Un número pronico es un número que es el producto de dos enteros consecutivos , es decir, un número de la forma n ( n + 1) . [1] El estudio de estos números se remonta a Aristóteles . También se les llama números oblongos , números heterométricos , [2] o números rectangulares ; [3] sin embargo, el término "número rectangular" también se ha aplicado a los números compuestos . [4] [5]
Los primeros números pronicos son:
- 0 , 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420 , 462… (secuencia A002378 en la OEIS ).
Si n es un número pronico, entonces se cumple lo siguiente:
Como números figurados
Los números pronicos se estudiaron como números figurados junto con los números triangulares y cuadrados en la Metafísica de Aristóteles , [2] y su descubrimiento se ha atribuido mucho antes a los pitagóricos . [3] Como una especie de número figurado, los números pronicos a veces se llaman oblongos [2] porque son análogos a los números poligonales de esta manera: [1]
1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5
El n -ésimo número pronico es el doble del n- ésimo número triangular [1] [2] y n más que el n- ésimo número cuadrado , como lo da la fórmula alternativa n 2 + n para números pronicos. El n -ésimo número pronico es también la diferencia entre el cuadrado impar (2 n + 1) 2 y el número hexagonal centrado ( n +1) st .
Suma de números pronicos
La suma de los recíprocos de los números pronicos (excluyendo 0) es una serie telescópica que suma 1: [6]
La suma parcial de los primeros n términos de esta serie es [6]
La suma parcial de los primeros n números pronicos es el doble del valor del n- ésimo número tetraédrico :
Propiedades adicionales
El n -ésimo número pronico es la suma de los primeros n enteros pares y, como tal, son el doble del n- ésimo número triangular. [2] Todos los números pronicos son pares y 2 es el único número pronico primo . También es el único número pronico en la secuencia de Fibonacci y el único número pronico de Lucas . [7] [8]
El número de entradas fuera de la diagonal en una matriz cuadrada es siempre un número pronico. [9]
El hecho de que los enteros consecutivos sean coprimos y que un número pronico sea el producto de dos enteros consecutivos conduce a varias propiedades. Cada factor primo distinto de un número pronico está presente solo en uno de los factores n o n + 1 . Por tanto, un número pronico es libre de cuadrados si y solo si n y n + 1 también lo son. El número de factores primos distintos de un número pronico es la suma del número de factores primos distintos de n y n + 1 .
Si se agrega 25 a la representación decimal de cualquier número pronico, el resultado es un número cuadrado, por ejemplo, 625 = 25 2 , 1225 = 35 2 . Esto es porque
- .
Referencias
- ^ a b c Conway, JH ; Guy, RK (1996), The Book of Numbers , Nueva York: Copérnico, Figura 2.15, p. 34.
- ^ a b c d e Knorr, Wilbur Richard (1975), La evolución de los elementos euclidianos , Dordrecht-Boston, Mass .: D. Reidel Publishing Co., págs. 144-150, ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300.
- ^ a b Ben-Menahem, Ari (2009), Enciclopedia Histórica de Ciencias Naturales y Matemáticas, Volumen 1 , Referencia de Springer, Springer-Verlag, p. 161, ISBN 9783540688310.
- ^ "Plutarch, De Iside et Osiride, sección 42" . www.perseus.tufts.edu . Consultado el 16 de abril de 2018 .
- ^ Higgins, Peter Michael (2008), Historia numérica: del conteo a la criptografía , Copernicus Books, p. 9, ISBN 9781848000018.
- ^ a b Frantz, Marc (2010), "La serie telescópica en perspectiva" , en Diefenderfer, Caren L .; Nelsen, Roger B. (eds.), The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond , Classroom Resource Materials, Mathematical Association of America, págs. 467–468, ISBN 9780883857618.
- ^ McDaniel, Wayne L. (1998), "Pronic Lucas numbers" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 60–62, MR 1605345 , archivado desde el original (PDF) el 2017-07-05 , recuperado 2011- 05-21.
- ^ McDaniel, Wayne L. (1998), "Pronic Fibonacci numbers" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 56–59, MR 1605341.
- ^ Rummel, Rudolf J. (1988), Análisis de factores aplicados , Northwestern University Press, pág. 319, ISBN 9780810108240.