Geometría sistólica es una rama de la geometría diferencial , un campo dentro de las matemáticas, el estudio de problemas tales como la relación entre el área interior de una curva cerrada C , y la longitud o el perímetro de C . Dado que el área A puede ser pequeña mientras que la longitud l es grande, cuando C parece alargada, la relación solo puede tomar la forma de una desigualdad . Es más, tal desigualdad sería un límite superior para A : no hay un límite inferior interesante solo en términos de longitud.
Mikhail Gromov expresó una vez la opinión de que los antiguos griegos ya conocían la desigualdad isoperimétrica . El cuento mitológico de Dido, reina de Cartago, muestra que los problemas de hacer un área máxima para un perímetro dado se plantearon de forma natural, en épocas pasadas.
La relación entre longitud y área está íntimamente relacionada con el fenómeno físico conocido como tensión superficial , que da forma visible a la relación comparable entre área superficial y volumen . Las formas familiares de las gotas de agua expresan mínimos de superficie.
El propósito de este artículo es explicar otra relación similar entre longitud y área. Un espacio se denomina simplemente conectado si cada bucle del espacio se puede contraer hasta un punto de forma continua. Por ejemplo, una habitación con un pilar en el medio, que conecta el piso al techo, no está simplemente conectada. En geometría , una sístole es una distancia que es característica de un espacio métrico compacto que no está simplemente conectado. Es la longitud de un bucle más corto en el espacio que no se puede contraer a un punto en el espacio. En el ejemplo de la habitación, sin otras características, la sístole sería la circunferencia del pilar. La geometría sistólica da límites inferiores para varios atributos del espacio en términos de su sístole.
Se sabe que la métrica Fubini-Study es la métrica natural para la geometrización de la mecánica cuántica. En una intrigante conexión con los fenómenos geométricos globales, resulta que la métrica Fubini-Study se puede caracterizar como el caso límite de igualdad en la desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo , que involucra una cantidad de área llamada 2-sístole, apuntando a una posible conexión a los fenómenos de la mecánica cuántica.
A continuación, estas desigualdades sistólicas se compararán con las clásicas desigualdades isoperimétricas, que a su vez pueden estar motivadas por fenómenos físicos observados en el comportamiento de una gota de agua.
Tensión superficial y forma de una gota de agua.
Quizás la manifestación física más familiar de la desigualdad isoperimétrica tridimensional es la forma de una gota de agua. Es decir, una gota asumirá típicamente una forma redonda simétrica. Dado que la cantidad de agua en una gota es fija, la tensión superficial fuerza a la gota a adoptar una forma que minimiza el área de la superficie de la gota, es decir, una esfera redonda. Por tanto, la forma redonda de la gota es consecuencia del fenómeno de la tensión superficial. Matemáticamente, este fenómeno se expresa mediante la desigualdad isoperimétrica.
Desigualdad isoperimétrica en el plano
La solución al problema isoperimétrico en el plano generalmente se expresa en forma de una desigualdad que relaciona la longitud de una curva cerrada y el área de la región plana que encierra. La desigualdad isoperimétrica establece que
y que la igualdad se mantiene si y solo si la curva es un círculo redondo. La desigualdad es un límite superior para el área en términos de longitud.
Simetría central
Recuerde la noción de simetría central: un poliedro euclidiano se llama simétrico centralmente si es invariante bajo el mapa de las antípodas
Así, en el plano central la simetría es la rotación de 180 grados. Por ejemplo, una elipse es centralmente simétrica, al igual que cualquier elipsoide en el espacio tridimensional.
Propiedad de un poliedro simétrico centralmente en 3 espacios
Hay una desigualdad geométrica que es en cierto sentido dual a la desigualdad isoperimétrica en el siguiente sentido. Ambos involucran una longitud y un área. La desigualdad isoperimétrica es un límite superior para el área en términos de longitud. Existe una desigualdad geométrica que proporciona un límite superior para una cierta longitud en términos de área. Más precisamente, se puede describir como sigue.
