En matemáticas y física teórica , un espacio pseudo-euclidiano es un espacio n real de dimensión finita junto con una forma cuadrática q no degenerada . Dicha forma cuadrática puede, dada una elección adecuada de base ( e 1 , ..., e n ) , aplicarse a un vector x = x 1 e 1 + ... + x n e n , dando
- que se llama el cuadrado escalar del vector x . [1] : 3
Para los espacios euclidianos , k = n , lo que implica que la forma cuadrática es positiva-definida. [2] Cuando 0 ≠ k ≠ n , q es una forma cuadrática isotrópica . Tenga en cuenta que si 1 ≤ i ≤ k y k < j ≤ n , entonces q ( e i + e j ) = 0 , de modo que e i + e j es un vector nulo . En un espacio pseudo-euclidiano con k ≠ n , a diferencia de un espacio euclidiano, existen vectores con cuadrado escalar negativo .
Al igual que con el término espacio euclidiano , el término espacio pseudo-euclidiano puede usarse para referirse a un espacio afín o un espacio vectorial dependiendo del autor, y este último alternativamente se conoce como un espacio vectorial pseudo-euclidiano [3] (ver distinción punto-vector ).
Geometría
La geometría de un espacio pseudo-euclidiano es consistente a pesar de que algunas propiedades del espacio euclidiano no se aplican, más notablemente que no es un espacio métrico como se explica a continuación. La estructura afín no cambia, y por lo tanto también los conceptos de línea , plano y, en general, de un subespacio afín ( plano ), así como los segmentos de línea .
Cuadrados escalares positivos, cero y negativos
Un vector nulo es un vector cuya forma cuadrática es cero. A diferencia de un espacio euclidiano, dicho vector puede ser distinto de cero, en cuyo caso es auto- ortogonal . Si la forma cuadrática es indefinida, un espacio pseudo-euclidiano tiene un cono lineal de vectores nulos dado por { x : q ( x ) = 0} . Cuando el espacio pseudo-euclidiano proporciona un modelo para el espacio-tiempo (ver más abajo ), el cono nulo se llama cono de luz del origen.
El cono nulo separa dos conjuntos abiertos , [4] respectivamente para los cuales q ( x )> 0 y q ( x ) <0 . Si k ≥ 2 , entonces el conjunto de vectores para los cuales q ( x )> 0 está conectado . Si k = 1 , entonces consta de dos partes disjuntas, una con x 1 > 0 y otra con x 1 <0 . Se pueden hacer declaraciones similares para vectores para los cuales q ( x ) <0 si k se reemplaza con n - k .
Intervalo
La forma cuadrática q corresponde al cuadrado de un vector en el caso euclidiano. Para definir la norma del vector (y la distancia) de manera invariante , uno tiene que obtener raíces cuadradas de cuadrados escalares, lo que conduce a distancias posiblemente imaginarias ; ver raíz cuadrada de números negativos . Pero incluso para un triángulo con cuadrados escalares positivos de los tres lados (cuyas raíces cuadradas son reales y positivas), la desigualdad del triángulo no se cumple en general.
Por lo tanto, los términos norma y distancia se evitan en la geometría pseudoeuclidiana, que puede reemplazarse por cuadrado escalar e intervalo, respectivamente.
Sin embargo, para una curva cuyos vectores tangentes tienen todos cuadrados escalares del mismo signo, la longitud del arco está definida. Tiene aplicaciones importantes: ver tiempo adecuado , por ejemplo.
Rotaciones y esferas
El grupo de rotaciones de dicho espacio es un grupo ortogonal indefinido O ( q ) , también denotado como O ( k , n - k ) sin una referencia a una forma cuadrática particular. [5] Tales "rotaciones" conservan la forma qy , por lo tanto, el cuadrado escalar de cada vector, incluyendo si es positivo, cero o negativo.
Mientras que el espacio euclidiano tiene una esfera unitaria , el espacio pseudoeuclidiano tiene las hipersuperficies { x : q ( x ) = 1} y { x : q ( x ) = −1} . Tal hipersuperficie, llamada cuasiesfera , es preservada por el grupo ortogonal indefinido apropiado.
Forma bilineal simétrica
La forma cuadrática q da lugar a una forma bilineal simétrica definida como sigue:
La forma cuadrática se puede expresar en términos de la forma bilineal: q ( x ) = ⟨ x , x ⟩ .
Cuando ⟨ x , y ⟩ = 0 , entonces x y y son ortogonales los vectores del espacio de pseudo-euclidiana.
Esta forma bilineal es a menudo referido como el producto escalar , y algunas veces como "producto interior" o "producto punto", pero no definir un espacio con producto interno y no tiene las propiedades del producto escalar de los vectores euclídeos.
Si x y y son ortogonales y q ( x ) q ( y ) <0 , entonces x es hiperbólica-ortogonal a y .
