Las extensiones Kan son construcciones universales en la teoría de categorías , una rama de las matemáticas . Están estrechamente relacionados con los adjuntos , pero también están relacionados con los límites y los fines . Llevan el nombre de Daniel M. Kan , quien construyó ciertas extensiones (Kan) usando límites en 1960.
Un uso temprano de (lo que ahora se conoce como) una extensión Kan de 1956 fue en álgebra homológica para calcular functores derivados .
En Categorías para el matemático en activo, Saunders Mac Lane tituló una sección "Todos los conceptos son extensiones Kan", y pasó a escribir que
- La noción de extensiones Kan incluye todos los demás conceptos fundamentales de la teoría de categorías.
Se puede encontrar un tutorial completo sobre extensiones Kan en “Todos los conceptos son extensiones Kan” de MCLehner.
Las extensiones Kan generalizan la noción de extender una función definida en un subconjunto a una función definida en el conjunto completo. La definición, como era de esperar, se encuentra en un alto nivel de abstracción. Cuando se especializa en posets , se convierte en un tipo de pregunta relativamente familiar sobre optimización restringida .
Definición
Una extensión Kan procede de los datos de tres categorías
y dos functores
- ,
y viene en dos variedades: la extensión Kan "izquierda" y la extensión Kan "derecha" de a lo largo de .
La extensión de Kan correcta equivale a encontrar la flecha punteada y la transformación natural en el siguiente diagrama:
(La transformación natural en el diagrama anterior debe interpretarse como una flecha al functor del functor compuesto .)
Formalmente, la extensión Kan correcta de a lo largo de consta de un funtor y una transformación natural que es contra-universal con respecto a la especificación, en el sentido de que para cualquier functor y transformación natural , una transformación natural única se define y encaja en un diagrama conmutativo:
dónde es la transformación natural con para cualquier objeto de
El functor R a menudo se escribe.
Al igual que con las otras construcciones universales en la teoría de categorías , la versión "izquierda" de la extensión Kan es dual a la "derecha" y se obtiene reemplazando todas las categorías por sus opuestos .
El efecto de esto en la descripción anterior es simplemente invertir la dirección de las transformaciones naturales.
- (Recuerde que una transformación natural entre los functors consiste en tener una flecha para cada objeto de , satisfaciendo una propiedad de "naturalidad". Cuando pasamos a las categorías opuestas, la fuente y el destino de se intercambian, provocando actuar en sentido contrario).
Esto da lugar a la descripción alternativa: la extensión Kan izquierda de a lo largo de consta de un funtor y una transformación natural que son universales con respecto a esta especificación, en el sentido de que para cualquier otro functor y transformación natural , una transformación natural única existe y encaja en un diagrama conmutativo:
dónde es la transformación natural con para cualquier objeto de .
El funtor L a menudo se escribe.
El uso de la palabra "el" (como en "la extensión Kan izquierda") se justifica por el hecho de que, como con todas las construcciones universales, si el objeto definido existe, entonces es único hasta un isomorfismo único. En este caso, eso significa que (para extensiones Kan izquierdas) si son dos extensiones Kan izquierdas de a lo largo de , y son las transformaciones correspondientes, entonces existe un isomorfismo único de functoresde modo que el segundo diagrama anterior conmuta. Lo mismo ocurre con las extensiones Kan correctas.
Propiedades
Extensiones Kan como (co) límites
Suponer y son dos functores. Si A es pequeña y C es cocompleta, entonces existe una extensión Kan izquierda de a lo largo de , definido en cada objeto b de B por
donde el colimit se toma sobre la categoría de coma , dónde es el functor constante. Dualmente, si A es pequeña y C está completa, entonces las extensiones Kan a la derecha a lo largo existen, y se puede calcular como el límite
sobre la categoría de coma .
Extensiones de Kan como (co) termina
Suponer y son dos funtores de tal manera que para todos los objetos m y m ' de M y todos los objetos c de C , los copowers existir en A . Entonces el funtor T tiene una extensión Kan izquierda L a lo largo de K , que es tal que, para cada objeto c de C ,
cuando el anteriormente coend existe para cada objeto c de C .
Dualmente, las extensiones Kan derechas se pueden calcular mediante la fórmula final
Límites como extensiones Kan
El límite de un funtor se puede expresar como una extensión Kan por
dónde es el functor único de a 𝟙 (la categoría con un objeto y una flecha, un objeto terminal en ). El colimit de se puede expresar de manera similar por
Adjuntos como extensiones Kan
Un functor posee un adjunto izquierdo si y solo si la extensión Kan derecha de a lo largo de existe y es preservado por . En este caso, un adjunto izquierdo viene dado por y esta extensión Kan incluso la conserva cualquier functor sea cual sea, es decir, es una extensión Kan absoluta .
Dualmente, existe un adjunto derecho si y solo si la extensión Kan izquierda de la identidad a lo largo existe y es preservado por .
Aplicaciones
La mónada de codensidad de un funtores una extensión Kan derecha de G a lo largo de sí mismo.
Referencias
- Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956). Álgebra homológica . Serie matemática de Princeton. 19 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . Zbl 0075.24305 .
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (2ª ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 .