Cualquier cuerpo convexo centralmente simétrico de área de superficie se puede apretar a través de una soga de largo , con el ajuste más ajustado logrado por una esfera. Esta propiedad es equivalente a un caso especial de desigualdad de Pu , una de las primeras desigualdades sistólicas.
Por ejemplo, un elipsoide es un ejemplo de un cuerpo simétrico centralmente convexo en el espacio tridimensional. Puede ser útil para el lector desarrollar una intuición de la propiedad mencionada anteriormente en el contexto de pensar en ejemplos elipsoidales.
Una formulación alternativa es la siguiente. Cada cuerpo simétrico centralmente convexo en admite un par de puntos opuestos (antípodas) y una trayectoria de longitud uniéndose a ellos y acostado en el límite de , satisfactorio
Noción de sístole
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/8c/TorusSystoleLoop.png/200px-TorusSystoleLoop.png)
La sístole de un espacio métrico compacto es una métrica invariante de , definida como la longitud mínima de un bucle no contraíble en . Lo denotaremos de la siguiente manera:
Tenga en cuenta que un bucle que minimiza la longitud es necesariamente una geodésica cerrada . Cuándoes un gráfico , el invariante se suele denominar circunferencia , desde el artículo de 1947 de William Tutte . Posiblemente inspirado por el artículo de Tutte, Charles Loewner comenzó a pensar en cuestiones sistólicas en las superficies a fines de la década de 1940, lo que resultó en una tesis de 1950 de su alumno PM Pu. El propio término sístole no fue acuñado hasta un cuarto de siglo después, por Marcel Berger .
Aparentemente, esta línea de investigación fue impulsada aún más por una observación de René Thom , en una conversación con Berger en la biblioteca de la Universidad de Estrasburgo durante el año académico 1961-62, poco después de la publicación de los trabajos de R. Accola y C . Blatter. Refiriéndose a estas desigualdades sistólicas, Thom, según se informa, exclamó: ¡ Mais c'est fondamental! [¡Estos resultados son de fundamental importancia!]
Posteriormente, Berger popularizó el tema en una serie de artículos y libros, más recientemente en la edición de marzo de 2008 de Notices of the American Mathematical Society . Una bibliografía en el sitio web sobre geometría y topología sistólica contiene actualmente más de 170 artículos. La geometría sistólica es un campo en rápido desarrollo, que presenta una serie de publicaciones recientes en revistas líderes. Recientemente, ha surgido un vínculo intrigante con la categoría Lusternik-Schnirelmann . La existencia de tal vínculo puede considerarse como un teorema en topología sistólica .
El plano proyectivo real
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Steiner%27s_Roman_Surface.gif/220px-Steiner%27s_Roman_Surface.gif)
En geometría proyectiva , el plano proyectivo real se define como la colección de líneas a través del origen en . La función de distancia ense entiende más fácilmente desde este punto de vista. Es decir, la distancia entre dos líneas a través del origen es, por definición, el ángulo entre ellas (medido en radianes), o más precisamente el menor de los dos ángulos. Esta función de distancia corresponde a la métrica de curvatura gaussiana constante +1.
Alternativamente, se puede definir como la superficie obtenida identificando cada par de puntos antípodas en la 2-esfera.
Otras métricas sobre se puede obtener cociente de métricas en incrustado en 3 espacios de forma centralmente simétrica.
Topológicamente, se puede obtener de la tira de Möbius colocando un disco a lo largo del límite.
Entre las superficies cerradas , el plano proyectivo real es la superficie no orientable más simple.
La desigualdad de Pu
La desigualdad de Pu para el plano proyectivo real se aplica a las métricas generales de Riemann en.
Un alumno de Charles Loewner , Pao Ming Pu demostró en una tesis de 1950 (publicada en 1952) que cada métrica en el plano proyectivo real satisface la desigualdad óptima
dónde es la sístole. El caso límite de igualdad se alcanza precisamente cuando la métrica es de curvatura gaussiana constante. Alternativamente, la desigualdad se puede presentar de la siguiente manera:
Hay una gran generalización de la desigualdad de Pu, debido a Mikhail Gromov , llamada desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales . Para enunciar su resultado, se requiere una noción topológica de una variedad esencial .
