Lema de Yoneda
En matemáticas , el lema de Yoneda es posiblemente el resultado más importante en la teoría de categorías . [1] Es un resultado abstracto sobre functores del tipo morfismos en un objeto fijo . Es una amplia generalización del teorema de Cayley a partir de la teoría de grupos (viendo un grupo como una categoría en miniatura con un solo objeto y solo isomorfismos). Permite la incrustación de cualquier categoría localmente pequeña en una categoría de functores ( functores con valores de conjunto contravariantes) definidos en esa categoría. También aclara cómo la categoría incrustada, de functores representablesy sus transformaciones naturales , se relaciona con los otros objetos en la categoría de functor más grande. Es una herramienta importante que subyace a varios desarrollos modernos en geometría algebraica y teoría de la representación . Lleva el nombre de Nobuo Yoneda .
El lema de Yoneda sugiere que en lugar de estudiar la categoría localmente pequeña , se debe estudiar la categoría de todos los functores de en (la categoría de conjuntos con funciones como morfismos ). es una categoría que creemos comprender bien, y un functor de en puede verse como una "representación" de en términos de estructuras conocidas. La categoría original está contenida en esta categoría de functor, pero aparecen nuevos objetos en la categoría de functor, que estaban ausentes y "ocultos" en . Tratar estos nuevos objetos como los viejos a menudo unifica y simplifica la teoría.
Este enfoque es similar (y de hecho generaliza) el método común de estudiar un anillo investigando los módulos sobre ese anillo. El anillo ocupa el lugar de la categoría , y la categoría de módulos sobre el anillo es una categoría de funciones definidas en .
Lema de Yoneda refiere funtores de una categoría fija a la categoría de conjuntos , . Si es una categoría localmente pequeña (es decir, los hom-sets son conjuntos reales y no clases propias), entonces cada objeto de da lugar a un funtor natural llamado hom-functor . Este functor se denota:
