En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el producto Zappa-Szép (también conocido como producto Zappa-Rédei-Szép , producto general , producto tejido o factorización exacta ) describe una forma en que un grupo puede construirse a partir de dos subgrupos . Es una generalización de los productos directos y semidirectos . Lleva el nombre de Guido Zappa (1940) y Jenő Szép (1950), aunque fue estudiado de forma independiente por otros como BH Neumann (1935), GA Miller (1935) y JA de Séguier (1904). [1]
Productos internos de Zappa – Szép
Deje que G sea un grupo con elemento de identidad e , y dejar que H y K sean subgrupos de G . Las siguientes declaraciones son equivalentes:
- G = HK y H ∩ K = { e }
- Para cada g en G , existe una h única en H y una k única en K tal que g = hk .
Si cualquiera de (y por lo tanto ambos) de estos estados se sostienen, entonces G se dice que es una interna producto Zappa-Szép de H y K .
Ejemplos de
Deje que G = GL ( n , C ), el grupo lineal general de invertible n × n matrices sobre los números complejos . Para cada matriz A en G , la descomposición QR afirma que existe una matriz unitaria única Q y una matriz triangular superior única R con entradas reales positivas en la diagonal principal de manera que A = QR . Por tanto, G es un producto de Zappa-Szép del grupo unitario U ( n ) y el grupo (digamos) K de matrices triangulares superiores con entradas diagonales positivas.
Uno de los ejemplos más importantes de esto es el teorema de Philip Hall de 1937 sobre la existencia de sistemas de Sylow para grupos solubles . Esto muestra que cada grupo soluble es un producto Zappa-Szép de un subgrupo p 'de Hall y un subgrupo p de Sylow , y de hecho, el grupo es un producto Zappa-Szép (de factores múltiples) de un cierto conjunto de representantes de su Subgrupos de Sylow.
En 1935, George Miller demostró que cualquier grupo de permutación transitiva no regular con un subgrupo regular es un producto Zappa-Szép del subgrupo regular y un estabilizador puntual. Da PSL (2,11) y el grupo alterno de grado 5 como ejemplos y, por supuesto, cada grupo alterno de grado primario es un ejemplo. Este mismo artículo ofrece una serie de ejemplos de grupos que no pueden realizarse como productos Zappa-Szép de subgrupos propios, como el grupo de cuaterniones y el grupo alterno de grado 6.
Productos externos de Zappa – Szép
Al igual que con los productos directos y semidirectos, existe una versión externa del producto Zappa – Szép para grupos que no se conocen a priori como subgrupos de un grupo determinado. Para motivar a esto, permiten G = HK ser un producto interno Zappa-Szép de subgrupos H y K del grupo G . Para cada k en K y cada h en H , existen α ( k , h ) en H y β ( k , h ) en K tales que kh = α ( k , h ) β ( k , h ). Esto define mapeos α: K × H → H y β: K × H → K que resultan tener las siguientes propiedades:
- α ( e , h ) = h y β ( k , e ) = k para todos h en H y k en K .
- α ( k 1 k 2 , h ) = α ( k 1 , α ( k 2 , h ))
- β ( k , h 1 h 2 ) = β (β ( k , h 1 ), h 2 )
- α ( k , h 1 h 2 ) = α ( k , h 1 ) α (β ( k , h 1 ), h 2 )
- β ( k 1 k 2 , h ) = β ( k 1 , α ( k 2 , h )) β ( k 2 , h )
para todos h 1 , h 2 en H , k 1 , k 2 en K . De estos, se sigue que
- Para cada k en K , el mapeo h ↦ α ( k , h ) es una biyección de H .
- Para cada h en H , el mapeo k ↦ β ( k , h ) es una biyección de K .
(De hecho, suponga que α ( k , h 1 ) = α ( k , h 2 ). Entonces h 1 = α ( k −1 k , h 1 ) = α ( k −1 , α ( k , h 1 )) = α ( k −1 , α ( k , h 2 )) = h 2. Esto establece la inyectividad, y para la sobrejetividad, use h = α ( k , α ( k −1 , h )).)
