En matemáticas , el teorema de Peter-Weyl es un resultado básico en la teoría del análisis armónico , que se aplica a grupos topológicos que son compactos , pero no necesariamente abelianos . Fue probado inicialmente por Hermann Weyl , con su alumno Fritz Peter , en el marco de un grupo topológico compacto G ( Peter & Weyl 1927 ). El teorema es una colección de resultados que generalizan los hechos significativos sobre la descomposición de la representación regular de cualquier grupo finito , como lo descubrió Ferdinand Georg Frobenius.e Issai Schur .
Sea G un grupo compacto. El teorema tiene tres partes. La primera parte establece que los coeficientes matriciales de representaciones irreducibles de G son densos en el espacio C ( G ) de funciones continuas de valores complejos en G , y por lo tanto también en el espacio L 2 ( G ) de funciones cuadradas integrables . La segunda parte afirma la reducibilidad completa de representaciones unitarias de G . La tercera parte afirma entonces que la representación regular de G en L 2 ( G ) se descompone como la suma directa de todas las representaciones unitarias irreductibles. Además, los coeficientes de la matriz de las representaciones unitarias irreducibles forman una base ortonormal de L 2 ( G ). En el caso de que G sea el grupo de números complejos unitarios, este último resultado es simplemente un resultado estándar de la serie de Fourier.
Coeficientes de matriz
Un coeficiente de matriz del grupo G es una función de valor complejoen G dado como la composición
donde π: G → GL ( V ) es una representación de grupo de dimensión finita ( continua ) de G , y L es un funcional lineal en el espacio vectorial de endomorfismos de V (por ejemplo, traza), que contiene GL ( V ) como un subconjunto. Los coeficientes de la matriz son continuos, ya que las representaciones son por definición continuas, y los funcionales lineales en espacios de dimensión finita también son continuos.
La primera parte del teorema de Peter-Weyl afirma ( Bump 2004 , §4.1; Knapp 1986 , Theorem 1.12):
Teorema de Peter-Weyl (Parte I). El conjunto de coeficientes matriciales de G es denso en el espacio de funciones complejas continuas C ( G ) sobre G , equipado con la norma uniforme .
Este primer resultado se asemeja al teorema de Stone-Weierstrass en que indica la densidad de un conjunto de funciones en el espacio de todas las funciones continuas, sujeto sólo a una caracterización algebraica . De hecho, los coeficientes matriciales forman un invariante de álgebra unital bajo conjugación compleja porque el producto de dos coeficientes matriciales es un coeficiente matricial de la representación del producto tensorial, y el conjugado complejo es un coeficiente matricial de la representación dual. Por tanto, el teorema se sigue directamente del teorema de Stone-Weierstrass si los coeficientes de la matriz separan puntos, lo cual es obvio si G es un grupo de matrices ( Knapp 1986 , p. 17). A la inversa, es una consecuencia del teorema de que cualquier grupo de Lie compacto es isomorfo a un grupo de matriz ( Knapp 1986 , Teorema 1.15).
Un corolario de este resultado es que los coeficientes de la matriz de G son densos en L 2 ( G ).
Descomposición de una representación unitaria
La segunda parte del teorema da la existencia de una descomposición de una representación unitaria de G en representaciones de dimensión finita. Ahora, intuitivamente, los grupos fueron concebidos como rotaciones sobre objetos geométricos, por lo que es natural estudiar representaciones que esencialmente surgen de acciones continuas en espacios de Hilbert. (Para aquellos que fueron introducidos por primera vez a grupos duales que consisten en caracteres que son los homomorfismos continuos en el grupo circular , este enfoque es similar excepto que el grupo circular se generaliza (en última instancia) al grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert dado)
Sea G un grupo topológico y H un espacio de Hilbert complejo.
Una acción continua ∗: G × H → H , da lugar a un mapa continuo ρ ∗ : G → H H (funciones de H a H con la topología fuerte ) definida por: ρ ∗ ( g ) ( v ) = ∗ (g , v) . Este mapa es claramente un homomorfismo de G en GL ( H ), el homeomorfa [ aclaración necesaria ] automorfismos de H . Por el contrario, dado un mapa de este tipo, podemos recuperar de forma única la acción de la forma obvia.
