espacio métrico
En matemáticas , un espacio métrico es un conjunto junto con una noción de distancia entre sus elementos , generalmente llamados puntos . La distancia se mide mediante una función llamada función métrica o de distancia . [1] Los espacios métricos son el entorno más general para estudiar muchos de los conceptos de análisis matemático y geometría .
El ejemplo más familiar de un espacio métrico es el espacio euclidiano tridimensional con su noción habitual de distancia. Otros ejemplos bien conocidos son una esfera dotada de la distancia angular y el plano hiperbólico . Una métrica puede corresponder a una noción de distancia metafórica, más que física: por ejemplo, el conjunto de cadenas Unicode de 100 caracteres puede equiparse con la distancia de Hamming, que mide la cantidad de caracteres que deben cambiarse para obtener de una cuerda a otra.
Dado que son muy generales, los espacios métricos son una herramienta utilizada en muchas ramas diferentes de las matemáticas. Muchos tipos de objetos matemáticos tienen una noción natural de distancia y, por lo tanto, admiten la estructura de un espacio métrico, incluidas las variedades de Riemann , los espacios vectoriales normados y los gráficos . En álgebra abstracta , los números p -ádicos surgen como elementos de la realización de una estructura métrica sobre los números racionales . Los espacios métricos también se estudian por derecho propio en geometría métrica [2] y análisis sobre espacios métricos . [3]
Muchas de las nociones básicas del análisis matemático , incluidas las bolas , la integridad , así como la continuidad uniforme , de Lipschitz y de Hölder , se pueden definir en el establecimiento de espacios métricos. Otras nociones, como continuidad , compacidad y conjuntos abiertos y cerrados , pueden definirse para espacios métricos, pero también en el marco aún más general de espacios topológicos .
Para ver la utilidad de las diferentes nociones de distancia, considere la superficie de la Tierra como un conjunto de puntos. Podemos medir la distancia entre dos de esos puntos por la longitud del camino más corto a lo largo de la superficie , " en línea recta "; esto es particularmente útil para el transporte marítimo y la aviación. También podemos medir la distancia en línea recta entre dos puntos a través del interior de la Tierra; esta noción es, por ejemplo, natural en sismología , ya que corresponde aproximadamente al tiempo que tardan las ondas sísmicas en viajar entre esos dos puntos.
La noción de distancia codificada por los axiomas del espacio métrico tiene relativamente pocos requisitos. Esta generalidad da mucha flexibilidad a los espacios métricos. Al mismo tiempo, la noción es lo suficientemente fuerte como para codificar muchos hechos intuitivos sobre lo que significa la distancia. Esto significa que los resultados generales sobre espacios métricos se pueden aplicar en muchos contextos diferentes.