La base estándar del espacio n real es ortogonal . No hay bases orto- normales en un espacio pseudo-euclidiano para el cual la forma bilineal es indefinida, porque no se puede usar para definir una norma vectorial .
Subespacios y ortogonalidad
Para un subespacio (de dimensión positiva) [6] U de un espacio pseudo-euclidiano, cuando la forma cuadrática q está restringida a U , son posibles los siguientes tres casos:
- q | U es definida positiva o negativa . Entonces, U es esencialmente euclidiana (hasta el signo de q ).
- q | U es indefinido, pero no degenerado. Entonces, U es en sí misma pseudo-euclidiana. Solo es posible si dim U ≥ 2 ; si dim U = 2 , lo que significa que U es un plano , entonces se llama plano hiperbólico .
- q | U está degenerado.
Una de las propiedades más discordantes (para una intuición euclidiana) de los vectores y planos pseudo-euclidianos es su ortogonalidad . Cuando dos vectores euclidianos distintos de cero son ortogonales, no son colineales . Las intersecciones de cualquier subespacio lineal euclidiano con su complemento ortogonal es el subespacio {0} . Pero la definición de la subsección anterior implica inmediatamente que cualquier vector ν de cuadrado escalar cero es ortogonal a sí mismo. Por lo tanto, la línea isotrópica N = ⟨ ν ⟩ generado por una nula vector ν es un subconjunto de su complemento ortogonal N ⊥ .
La definición formal del complemento ortogonal de un subespacio vectorial en un espacio pseudo-euclidiano da un resultado perfectamente bien definido, que satisface la igualdad dim U + dim U ⊥ = n debido a la no degeneración de la forma cuadrática. Es solo la condición
- U ∩ U ⊥ = {0} o, equivalentemente, U + U ⊥ = todo el espacio,
que puede romperse si el subespacio U contiene una dirección nula. [7] Mientras que los subespacios forman una red , como en cualquier espacio vectorial, esta operación ⊥ no es una ortocomplementación , a diferencia de los espacios de producto internos .
Para un subespacio N compuesto completamente de vectores nulos (lo que significa que el cuadrado escalar q , restringido a N , es igual a 0 ), siempre se cumple:
- N ⊂ N ⊥ o, equivalentemente, N ∩ N ⊥ = N .
Dicho subespacio puede tener dimensiones mínimas ( k , n - k ) . [8]
Para un subespacio k euclidiano (positivo), su complemento ortogonal es un subespacio "euclidiano" negativo ( n - k ) dimensional, y viceversa. Generalmente, para un subespacio ( d + + d - + d 0 ) -dimensional U que consta de d + dimensiones positivas yd - negativas (ver la ley de inercia de Sylvester para una aclaración), su "complemento" ortogonal U ⊥ tiene ( k - d + - d 0 ) dimensiones positivas y ( n - k - d - - d 0 ) negativas, mientras que el resto d 0 son degeneradas y forman la intersección U ∩ U ⊥ .
Ley del paralelogramo y teorema de Pitágoras
La ley del paralelogramo toma la forma
Usando el cuadrado de la identidad de la suma , para un triángulo arbitrario se puede expresar el cuadrado escalar del tercer lado a partir de los cuadrados escalares de dos lados y su producto de forma bilineal:
Esto demuestra que, para los vectores ortogonales, se cumple un análogo pseudoeuclidiano del teorema de Pitágoras :
Ángulo
Generalmente, valor absoluto | ⟨ X , y ⟩ | de la forma bilineal en dos vectores puede ser mayor que √ | q ( x ) q ( y ) | , igual o menos. Esto causa problemas similares con la definición de ángulo (ver Producto escalar § Definición geométrica ) como se muestra arriba para las distancias.
Si k = 1 (solo un término positivo en q ), entonces para vectores de cuadrado escalar positivo:
que permite la definición del ángulo hiperbólico , un análogo del ángulo entre estos vectores a través del coseno hiperbólico inverso :
- [9]
Corresponde a la distancia en un espacio hiperbólico ( n - 1) dimensional . Esto se conoce como rapidez en el contexto de la teoría de la relatividad que se analiza a continuación . A diferencia del ángulo euclidiano, toma valores de [0, + ∞) y es igual a 0 para los vectores antiparalelos .
No existe una definición razonable del ángulo entre un vector nulo y otro vector (ya sea nulo o no nulo).
Cálculo de álgebra y tensor
Como los espacios euclidianos, cada espacio vectorial pseudoeuclidiano genera un álgebra de Clifford . A diferencia de las propiedades anteriores, donde el reemplazo de q por - q cambió los números pero no la geometría , la inversión del signo de la forma cuadrática da como resultado un álgebra de Clifford distinta, por ejemplo, Cl 1,2 ( R ) y Cl 2,1 ( R ) son no isomorfo.
