En mecánica cuántica , la ecuación de Pauli o la ecuación de Schrödinger-Pauli es la formulación de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín ½ , que tiene en cuenta la interacción del espín de la partícula con un campo electromagnético externo . Es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y se puede utilizar cuando las partículas se mueven a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz , por lo que los efectos relativistas pueden despreciarse. Fue formulado por Wolfgang Pauli en 1927. [1]
Por una partícula de masa y carga electrica , en un campo electromagnético descrito por el potencial del vector magnético y el potencial escalar eléctrico , la ecuación de Pauli dice:
Ecuación de Pauli (general)
Aquí son los operadores de Pauli reunidos en un vector por conveniencia, yes el operador de impulso . El estado del sistema(escrito en notación de Dirac ), se puede considerar como una función de onda de espino de dos componentes o un vector de columna (después de la elección de la base):
- .
El operador hamiltoniano es una matriz de 2 × 2 debido a los operadores de Pauli .
La sustitución en la ecuación de Schrödinger da la ecuación de Pauli. Este hamiltoniano es similar al hamiltoniano clásico para una partícula cargada que interactúa con un campo electromagnético. Ver Fuerza de Lorentz para detalles de este caso clásico. El término de energía cinética para una partícula libre en ausencia de un campo electromagnético es simplemente dónde es el momento cinético , mientras que en presencia de un campo electromagnético implica el acoplamiento mínimo , donde ahora es el momento cinético yes el impulso canónico .
Los operadores de Pauli se pueden eliminar del término de energía cinética utilizando la identidad del vector de Pauli :
Tenga en cuenta que, a diferencia de un vector, el operador diferencial tiene un producto cruzado distinto de cero consigo mismo. Esto se puede ver considerando el producto cruzado aplicado a una función escalar:
dónde es el campo magnético.
Para la ecuación de Pauli completa, se obtiene [2]
Ecuación de Pauli (forma estándar)
Campos magnéticos débiles
Para el caso de que el campo magnético sea constante y homogéneo, se puede expandir usando el calibre simétrico , dónde es el operador de posición . Obtenemos
dónde es el momento angular de la partícula y descuidamos los términos en el campo magnético al cuadrado. Por lo tanto obtenemos
Ecuación de Pauli (campos magnéticos débiles)
dónde es el giro de la partícula. El factor 2 delante del giro se conoce como factor g de Dirac . El término en, es de la forma que es la interacción habitual entre un momento magnético y un campo magnético, como en el efecto Zeeman .
Por un electrón de carga en un campo magnético constante isotrópico, se puede reducir aún más la ecuación utilizando el momento angular total y teorema de Wigner-Eckart . Así encontramos
dónde es el magneton de Bohr yes el número cuántico magnético relacionado con. El terminose conoce como el factor g de Landé , y aquí viene dado por
- [a]
dónde es el número cuántico orbital relacionado con y es el número cuántico orbital total relacionado con .
La ecuación de Pauli es el límite no relativista de la ecuación de Dirac , la ecuación cuántica relativista de movimiento para partículas spin-½. [3]
Derivación
La ecuación de Dirac se puede escribir como:
- ,
dónde y son espinor de dos componentes , formando un bispinor.
Usando el siguiente ansatz:
- ,
con dos nuevos espinores , la ecuación se convierte en
- .
En el límite no relativista, y las energías cinética y electrostática son pequeñas con respecto a la energía en reposo .
Por lo tanto
Insertado en el componente superior de la ecuación de Dirac, encontramos la ecuación de Pauli (forma general):
De una transformación de Foldy-Wouthuysen
También se puede derivar rigurosamente la ecuación de Pauli, partiendo de la ecuación de Dirac en un campo externo y realizando una transformación de Foldy-Wouthuysen . [3]
La ecuación de Pauli se deriva al requerir acoplamiento mínima , que proporciona un g -factor g = 2. La mayoría de las partículas elementales tienen factores g anómalos, diferentes de 2. En el dominio de la teoría de campos cuánticos relativistas , se define un acoplamiento no mínimo, a veces llamado acoplamiento de Pauli, para agregar un factor anómalo.
dónde es el operador de cuatro momentos ,si el electromagnético de cuatro potenciales ,es el momento dipolar magnético anómalo ,es tensor electromagnético , yson las matrices de espín de Lorentz y el conmutador de las matrices gamma . [4] [5] En el contexto de la mecánica cuántica no relativista, en lugar de trabajar con la ecuación de Schrödinger, el acoplamiento de Pauli es equivalente a usar la ecuación de Pauli (o postular la energía de Zeeman ) para un factor g arbitrario .