GMAT y GRE afirman que 0 es par. [67]
La paridad de cero es relevante para el racionamiento impar-par , en el que los automóviles pueden conducir o comprar gasolina en días alternos, de acuerdo con la paridad del último dígito en sus matrículas . La mitad de los números en un rango dado terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la otra mitad en 1, 3, 5, 7, 9, por lo que tiene sentido incluir 0 con los otros números pares. Sin embargo, en 1977, un sistema de racionamiento de París generó confusión: en un día impar, la policía evitó multar a los conductores cuyas placas terminaban en 0, porque no sabían si 0 era par. [68] Para evitar esa confusión, la legislación pertinente a veces estipula que cero es par; tales leyes se han aprobado en Nueva Gales del Sur [69] y Maryland . [70]
En los buques de la Armada de los Estados Unidos, los compartimentos con números pares se encuentran en el lado de babor , pero el cero está reservado para los compartimentos que cruzan la línea central. Es decir, los números dicen 6-4-2-0-1-3-5 de babor a estribor. [71]
En el juego de la ruleta , el número 0 no cuenta como par o impar, lo que le da al casino una ventaja en tales apuestas. [72] De manera similar, la paridad de cero puede afectar los pagos en las apuestas de prop cuando el resultado depende de si algún número aleatorio es par o impar, y resulta ser cero. [73]
El juego de " probabilidades e pares " también se ve afectado: si ambos jugadores lanzan cero dedos, el número total de dedos es cero, por lo que el jugador par gana. [74] Un manual del maestro sugiere jugar a este juego como una forma de presentarles a los niños el concepto de que 0 es divisible por 2. [75]
Referencias
- ↑ a b Arnold , 1919 , p. 21 "Por la misma prueba, cero supera a todos los números en 'uniformidad'"; Wong 1997 , pág. 479 "Por lo tanto, el entero b 000 ⋯ 000 = 0 es el más 'par'.
- ^ Penner , 1999 , p. 34: Lema B.2.2, El número entero 0 es par y no impar . Penner usa el símbolo matemático ∃, el cuantificador existencial , para establecer la prueba: "Para ver que 0 es par, debemos probar que ∃ k (0 = 2 k ), y esto se sigue de la igualdad 0 = 2 ⋅ 0 ".
- ↑ Ball, Lewis & Thames (2008 , p. 15) discuten este desafío para el maestro de primaria, que quiere dar razones matemáticas para hechos matemáticos, pero cuyos estudiantes no usan la misma definición, ni la entenderían si se les presentara. .
- ^ Compárese con Lichtenberg (1972 , p. 535) Fig.1
- ^ Lichtenberg 1972 , pp. 535–536 "... los números responden a la pregunta ¿Cuántos? Para el conjunto de objetos ... cero es la propiedad numérica del conjunto vacío ... Si los elementos de cada conjunto están marcados en grupos de dos ... entonces el número de ese conjunto es un número par ".
- ^ Lichtenberg 1972 , págs. 535–536 "Cero grupos de dos estrellas están encerrados en un círculo. No quedan estrellas. Por lo tanto, cero es un número par".
- ^ Dickerson y Pitman , 2012 , p. 191.
- ^ Lichtenberg 1972 , p. 537; compárela con la Fig. 3. "Si los números pares se identifican de alguna manera especial ... no hay ninguna razón para omitir el cero en el patrón".
- ^ Lichtenberg 1972 , págs. 537–538 "En un nivel más avanzado ... los números expresados como (2 × ▢) + 0 son números pares ... el cero encaja perfectamente en este patrón".
- ^ Caldwell y Xiong 2012 , págs. 5-6.
- ^ Gowers 2002 , p. 118 "La exclusión aparentemente arbitraria de 1 de la definición de un número primo ... no expresa ningún hecho profundo sobre los números: simplemente resulta ser una convención útil, adoptada por lo que solo hay una forma de factorizar cualquier número dado en números primos". Para una discusión más detallada, consulte Caldwell y Xiong (2012) .
- ↑ a b c Partee , 1978 , p. xxi
- ↑ a b Stewart , 2001 , p. 54 Estas reglas se dan, pero no se citan textualmente.
- ^ Devlin 1985 , págs. 30–33
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- ↑ a b Berlinghoff, Grant & Skrien 2001 Para vértices aislados, ver p. 149; para grupos ver p. 311.
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- ^ Este es el período de tiempo en Estados Unidos, Canadá, Gran Bretaña, Australia e Israel; véase Levenson, Tsamir y Tirosh (2007 , p. 85).
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- ^ Frobisher 1999 , p. 41 "El porcentaje de niños del segundo año que deciden que cero es un número par es mucho más bajo que en el estudio anterior, 32% frente al 45%"
- ^ Frobisher 1999 , p. 41 "El éxito en decidir que cero es un número par no siguió aumentando con la edad, con aproximadamente uno de cada dos niños en cada uno de los años 2 a 6 marcando la casilla 'pares' ..."
- ^ Frobisher 1999 , págs. 40-42, 47; Estos resultados son del estudio de febrero de 1999, que incluyó a 481 niños, de tres escuelas en una variedad de niveles de rendimiento.
- ^ Frobisher 1999 , p. 41, atribuido a "Jonathan"
- ^ Frobisher 1999 , p. 41, atribuido a "Joseph"
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- ^ Keith 2006 , págs. 35-68 "Hubo poco desacuerdo sobre la idea de que cero sea un número par. Los estudiantes convencieron a los pocos que no estaban seguros con dos argumentos. El primer argumento fue que los números siguen un patrón ... impar, par, impar, par, impar, par ... y dado que dos es par y uno es impar, el número anterior a uno, que no es una fracción, sería cero. Por lo tanto, cero tendría que ser par. El segundo argumento era que si una persona tiene cero cosas y las pone en dos grupos iguales, entonces habría cero en cada grupo. Los dos grupos tendrían la misma cantidad, cero ".
- ^ Levenson, Tsamir y Tirosh 2007 , págs. 83–95
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- ↑ Según lo concluido por Levenson, Tsamir & Tirosh (2007 , p. 93), haciendo referencia a Freudenthal (1983 , p. 460)
- ^ Nuerk, Iversen & Willmes (2004 , p. 851): "También se puede ver que el cero difiere mucho de todos los demás números independientemente de si se responde con la mano izquierda o con la derecha (ver la línea que separa el cero). de los otros números.) "
- ^ Véanse los datos de Dehaene, Bossini y Giraux (1993) y el resumen de Nuerk, Iversen y Willmes (2004 , p. 837).
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- ^ Dehaene, Bossini y Giraux 1993 , págs. 376–377
- ^ Dehaene, Bossini y Giraux 1993 , p. 376 "En cierto sentido intuitivo, la noción de paridad es familiar sólo para números mayores que 2. De hecho, antes del experimento, algunos sujetos L no estaban seguros de si 0 era par o impar y había que recordarles la definición matemática. La evidencia, En resumen, sugiere que en lugar de calcularse sobre la marcha utilizando un criterio de divisibilidad por 2, la información de paridad se recupera de la memoria junto con una serie de otras propiedades semánticas ... Si se accede a una memoria semántica en juicios de paridad, entonces interindividual se deben encontrar diferencias dependiendo de la familiaridad de los sujetos con los conceptos numéricos ".
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enlaces externos
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