En matemáticas , el valor principal de Cauchy , llamado así por Augustin Louis Cauchy , es un método para asignar valores a ciertas integrales impropias que de otro modo no estarían definidas.
Dependiendo del tipo de singularidad en el integrando f , el valor principal de Cauchy se define de acuerdo con las siguientes reglas:
- Para una singularidad en el número finito b :
![{\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
y donde b es el punto difícil, en el que el comportamiento de la función f es tal que ![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cualquier
y ![{\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cualquier
(Vea más o menos para el uso preciso de notaciones
y
) - Para una singularidad en el infinito (
):![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde ![{\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y ![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En algunos casos es necesario tratar simultáneamente con singularidades tanto en un número finito by en infinito. Esto generalmente se hace mediante un límite de la forma.
![{\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En aquellos casos en los que la integral puede dividirse en dos límites finitos e independientes,
![{\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y ![{\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces la función es integrable en el sentido ordinario. El resultado del procedimiento para el valor principal es el mismo que el de la integral ordinaria; dado que ya no coincide con la definición, técnicamente no es un "valor principal".
El valor principal de Cauchy también se puede definir en términos de integrales de contorno de una función de valor complejo
con
con un poste en un contorno C . Definir
para ser ese mismo contorno, donde se ha eliminado la porción dentro del disco de radio ε alrededor del polo. Proporcionó la función
es integrable sobre
no importa cuán pequeño sea ε , entonces el valor principal de Cauchy es el límite: [1]
![{\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En el caso de funciones integrables de Lebesgue , es decir, funciones integrables en valor absoluto , estas definiciones coinciden con la definición estándar de integral.
Si la función
es meromórfico , el teorema de Sokhotski-Plemelj relaciona el valor principal de la integral sobre C con el valor medio de las integrales con el contorno desplazado ligeramente hacia arriba y hacia abajo, de modo que el teorema del residuo se puede aplicar a esas integrales.
Las integrales de valores principales juegan un papel central en la discusión de las transformadas de Hilbert . [2]
Dejar
ser el conjunto de funciones de impacto , es decir, el espacio de funciones suaves con soporte compacto en la línea real
. Entonces el mapa
![{\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
definido a través del valor principal de Cauchy como ![{\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es una distribucion . A veces, el mapa en sí puede denominarse valor principal (de ahí la notación pv ). Esta distribución aparece, por ejemplo, en la transformada de Fourier de la función Signo y la función escalón Heaviside . Bien definido como distribución
Para probar la existencia del límite
![{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para una función de Schwartz
, primero observe que
es continuo en
como ![{\displaystyle \lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y por lo tanto ![{\displaystyle \lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
desde
es continuo y se aplica la regla de L'Hospital . Por lo tanto,
existe y aplicando el teorema del valor medio a
obtenemos:
![{\displaystyle \left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Y además:
![{\displaystyle \left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
notamos que el mapa
![{\displaystyle \operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
está delimitado por los seminarios habituales para las funciones de Schwartz
. Por tanto, este mapa define, por ser obviamente lineal, un funcional continuo en el espacio de Schwartz y por tanto una distribución templada . Tenga en cuenta que la prueba necesita
simplemente para ser continuamente diferenciable en una vecindad de 0 y
estar acotado hacia el infinito. Por lo tanto, el valor principal se define en supuestos aún más débiles, como
integrable con soporte compacto y diferenciable a 0.
Definiciones más generales
El valor principal es la distribución inversa de la función.
y es casi la única distribución con esta propiedad:
![{\displaystyle xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es una constante y
la distribución de Dirac. En un sentido más amplio, el valor principal se puede definir para una amplia clase de núcleos integrales singulares en el espacio euclidiano.
. Si
tiene una singularidad aislada en el origen, pero por lo demás es una función "agradable", entonces la distribución del valor principal se define en funciones suaves con soporte compacto mediante
![{\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tal límite puede no estar bien definido o, al estar bien definido, puede que no necesariamente defina una distribución. Sin embargo, está bien definido si
es una función homogénea continua de grado
cuya integral sobre cualquier esfera centrada en el origen desaparece. Este es el caso, por ejemplo, de las transformadas de Riesz . Considere los valores de dos límites:
![{\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este es el valor principal de Cauchy de la expresión de otro modo mal definida
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
También:
![{\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Del mismo modo, tenemos
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este es el valor principal de la expresión que de otro modo estaría mal definida
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
pero ![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Diferentes autores usan diferentes notaciones para el valor principal de Cauchy de una función
, entre otros:
![{\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
así como
PV, ![{\mathcal {P}},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![P_{v},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y vicepresidente