En álgebra lineal , se dice que una matriz cuadrada con entradas complejas es sesgada-hermitiana o antihermitiana si su transposición conjugada es la negativa de la matriz original. [1] Es decir, la matriz es sesgado-hermitiano si satisface la relación
dónde denota la transpuesta conjugada de la matriz . En forma de componente, esto significa que
para todos los índices y , dónde es el elemento en el -th fila y -a columna de y la línea superior denota una conjugación compleja .
Las matrices sesgadas-hermitianas pueden entenderse como las versiones complejas de las matrices sesgadas simétricas reales , o como la matriz análoga de los números puramente imaginarios. [2] El conjunto de todos los sesgos-hermitianos matrices forma el Álgebra de Lie , que corresponde al grupo de Lie U ( n ) . El concepto se puede generalizar para incluir transformaciones lineales de cualquier espacio vectorial complejo con una norma sesquilínea .
Tenga en cuenta que el adjunto de un operador depende del producto escalar considerado en el complejo dimensional o espacio real . Si denota el producto escalar en , luego diciendo es sesgado-adjunto significa que para todos uno tiene .
Los números imaginarios se pueden considerar como adjuntos sesgados (ya que son comomatrices), mientras que los números reales corresponden a operadores autoadjuntos .
Ejemplo
Por ejemplo, la siguiente matriz es sesgada-hermitiana
porque
Propiedades
- Los valores propios de una matriz sesgada-hermitiana son todos puramente imaginarios (y posiblemente cero). Además, las matrices sesgadas-hermitianas son normales . Por tanto, son diagonalizables y sus vectores propios para valores propios distintos deben ser ortogonales. [3]
- Todas las entradas en la diagonal principal de una matriz sesgada-hermitiana deben ser puramente imaginarias ; es decir, en el eje imaginario (el número cero también se considera puramente imaginario). [4]
- Si y son sesgados-hermitianos, entonces es sesgado-hermitiano para todos los escalares reales y . [5]
- es sesgado-hermitiano si y solo si (o equivalente, ) es hermitiano . [5]
- es sesgado-hermitiano si y solo si la parte reales simétrica sesgada y la parte imaginariaes simétrico .
- Si es sesgado-hermitiano, entonces es hermitiano si es un número entero par y sesgado-hermitiano si es un número entero impar.
- es sesgado-hermitiano si y solo si para todos los vectores .
- Si es sesgado-hermitiano, entonces la matriz exponencial es unitario .
- El espacio de matrices sesgadas-hermitianas forma el álgebra de Lie del grupo Lie .
Descomposición en hermitiano y sesgado-hermitiano
- La suma de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es hermitiano.
- La diferencia de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es sesgado-hermitiano. Esto implica que el conmutador de dos matrices hermitianas es sesgado-hermitiano.
- Una matriz cuadrada arbitraria se puede escribir como la suma de una matriz hermitiana y una matriz sesgada-hermitiana :
Ver también
Notas
- ^ Horn y Johnson (1985) , §4.1.1; Meyer (2000) , §3.2
- ^ Horn y Johnson (1985) , §4.1.2
- ^ Horn y Johnson (1985) , §2.5.2, §2.5.4
- ^ Meyer (2000) , ejercicio 3.2.5
- ↑ a b Horn y Johnson (1985) , §4.1.1
Referencias
- Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
- Meyer, Carl D. (2000), Análisis de matrices y álgebra lineal aplicada , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.