En geometría de plano elemental , la potencia de un punto es un número real h que refleja la distancia relativa de un punto dado a un círculo dado. Específicamente, la potencia de un punto P con respecto a un círculo O de radio r está definida por (Figura 1).
donde s es la distancia entre P y el centro O del círculo. Según esta definición, los puntos dentro del círculo tienen potencia negativa, los puntos exteriores tienen potencia positiva y los puntos en el círculo tienen potencia cero. Para los puntos externos, la potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente desde el punto al círculo. La potencia de un punto también se conoce como la potencia del círculo del punto o la potencia de un círculo con respecto al punto.
El poder de punto P (ver en la Figura 1) se puede definir de manera equivalente como el producto de distancias desde el punto P a los dos puntos de intersección de cualquier línea a través de P . Por ejemplo, en la Figura 1, un rayo que emana de P corta al círculo en dos puntos, M y N , mientras que un rayo tangente corta al círculo en un punto T ; el rayo horizontal de P interseca el círculo en A y B , los puntos finales del diámetro. Sus respectivos productos de distancias son iguales entre sí y a la potencia del punto P en ese círculo.
Esta igualdad a veces se conoce como "teorema de la secante-tangente" , "teorema de las cuerdas que se intersecan" o "teorema de la potencia de un punto" . En el caso de que P se encuentre dentro del círculo, los dos puntos de intersección estarán en lados diferentes de la línea que pasa por P ; Se puede considerar que la línea tiene una dirección, de modo que una de las distancias es negativa y, por lo tanto, también lo es el producto de las dos.
El poder de un punto se usa en muchas definiciones geométricas y pruebas. Por ejemplo, el eje radical de dos círculos dados es la línea recta que consta de puntos que tienen la misma potencia en ambos círculos. Para cada punto de esta línea, hay un círculo único centrado en ese punto que interseca ambos círculos dados ortogonalmente; de manera equivalente, se pueden dibujar tangentes de igual longitud desde ese punto a ambos círculos dados. De manera similar, el centro radical de tres círculos es el único punto con el mismo poder que los tres círculos. Existe un círculo único, centrado en el centro del radical, que interseca los tres círculos dados ortogonalmente, de manera equivalente, las tangentes dibujadas desde el centro del radical a los tres círculos tienen la misma longitud. El diagrama de potencia de un conjunto de círculos divide el plano en regiones dentro de las cuales el círculo que minimiza la potencia es constante.
De manera más general, el matemático francés Edmond Laguerre definió la potencia de un punto con respecto a cualquier curva algebraica de manera similar.
Círculo ortogonal
Para un punto P fuera del círculo, la potencia h = R 2 , el cuadrado del radio R de un nuevo círculo centrado en P que interseca el círculo dado en ángulos rectos, es decir, ortogonalmente (Figura 2). Si los dos círculos se encuentran en ángulos rectos en un punto T , entonces los radios trazados a T desde P y desde O , el centro del círculo dado, también se encuentran en ángulos rectos (segmentos de línea azul en la Figura 2). Por lo tanto, el segmento de la línea de radio de cada círculo es tangente al otro círculo. Estos segmentos de línea forman un triángulo rectángulo con el segmento de línea que conecta O y P . Por lo tanto, según el teorema de Pitágoras ,
donde s es nuevamente la distancia desde el punto P al centro O del círculo dado (negro sólido en la Figura 2).
Esta construcción de un círculo ortogonal es útil para comprender el eje radical de dos círculos y el centro radical de tres círculos. El punto T se puede construir y, por lo tanto, el radio R y la potencia h se pueden encontrar geométricamente, encontrando la intersección del círculo dado con un semicírculo (rojo en la Figura 2) centrado en el punto medio de O y P y pasando por ambos puntos. También se puede demostrar que el punto Q es el inverso de P con respecto al círculo dado.
Teoremas
El teorema de la potencia de un punto , debido a Jakob Steiner , establece que para cualquier recta que atraviesa A que interseca un círculo c en los puntos P y Q , la potencia del punto con respecto al círculo c está dada por el producto
de las longitudes de los segmentos de A a P y de A a Q , con un signo positivo si A está fuera del círculo y un signo negativo en caso contrario: si A está en el círculo, el producto es cero. En el caso límite, cuando la línea es tangente al círculo, P = Q , y el resultado es inmediato del teorema de Pitágoras .
En los otros dos casos, cuando A está dentro del círculo, o A está fuera del círculo, la potencia de un teorema del punto tiene dos corolarios .
- El teorema de la cuerda , el teorema de las cuerdas que se intersecan o el teorema de la potencia de la cuerda-cuerda establece que si A es un punto dentro de un círculo y PQ y RS son cuerdas del círculo que se intersecan en A , entonces
- El valor común de estos productos es el negativo de la potencia del punto A con respecto al círculo.
- El teorema de las secantes que se intersecan (o teorema de la potencia secante-secante ) establece que si PQ y RS son cuerdas de un círculo que se intersecan en un punto A fuera del círculo, entonces
- En este caso, el valor común es el mismo que la potencia de A con respecto al círculo.
- El teorema de la tangente-secante es un caso especial del teorema de las secantes que se intersecan, donde los puntos Q y P coinciden, es decir
- Esto tiene utilidad en aplicaciones tales como determinar la distancia a un punto P en el horizonte , seleccionando los puntos R y S para formar una cuerda de diámetro, de modo que RS es el diámetro del planeta, AR es la altura sobre el planeta y AP es la distancia al horizonte.
Producto Darboux
La potencia de un punto es un caso especial del producto de Darboux entre dos círculos, que viene dado por
donde A 1 y A 2 son los centros de los dos círculos y r 1 y r 2 son sus radios. La potencia de un punto surge en el caso especial de que uno de los radios sea cero.
Si los dos círculos son ortogonales, el producto Darboux desaparece.
Si los dos círculos se cruzan, entonces su producto Darboux es
donde φ es el ángulo de intersección.
Teorema de laguerre
Laguerre definió la potencia de un punto P con respecto a una curva algebraica de grado n como el producto de las distancias desde el punto a las intersecciones de un círculo a través del punto con la curva, dividido por la n- ésima potencia del diámetro d . Laguerre demostró que este número es independiente del diámetro ( Laguerre 1905 ). En el caso de que la curva algebraica sea un círculo, esto no es exactamente lo mismo que la potencia de un punto con respecto a un círculo definido en el resto de este artículo, pero difiere de él en un factor de d 2 .
Referencias
- Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2a ed.), Nueva York: Wiley.
- Darboux, Gaston (1872), "Sur les Relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 323–392.
- Laguerre, Edmond (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (en francés), Gauthier-Villars et fils, p. 20
- Steiner, Jakob (1826), "Einige geometrische Betrachtungen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 161-184.
- Berger , Marcel (1987), Geometría I , Springer , ISBN 978-3-540-11658-5
Otras lecturas
- Ogilvy CS (1990), Excursiones en geometría , Publicaciones de Dover, págs. 6–23 , ISBN 0-486-26530-7
- Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Geometry Revisited , Washington : MAA , págs. 27–31, 159–160, ISBN 978-0-88385-619-2
- Johnson RA (1960), Geometría euclidiana avanzada: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Miflin ed.), Nueva York: Dover Publications, págs. 28-34, ISBN 978-0-486-46237-0
enlaces externos
- Jacob Steiner y el poder de un punto de convergencia
- Weisstein, Eric W. "Poder del círculo" . MathWorld .
- Teorema de la intersección de los acordes al cortar el nudo
- Teorema de la intersección de los acordes con animación interactiva
- Teorema de intersección de secantes con animación interactiva
- [1]