Atractor

En el campo matemático de los sistemas dinámicos , un atractor es un conjunto de estados hacia los cuales un sistema tiende a evolucionar, [2] para una amplia variedad de condiciones iniciales del sistema. Los valores del sistema que se acercan lo suficiente a los valores del atractor permanecen cercanos incluso si se alteran levemente.

En sistemas de dimensión finita, la variable en evolución puede representarse algebraicamente como un vector n- dimensional . El atractor es una región en el espacio n -dimensional . En los sistemas físicos , las n dimensiones pueden ser, por ejemplo, dos o tres coordenadas de posición para cada una de una o más entidades físicas; en los sistemas económicos , pueden ser variables separadas como la tasa de inflación y la tasa de desempleo .

Si la variable evolutiva es bidimensional o tridimensional, el atractor del proceso dinámico puede representarse geométricamente en dos o tres dimensiones (como por ejemplo en el caso tridimensional representado a la derecha). Un atractor puede ser un punto , un conjunto finito de puntos, una curva , una variedad o incluso un conjunto complicado con una estructura fractal conocida como atractor extraño (ver atractor extraño a continuación). Si la variable es un escalar , el atractor es un subconjunto de la recta numérica real. Describir los atractores de los sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los logros de la teoría del caos .

Una trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna restricción especial, excepto permanecer en el atractor, hacia adelante en el tiempo. La trayectoria puede ser periódica o caótica . Si un conjunto de puntos es periódico o caótico, pero el flujo en el barrio está lejos del conjunto, el conjunto no es un atractor, pero en su lugar se llama un repelente (o repulsor ).

Un sistema dinámico se describe generalmente mediante una o más ecuaciones diferenciales o en diferencias . Las ecuaciones de un sistema dinámico dado especifican su comportamiento durante un período de tiempo corto determinado. Para determinar el comportamiento del sistema durante un período más largo, a menudo es necesario integrar las ecuaciones, ya sea por medios analíticos o por iteración , a menudo con la ayuda de computadoras.

Los sistemas dinámicos en el mundo físico tienden a surgir de sistemas disipativos : si no fuera por alguna fuerza impulsora, el movimiento cesaría. (La disipación puede provenir de fricción interna , pérdidas termodinámicas o pérdida de material, entre muchas causas). La disipación y la fuerza impulsora tienden a equilibrarse, matando los transitorios iniciales y estableciendo el sistema en su comportamiento típico. El subconjunto del espacio de fase del sistema dinámico correspondiente al comportamiento típico es el atractor , también conocido como sección atrayente o atrayente.

Representación visual de un atractor extraño . [1] Otra visualización del mismo atractor 3D es este video .
Atraer el ciclo del período-3 y su cuenca de atracción inmediata para una cierta parametrización de f ( z ) =  z 2  +  c . Los tres puntos más oscuros son los puntos de los 3 ciclos, que se llevan entre sí en secuencia, y la iteración desde cualquier punto de la cuenca de atracción conduce a una convergencia (normalmente asintótica) a esta secuencia de tres puntos.
Punto fijo de atracción débil para un número complejo que evoluciona según un polinomio cuadrático complejo . El espacio de fase es el plano complejo horizontal; el eje vertical mide la frecuencia con la que se visitan los puntos del plano complejo. El punto en el plano complejo directamente debajo de la frecuencia máxima es el atractor de punto fijo.
Retrato de fase de Van der Pol : un atractivo ciclo límite
Una gráfica del atractor extraño de Lorenz para valores  ρ  = 28,  σ  = 10,  β  = 8/3
Diagrama de bifurcación del mapa logístico . Los atractores para cualquier valor del parámetro r se muestran en ordenadas en el dominio . El color de un punto indica la frecuencia con la que se visita el punto en el transcurso de 10 6 iteraciones: los valores encontrados con frecuencia están coloreados en azul, los valores encontrados con menos frecuencia son amarillos. Aparece una bifurcación alrededor , una segunda bifurcación (que lleva a cuatro valores de atractores) alrededor . El comportamiento es cada vez más complicado , intercalado con regiones de comportamiento más simple (franjas blancas).
Cuencas de atracción en el plano complejo para usar el método de Newton para resolver x 5  - 1 = 0. Los puntos en regiones del mismo color se asignan a la misma raíz; más oscuro significa que se necesitan más iteraciones para converger.