Punto de inflexión

En cálculo diferencial y geometría diferencial , un punto de inflexión , punto de inflexión , flexión o inflexión (inglés británico: inflexión ) es un punto en una curva plana suave en la que la curvatura cambia de signo. En particular, en el caso de la gráfica de una función , es un punto donde la función cambia de ser cóncava (cóncava hacia abajo) a convexa (cóncava hacia arriba), o viceversa.

Para la gráfica de una función de diferenciabilidad clase C ² ( f , su primera derivada f' , y su segunda derivada f'' , existen y son continuas), la condición f'' = 0 también puede usarse para encontrar un punto de inflexión ya que se debe pasar un punto de f'' = 0 para cambiar f'' de un valor positivo (cóncava hacia arriba) a un valor negativo (cóncava hacia abajo) o viceversa ya que f'' es continua; un punto de inflexión de la curva es donde f'' = 0 y cambia su signo en el punto (de positivo a negativo o de negativo a positivo). ^[1]Un punto donde la segunda derivada se anula pero no cambia su signo a veces se denomina punto de ondulación o punto de ondulación .

En geometría algebraica, un punto de inflexión se define un poco más generalmente, como un punto regular donde la tangente se encuentra con la curva en un orden de al menos 3, y un punto de ondulación o hiperflexión se define como un punto donde la tangente se encuentra con la curva en un orden de al menos 4. .

Los puntos de inflexión en geometría diferencial son los puntos de la curva donde la curvatura cambia de signo. ^{[2] [3]}

Por ejemplo, la gráfica de la función diferenciable tiene un punto de inflexión en ( x , f ( x )) si y solo si su primera derivada f' tiene un extremo aislado en x . (esto no es lo mismo que decir que f tiene un extremo). Es decir, en algún entorno, x es el único punto en el que f' tiene un mínimo o un máximo (local). Si todos los extremos de f' están aislados , entonces un punto de inflexión es un punto en el gráfico de f en el que ella tangente cruza la curva.

Un punto de inflexión descendente es un punto de inflexión donde la derivada es negativa en ambos lados del punto; en otras palabras, es un punto de inflexión cerca del cual la función es decreciente. Un punto de inflexión ascendente es un punto donde la derivada es positiva en ambos lados del punto; en otras palabras, es un punto de inflexión cerca del cual la función es creciente.

Gráfico de y = x ³ con un punto de inflexión en (0,0), que también es un punto estacionario .

Las raíces , puntos estacionarios , punto de inflexión y concavidad de un polinomio cúbico x ³ − 3 x ² − 144 x + 432 (línea negra) y su primera y segunda derivada (roja y azul).

Gráfico de f ( x ) = sin(2 x ) de − π /4 a 5 π /4; la segunda derivada es f″ ( x ) = –4sin(2 x ) , y su signo es, por lo tanto, el opuesto al signo de f . La tangente es azul donde la curva es convexa (por encima de su propia tangente ), verde donde es cóncava (por debajo de su tangente) y roja en los puntos de inflexión: 0, π /2 y π

y = x ⁴ – x tiene una segunda derivada de cero en el punto (0,0), pero no es un punto de inflexión porque la cuarta derivada es la primera derivada distinta de cero de orden superior (la tercera derivada también es cero).