Al igual que en cualquier espacio vectorial, existen tensores pseudoeuclidianos . Al igual que con una estructura euclidiana, existen operadores de índices de subida y bajada pero, a diferencia del caso de los tensores euclidianos , no hay bases donde estas operaciones no cambien los valores de los componentes . Si hay un vector v β , el vector covariante correspondiente es:
y con la forma estándar
las primeras k componentes de v α son numéricamente las mismas que las de v β , pero el resto n - k tienen signos opuestos .
La correspondencia entre tensores contravariantes y covariantes hace que un cálculo de tensores en variedades pseudo-riemannianas sea una generalización de uno en variedades riemannianas.
Ejemplos de
Un espacio pseudo-euclidiano muy importante es el espacio de Minkowski , que es el escenario matemático en el que se formula la teoría de la relatividad especial de Albert Einstein . Para el espacio de Minkowski, n = 4 y k = 3 [10] de modo que
Poincaré investigó la geometría asociada con esta pseudométrica . [11] [12] Su grupo de rotación es el grupo de Lorentz . El grupo de Poincaré incluye también traducciones y juega el mismo papel que los grupos euclidianos de espacios euclidianos ordinarios.
Otro espacio pseudo-euclidiano es el plano z = x + yj que consta de números complejos divididos , equipados con la forma cuadrática
Este es el caso más simple de un espacio pseudo-euclidiano indefinido ( n = 2 , k = 1 ) y el único donde el cono nulo disecciona el espacio en cuatro conjuntos abiertos. El grupo SO + (1, 1) consta de las denominadas rotaciones hiperbólicas .
Ver también
- Variedad pseudo-riemanniana
- Ecuación hiperbólica
- Modelo hiperboloide
- Paravector
Notas al pie
- ↑ Élie Cartan (1981), The Theory of Spinors , Dover Publications , ISBN 0-486-64070-1
- ^ Los espacios euclidianos se consideran espacios pseudoeuclidianos; ver por ejemplo Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures , Springer Science & Business Media , p. 32.
- ^ Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures , Springer Science & Business Media , p. 32 [1]
- ^ Seasume la topología estándar en R n .
- ^ Qué es el "grupo de rotaciones" depende de la definición exacta de una rotación. Los grupos "O" contienen rotaciones incorrectas . Las transformadas que conservan la orientación forman el grupo SO ( q ) o SO ( k , n - k ) , pero tampoco está conectado si tanto k como n - k son positivos. El grupo SO + ( q ) , que conserva la orientación en partes cuadradas escalares positivas y negativas por separado, es un análogo (conectado) del grupo de rotaciones euclidianas SO ( n ) . De hecho, todos estos grupos son grupos de Lie de dimensión1/2n ( n - 1) .
- ^ Seasumeun subespacio lineal , pero las mismas conclusiones son ciertas para un plano afíncon la única complicación de que la forma cuadrática siempre se define en vectores, no en puntos.
- ^ En realidad, U ∩ U ⊥ no es cero solo si la forma cuadrática q restringida a U es degenerada.
- ^ Thomas E. Cecil (1992) Geometría de la esfera de mentira , página 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
- ^ Tenga en cuenta que cos ( i arccosh s ) = s , por lo que para s > 0 estos pueden entenderse como ángulos imaginarios.
- ^ Otra representación bien establecida usa k = 1 e índices de coordenadas comenzando desde 0 (de ahí q ( x ) = x 0 2 - x 1 2 - x 2 2 - x 3 2 ), pero son equivalentes hasta el signo de q . Ver Convención de letreros § Firma métrica .
- ^ H. Poincaré (1906) Sobre la dinámica del electrón , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
- ^ BA Rosenfeld (1988) Una historia de la geometría no euclidiana , página 266, Estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas # 12, Springer ISBN 0-387-96458-4
Referencias
- Cartan, Élie (1981) [1938], The Theory of Spinors , Nueva York: Dover Publications , p. 3, ISBN 978-0-486-64070-9, MR 0631850
- Werner Greub (1963) Linear Algebra , 2nd edition, §12.4 Pseudo-Euclidean Spaces, págs. 237–49, Springer-Verlag.
- Walter Noll (1964) "Geometría euclidiana y cronometría Minkowskiana", American Mathematical Monthly 71: 129–44.
- Novikov, SP; Fomenko, AT; [traducido del ruso por M. Tsaplina] (1990). Elementos básicos de topología y geometría diferencial . Dordrecht; Boston: Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-1009-8.
- Szekeres, Peter (2004). Un curso de física matemática moderna: grupos, espacio de Hilbert y geometría diferencial . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-82960-7.
- Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.
enlaces externos
- DD Sokolov (creador), espacio pseudoeuclidiano , Enciclopedia de las matemáticas