En la rama de la matemática abstracta llamada teoría de categorías , una cubierta proyectiva de un objeto X es en cierto sentido la mejor aproximación de X por un objeto proyectivo P . Las cubiertas proyectivas son el dual de las envolventes inyectivas .
Definición
Dejar ser una categoría y X un objeto en. Una cobertura proyectiva es un par ( P , p ), con P un objeto proyectivo eny p un epimorfismo superfluo en Hom ( P , X ).
Si R es un anillo, entonces en la categoría de módulos R , un epimorfismo superfluo es un epimorfismo. de tal manera que el núcleo de p es un submódulo superfluo de P .
Propiedades
Las cubiertas proyectivas y sus epimorfismos superfluos, cuando existen, son únicos hasta el isomorfismo . Sin embargo, el isomorfismo no tiene por qué ser único, ya que la propiedad proyectiva no es una propiedad universal en toda regla .
El efecto principal de que p tenga un kernel superfluo es el siguiente: si N es un submódulo adecuado de P , entonces. [1] Hablando informalmente, esto muestra que el kernel superfluo hace que P cubra M de manera óptima, es decir, ningún submódulo de P sería suficiente. Esto no depende de la proyectividad de P : es cierto para todos los epimorfismos superfluos.
Si ( P , p ) es una cobertura proyectiva de M , y P ' es otro módulo proyectivo con un epimorfismo, entonces hay un epimorfismo dividido α de P ' a P tal que
A diferencia de las envolventes inyectivas y las cubiertas planas , que existen para cada módulo R izquierdo (derecho) independientemente del anillo R , los módulos R izquierdo (derecho) no tienen en general cubiertas proyectivas. Un anillo R se llama izquierdo (derecho) perfecto si cada módulo R izquierdo (derecho) tiene una cubierta proyectiva en R -Mod (Mod- R ).
Un anillo se llama semiperfecto si cada módulo R izquierdo (derecho) generado finitamente tiene una cobertura proyectiva en R -Mod (Mod- R ). "Semiperfecto" es una propiedad simétrica de izquierda a derecha.
Un anillo se llama elevación / rad si idempotentes levantan de R / J a R , donde J es el radical Jacobson de R . La propiedad de ser elevación / rad puede caracterizarse en términos de cubiertas proyectivas: R es ascensor / rad si y sólo si sumandos directos de la R módulo de R / J (como un derecho o el módulo de la izquierda) tienen cubiertas proyectivas. [2]
Ejemplos de
En la categoría de módulos R :
- Si M ya es un módulo proyectivo, entonces el mapa de identidad de M a M es un epimorfismo superfluo (su núcleo es cero). Por tanto, los módulos proyectivos siempre tienen cubiertas proyectivas.
- Si J ( R ) = 0, entonces un módulo M tiene una cobertura proyectiva si y solo si M ya es proyectivo.
- En el caso de que un módulo M sea simple , entonces es necesariamente la parte superior de su cubierta proyectiva, si existe.
- La envolvente inyectiva de un módulo siempre existe, sin embargo, sobre ciertos anillos, los módulos pueden no tener cubiertas proyectivas. Por ejemplo, el mapa natural a partir de Z a Z / 2 Z no es una carcasa proyectiva de la Z -módulo Z / 2 Z (que de hecho no tiene ninguna cubierta proyectiva). La clase de anillos que proporciona todos sus módulos correctos con cubiertas proyectivas es la clase de anillos perfectos correctos .
- Cualquier módulo R M tiene una cubierta plana , que es igual a la cubierta proyectiva si R tiene una cubierta proyectiva.
Ver también
Referencias
- ^ Prueba: Let N sea apropiado en P y supongamos p ( N ) = M . Desde ker ( p ) es superfluo, ker ( p ) + N ≠ P . Elige x en P fuera de ker ( p ) + N . Por la sobrejetividad de p , existe x ' en N tal que p ( x' ) = p ( x ), de donde x - x ' está en ker ( p ). Pero entonces x está en ker ( p ) + N , una contradicción.
- ^ Anderson y Fuller 1992 , p. 302.
- Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992). Anillos y categorías de módulos . Saltador. ISBN 0-387-97845-3. Consultado el 27 de marzo de 2007 .
- Faith, Carl (1976), Álgebra. II. Teoría del anillo. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, núm. 191. Springer-Verlag
- Lam, TY (2001), Un primer curso en anillos no conmutativos (2ª ed.), Textos de posgrado en matemáticas, 131. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95183-0