En la teoría de categorías , un coequalizador (o coecualizador ) es una generalización de un cociente por una relación de equivalencia con objetos en una categoría arbitraria . Es la construcción categórica dual al ecualizador .
Definición
A coequalizer es un colimit del diagrama que consta de dos objetos X y Y y dos paralelas morfismos f , g : X → Y .
Más explícitamente, un coecualizador se puede definir como un objeto Q junto con un morfismo q : Y → Q tal que q ∘ f = q ∘ g . Además, el par ( Q , q ) debe ser universal en el sentido de que dado cualquier otro par ( Q ′, q ′) existe un morfismo único u : Q → Q ′ tal que u ∘ q = q ′. Esta información se puede capturar mediante el siguiente diagrama conmutativo :
![Coequalizer-01.png](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/1/19/Coequalizer-01.png)
Como ocurre con todas las construcciones universales , un coequalizador, si existe, es único hasta un isomorfismo único (por eso, por abuso del lenguaje, a veces se habla del coequalizador de dos flechas paralelas).
Se puede demostrar que un coequalizador q es un epimorfismo en cualquier categoría.
Ejemplos de
- En la categoría de conjuntos , el coecualizador de dos funciones f , g : X → Y es el cociente de Y por la relación de equivalencia más pequeña tal que por cada , tenemos . [1] En particular, si R es una relación de equivalencia en un conjunto Y , y r 1 , r 2 son las proyecciones naturales ( R ⊂ Y × Y ) → Y entonces el coecualizador de r 1 y r 2 es el cociente conjunto Y / R . (Ver también: cociente por una relación de equivalencia ).
- El coequalizador en la categoría de grupos es muy similar. Aquí si f , g : X → Y son homomorfismos de grupo , su coequalizador es el cociente de Y por el cierre normal del conjunto
- Para los grupos abelianos, el coecualizador es particularmente simple. Es solo el grupo de factores Y / im ( f - g ). (Este es el cokernel del morfismo f - g ; vea la siguiente sección).
- En la categoría de espacios topológicos , el objeto círculo puede verse como el coequalizador de los dos mapas de inclusión del estándar 0-simplex al estándar 1-simplex.
- Los coequalizadores pueden ser grandes: hay exactamente dos functores de la categoría 1 que tienen un objeto y una flecha de identidad, hasta la categoría 2 con dos objetos y una flecha de no identidad entre ellos. El coequalizador de estos dos functores es el monoide de los números naturales bajo la suma, considerado como una categoría de un solo objeto. En particular, esto muestra que si bien toda flecha coequalizante es épica , no es necesariamente sobreyectiva .
Propiedades
- Todo coequalizador es un epimorfismo.
- En un topos , cada epimorfismo es el coequalizador de su par de núcleos.
Casos especiales
En categorías con morfismos cero , se puede definir un cokernel de un morfismo f como el coecualizador de f y el morfismo cero paralelo.
En las categorías preaditivas tiene sentido sumar y restar morfismos (los hom-sets en realidad forman grupos abelianos ). En tales categorías, se puede definir el coecualizador de dos morfismos f y g como el cokernel de su diferencia:
- coeq ( f , g ) = coquizador ( g - f ).
Una noción más fuerte es la de un coecualizador absoluto , este es un coecualizador que se conserva en todos los functores. Formalmente, un coequalizador absoluto de un par de flechas paralelas f , g : X → Y en una categoría C es un coecualizador como se definió anteriormente, pero con la propiedad añadida de que dado cualquier funtor F : C → D , F ( Q ) junto con F ( q ) es la coequalizer de F ( f ) y F ( g ) en la categoría D . Los coequalizadores divididos son ejemplos de coequalizadores absolutos.
Ver también
Notas
- ^ Barr, Michael ; Wells, Charles (1998). Teoría de categorías para ciencias de la computación (PDF) . pag. 278. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 25 de julio de 2013 .
Referencias
- Saunders Mac Lane : Categorías para el matemático que trabaja , segunda edición, 1998.
- Coequalizadores - página 65
- Cocualizadores absolutos - página 149
enlaces externos
- Página web interactiva que genera ejemplos de coequalizadores en la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine .