En matemáticas , un grupo de pro p (para algún número primo p ) es un grupo profinito tal que para cualquier subgrupo normal abierto el grupo del cociente es un p -Grupo . Tenga en cuenta que, como los grupos profinitos son compactos , los subgrupos abiertos son exactamente los subgrupos cerrados del índice finito , de modo que el grupo del cociente discreto es siempre finito.
Alternativamente, uno puede definir un pro- p grupo a ser el límite inverso de un sistema inverso de discreto finito p -grupos.
La mejor entendidas (e históricamente más importante) clase de pro- p grupos es el p -adic grupos analíticos: grupos con la estructura de una analítica colector sobrede modo que la multiplicación y la inversión de grupos son funciones analíticas. El trabajo de Lubotzky y Mann, junto con Michel Lazard solución 's de quinto problema de Hilbert sobre las p números -adic, muestra que un pro- p grupo es p analítica -adic si y sólo si tiene finita rango , es decir, existe una entero positivo tal que cualquier subgrupo cerrado tiene un grupo electrógeno topológico con no más de elementos. De manera más general, se demostró que un grupo profinito generado finitamente es un grupo de Lie p-ádico compacto si y solo si tiene un subgrupo abierto que es un grupo pro-p uniformemente poderoso.
Los teoremas de Coclass han sido probados en 1994 por A. Shalev e independientemente por CR Leedham-Green. Teorema D es uno de estos teoremas y afirma que, para cualquier número primo p y cualquier número entero positivo r , existen sólo un número finito de pro- p grupos de coclase r . Este resultado de finitud es fundamental para la clasificación de grupos p finitos mediante gráficas de coclase dirigidas .
Ejemplos de
- El grupo de n por n matrices invertibles sobretiene un subgrupo abierto U que consta de todas las matrices congruentes con la matriz de identidad módulo. Esta U es un grupo de prop . De hecho, los grupos analíticos p -ádicos mencionados anteriormente se pueden encontrar todos como subgrupos cerrados depara algún número entero n ,
- Cualquier finito p -Grupo es también un pro- p -Grupo (con respecto al sistema inverso constante).
- Hecho: Una imagen homomórfica finita de un grupo pro-p es un grupo p. (debido a JP Serre)
Ver también
- Propiedad residual (matemáticas)
- Grupo lucrativo (ver propiedad o hecho 5)
Referencias
- Dixon, JD; du Sautoy, MPF ; Mann, A .; Segal, D. (1991), grupos analíticos pro-p , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1, MR 1152800
- du Sautoy, M .; Segal, D .; Shalev, A. (2000), Nuevos horizontes en grupos pro-p , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4171-8