De manera más concisa, las primeras tres propiedades anteriores afirman el mapeo α: K × H → H es una acción izquierda de K en (el conjunto subyacente de) H y que β: K × H → K es una acción derecha de H en (el conjunto de) subyacente K . Si denotamos la acción izquierda por h → k h y la acción derecha por k → k h , entonces las dos últimas propiedades equivalen a k ( h 1 h 2 ) = k h 1 k h 1 h 2 y ( k 1 k 2 ) h = k 1 k 2 h k 2 h .
Dando la vuelta a esto, suponga que H y K son grupos (y dejemos que e denote el elemento de identidad de cada grupo) y suponga que existen asignaciones α: K × H → H y β: K × H → K que satisfacen las propiedades anteriores. En el producto cartesiano H × K , defina una multiplicación y un mapeo de inversión por, respectivamente,
- ( h 1 , k 1 ) ( h 2 , k 2 ) = ( h 1 α ( k 1 , h 2 ), β ( k 1 , h 2 ) k 2 )
- ( h , k ) −1 = (α ( k −1 , h −1 ), β ( k −1 , h −1 ))
Entonces H × K es un grupo llamado externo producto Zappa-Szép de los grupos H y K . Los subconjuntos H × { e } y { e } × K son subgrupos isomorfos a H y K , respectivamente, y H × K es, de hecho, un producto interno de Zappa-Szép de H × { e } y { e } × K .
Relación con productos semidirectos y directos
Deje que G = HK ser un producto interno Zappa-Szép de subgrupos H y K . Si H es normal en G , entonces las asignaciones α y β están dadas por, respectivamente, α ( k , h ) = khk - 1 y β ( k , h ) = k . Esto es fácil de ver porque y ya que por normalidad de , . En este caso, G es un producto semidirecto interna de H y K .
Si, además, K es normal en G , entonces α ( k , h ) = h . En este caso, G es un producto directo interno de H y K .
Referencias
- ^ Martin W. Liebeck ; Cheryl E. Praeger; Jan Saxl (2010). Subgrupos regulares de grupos de permutación primitiva . American Mathematical Soc. págs. 1-2. ISBN 978-0-8218-4654-4.
- Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050, Kap. VI, §4.
- Michor, PW (1989), "Productos tejidos de grupos y álgebras de Lie graduados", Actas de la Escuela de Invierno sobre Geometría y Física, Srni , Supl. Rendiconti Circolo Matematico di Palermo, Ser. II, 22 : 171-175, arXiv : math / 9204220 , Bibcode : 1992math ...... 4220M.
- Miller, GA (1935), "Grupos que son el producto de dos subgrupos propios permutables", Proceedings of the National Academy of Sciences , 21 (7): 469–472, Bibcode : 1935PNAS ... 21..469M , doi : 10.1073 / pnas.21.7.469 , PMC 1076628 , PMID 16588002
- Szép, J. (1950), "Sobre la estructura de grupos que pueden representarse como el producto de dos subgrupos", Acta Sci. Matemáticas. Szeged , 12 : 57–61.
- Takeuchi, M. (1981), "Pares emparejados de grupos y productos bismash de álgebras de Hopf", Comm. Álgebra , 9 (8): 841–882, doi : 10.1080 / 00927878108822621.
- Zappa, G. (1940), "Sulla costruzione dei gruppi prodotto di due dati sottogruppi permutabili traloro", Atti Secondo Congresso Un. Estera. Ital. , Bolonia; Edizioni Cremonense, Roma, (1942) 119-125.
- Agore, AL; Chirvasitu, A .; Ion, B .; Militaru, G. (2007), Problemas de factorización para grupos finitos , arXiv : math / 0703471 , Bibcode : 2007math ...... 3471A , doi : 10.1007 / s10468-009-9145-6.
- Brin, MG (2005). "Sobre el producto Zappa-Szép". Comunicaciones en álgebra . 33 (2): 393–424. arXiv : matemáticas / 0406044 . doi : 10.1081 / AGB-200047404 .