Desigualdad del toro de Loewner
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/8c/TorusSystoleLoop.png/200px-TorusSystoleLoop.png)
De manera similar a la desigualdad de Pu, la desigualdad del toro de Loewner relaciona el área total con la sístole, es decir, la menor longitud de un bucle no contraíble en el toro.:
El caso límite de igualdad se logra si y solo si la métrica es homotética a la métrica plana obtenida como el cociente de por la celosía formada por los números enteros de Eisenstein .
La desigualdad de Bonnesen
La desigualdad de Bonnesen clásica es la desigualdad isoperimétrica reforzada
Aquí es el área de la región delimitada por una curva de Jordan cerrada de longitud (perímetro) en el avión, es el circunradio de la región acotada, y es su radio interno. El término de erroren el lado derecho se denomina tradicionalmente defecto isoperimétrico . Existe un fortalecimiento similar de la desigualdad de Loewner.
Desigualdad de Loewner con un término de defecto
La explicación de la versión reforzada de la desigualdad de Loewner es algo más técnica que el resto de este artículo. Parece que vale la pena incluirlo aquí en aras de la integridad. La versión reforzada es la desigualdad
donde Var es la varianza probabilística mientras que f es el factor conforme que expresa la métrica g en términos de la métrica plana de área unitaria en la clase conforme de g . La demostración resulta de una combinación de la fórmula computacional para la varianza y el teorema de Fubini (ver Horowitz et al , 2009).
Ver también
- Sístoles de superficies
- Geometría subriemanniana
Referencias
- Bangert, V .; Croke, C .; Ivanov, S .; Katz, M .: Conjetura del área de relleno y superficies hiperelípticas reales sin óvalo. Análisis geométrico y funcional (GAFA) 15 (2005), no. 3, 577–597.
- Berger, M .: Systoles et applications selon Gromov. (Francés. Resumen francés) [Sístoles y sus aplicaciones según Gromov] Séminaire Bourbaki, vol. 1992/93. Astérisque No. 216 (1993), Exp. Núm. 771, 5, 279-310.
- Berger, M .: Una vista panorámica de la geometría de Riemann. Springer-Verlag, Berlín, 2003.
- Berger, M .: ¿Qué es ... una sístole? Avisos de la AMS 55 (2008), no. 3, 374–376.
- Buser, P .; Sarnak, P .: En la matriz de período de una superficie de Riemann de un género grande. Con un apéndice de JH Conway y NJA Sloane. Inventar. Matemáticas. 117 (1994), núm. 1, 27—56.
- Gromov, M. Sístoles y desigualdades interesistólicas. (Resumen en inglés, francés) Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), 291—362, Sémin. Congr., 1, Soc. Matemáticas. Francia, París, 1996.
- Gromov, M. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos. Basado en el original francés de 1981. Con apéndices de M. Katz, P. Pansu y S. Semmes. Traducido del francés por Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, Massachusetts, 1999.
- Charles Horowitz, Karin Usadi Katz y Mikhail G. Katz (2008), Desigualdad del toro de Loewner con defecto isosistólico, Journal of Geometric Analysis 19 (2009), no. 4, 796–808. Ver arXiv: 0803.0690
- Katz, M. Geometría y topología sistólica. Con un apéndice de J. Solomon. Encuestas y monografías de matemáticas, volumen 137. American Mathematical Society , 2007.
- Katz, M .; Rudyak, Y .: categoría sistólica y categoría de Lusternik-Schnirelman de variedades de baja dimensión. Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas 59 ('06), 1433–1456.
- Katz, M .; Sabourau, S .: Entropía de superficies sistólicamente extremas y límites asintóticos. Es decir. Th. Dynam. Sys. 25 (2005), 1209–1220.
- Katz, M .; Schaps, M .; Vishne, U .: Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia. J. Geom diferencial. 76 (2007), núm. 3, 399–422. Disponible en arXiv : math.DG / 0505007
- Pu, PM: Algunas desigualdades en ciertas variedades de Riemann no orientables. Pacific J. Math. 2 (1952), 55-71.
enlaces externos
- Introducción a la geometría diferencial y la relatividad general