Símbolo de un operador diferencial
En matemáticas , el símbolo de un operador diferencial lineal es un polinomio que representa un operador diferencial , que se obtiene, hablando a grandes rasgos, reemplazando cada derivada parcial por una nueva variable. El símbolo de un operador diferencial tiene amplias aplicaciones en el análisis de Fourier . En particular, a este respecto, conduce a la noción de un operador pseudo-diferencial . Los términos de orden más alto del símbolo, conocidos como símbolo principal, controlan casi por completo el comportamiento cualitativo de las soluciones de una ecuación diferencial parcial . Ecuaciones diferenciales parciales elípticas linealesse pueden caracterizar como aquellos cuyo símbolo principal no es cero en ninguna parte. En el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas y parabólicas , los ceros del símbolo principal corresponden a las características de la ecuación diferencial parcial. En consecuencia, el símbolo es a menudo fundamental para la solución de tales ecuaciones, y es uno de los principales dispositivos computacionales utilizados para estudiar sus singularidades.
Sea P un operador diferencial lineal de orden k en el espacio euclidiano R d . Entonces P es un polinomio en la derivada D , que en notación de índices múltiples se puede escribir
y es de importancia más adelante porque es la única parte del símbolo que se transforma como tensor bajo cambios en el sistema de coordenadas.
El símbolo de P aparece naturalmente en conexión con la transformada de Fourier de la siguiente manera. Sea f una función de Schwartz . Luego, por la transformada inversa de Fourier,
Esto muestra a P como un multiplicador de Fourier . Una clase más general de funciones p ( x , ξ) que satisfacen como máximo las condiciones de crecimiento polinomial en ξ en las que esta integral se comporta bien comprende los operadores pseudo-diferenciales .
es un operador diferencial de orden . En coordenadas locales en X , tenemos