Así definimos las representaciones de G en un espacio de Hilbert H a ser aquellos homomorfismo de grupos , rho, que surgen de las acciones continuas de G en H . Decimos que una representación ρ es unitaria si ρ ( g ) es un operador unitario para todo g ∈ G ; es decir,para todos v , w ∈ H . (Es decir, es unitario si ρ: G → U ( H ). Observe cómo esto generaliza el caso especial del espacio de Hilbert unidimensional, donde U ( C ) es solo el grupo circular).
Dadas estas definiciones, podemos enunciar la segunda parte del teorema de Peter-Weyl ( Knapp 1986 , Teorema 1.12):
Teorema de Peter-Weyl (Parte II). Deje ρ ser una representación unitaria de un grupo compacto G en un complejo espacio de Hilbert H . Entonces H se divide en un ortogonal suma directa de representaciones unitarias de dimensión finita irreducibles de G .
Descomposición de funciones cuadradas integrables
Para enunciar la tercera y última parte del teorema, hay un espacio natural de Hilbert sobre G que consta de funciones cuadradas integrables ,; Esto tiene sentido porque la medida de Haar existe en G . El grupo G tiene una representación unitaria ρ endado actuando a la izquierda, vía
El enunciado final del teorema de Peter-Weyl ( Knapp 1986 , Teorema 1.12) da una base ortonormal explícita de. A grandes rasgos, afirma que los coeficientes matriciales para G , adecuadamente renormalizados, son una base ortonormal de L 2 ( G ). En particular,se descompone en una suma directa ortogonal de todas las representaciones unitarias irreductibles, en la que la multiplicidad de cada representación irreductible es igual a su grado (es decir, la dimensión del espacio subyacente de la representación). Por lo tanto,
donde Σ denota el conjunto de (clases de isomorfismo de) representaciones unitarias irreductibles de G , y la suma denota el cierre de la suma directa de los espacios totales E π de las representaciones π.
También podemos considerar como representación del grupo de productos directo , con los dos factores actuando por traslación a la izquierda y a la derecha, respectivamente. Arreglar una representación de . El espacio de coeficientes matriciales para la representación se puede identificar con, el espacio de mapas lineales de a sí mismo. La acción natural de izquierda y derecha de en los coeficientes de la matriz corresponde a la acción sobre dada por
Entonces podemos descomponernos como representación unitaria de en la forma
Finalmente, podemos formar una base ortonormal para como sigue. Suponga que se elige un π representativo para cada clase de isomorfismo de representación unitaria irreducible, y denote la colección de todos esos π por Σ. Dejar ser los coeficientes de la matriz de π en una base ortonormal, en otras palabras
para cada g ∈ G . Finalmente, sea d (π) el grado de representación π. El teorema ahora afirma que el conjunto de funciones
es una base ortonormal de
Restricción a funciones de clase
Una función en G se llama función de clase si para todos y en G . El espacio de funciones de clase integrables al cuadrado forma un subespacio cerrado dey, por tanto, un espacio de Hilbert por derecho propio. Dentro del espacio de coeficientes matriciales para una representación fijaes el personaje de , definido por
En la notación anterior, el carácter es la suma de los coeficientes de la matriz diagonal:
Una consecuencia importante del resultado anterior es la siguiente:
- Teorema : Los personajes de las representaciones irreducibles de G forman una base ortonormal para el espacio de las funciones de la clase de cuadrado integrable en G .
Este resultado juega un papel importante en la clasificación de Weyl de las representaciones de un grupo de Lie compacto conectado . [1]
Un ejemplo:
Un ejemplo simple pero útil es el caso del grupo de números complejos de magnitud 1, . En este caso, las representaciones irreductibles son unidimensionales y están dadas por
Entonces hay un único coeficiente de matriz para cada representación, la función
La última parte del teorema de Peter-Weyl afirma en este caso que estas funciones forman una base ortonormal para . En este caso, el teorema es simplemente un resultado estándar de la teoría de series de Fourier.
Para cualquier grupo compacto G , podemos considerar la descomposición deen términos de coeficientes matriciales como una generalización de la teoría de series de Fourier. De hecho, esta descomposición a menudo se denomina serie de Fourier.
Un ejemplo: SU (2)
Usamos la representación estándar del grupo SU (2) como
Por lo tanto, SU (2) se representa como la esfera de 3 sentado adentro . Las representaciones irreductibles de SU (2), mientras tanto, están etiquetadas por un número entero no negativo y se puede realizar como la acción natural de SU (2) sobre el espacio de polinomios homogéneos de grado en dos variables complejas. [2] Los coeficientes matriciales delLa representación son armónicos hipersféricos de grado, es decir, las restricciones para de polinomios armónicos homogéneos de grado en y . La clave para verificar esta afirmación es calcular que para dos números complejos cualesquiera y , la función
es armónico en función de .
En este caso, encontrar una base ortonormal para que consta de coeficientes de matriz equivale a encontrar una base ortonormal que consta de armónicos hiperesféricos, que es una construcción estándar en el análisis de esferas.
Consecuencias
Teoría de representación de grupos de Lie compactos conectados
El teorema de Peter-Weyl —específicamente la afirmación de que los caracteres forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables al cuadrado— juega un papel clave en la clasificación de las representaciones irreductibles de un grupo de Lie compacto conectado. [3] El argumento también depende de la fórmula integral de Weyl (para funciones de clase) y la fórmula de caracteres de Weyl .
Aquí se puede encontrar un resumen del argumento .
Linealidad de grupos de Lie compactos
Una consecuencia importante del teorema de Peter-Weyl es la siguiente: [4]
- Teorema : Todo grupo de Lie compacto tiene una representación fiel de dimensión finita y, por lo tanto, es isomorfo a un subgrupo cerrado de para algunos .
Estructura de grupos topológicos compactos
Del teorema de Peter-Weyl se puede deducir un teorema de estructura general significativo. Sea G un grupo topológico compacto, que asumimos Hausdorff . Para cualquier subespacio invariante G de dimensión finita V en L 2 ( G ), donde G actúa a la izquierda, consideramos la imagen de G en GL ( V ). Es cerrado, ya que G es compacto y un subgrupo del grupo de Lie GL ( V ). De acuerdo con un teorema de Élie Cartan, la imagen de G también es un grupo de Lie.
Si ahora tomamos el límite (en el sentido de la teoría de categorías ) sobre todos esos espacios V , obtenemos un resultado sobre G : debido a que G actúa fielmente sobre L 2 ( G ), G es un límite inverso de los grupos de Lie . Por supuesto, puede que no sea en sí mismo un grupo de mentiras: puede, por ejemplo, ser un grupo lucrativo .
Ver también
- Dualidad Pontryagin
Referencias
- Peter, F .; Weyl, H. (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Ana. , 97 : 737–755, doi : 10.1007 / BF01447892.
- Bump, Daniel (2004), grupos de mentiras , Springer, ISBN 0-387-21154-3.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- "Teorema de Peter-Weyl" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Knapp, Anthony (1986), Teoría de representación de grupos semisimple , Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0.
- Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción , Progreso en matemáticas, 140 (2a ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.
- Mostow, George D. (1961), "Cohomology of topological groups and solvmanifolds", Annals of Mathematics , Princeton University Press, 73 (1): 20–48, doi : 10.2307 / 1970281 , JSTOR 1970281
- Palais, Richard S .; Stewart, TE (1961), "La cohomología de los grupos de transformación diferenciables", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 83 (4): 623–644, doi : 10.2307 / 2372901 , JSTOR 2372901.
- Específico
- ↑ Hall 2015 Capítulo 12
- ^ Hall 2015 Ejemplo 4.10
- ^ Salón 2015 Sección 12.5
- ^ Knapp 2002 , Corolario IV.4.22