En álgebra, un campo pitagórico es un campo en el que cada suma de dos cuadrados es un cuadrado: de manera equivalente, tiene un número de Pitágoras igual a 1. Una extensión pitagórica de un campo es una extensión obtenida al unir un elemento para algunos en . Entonces, un campo pitagórico es uno cerrado que toma extensiones pitagóricas. Para cualquier campo hay un campo pitagórico mínimo que lo contiene, único hasta el isomorfismo , llamado su cierre pitagórico . [1] El campo de Hilbert es el campo pitagórico ordenado mínimo. [2]
Propiedades
Cada campo euclidiano (un campo ordenado en el que todos los elementos positivos son cuadrados) es un campo pitagórico ordenado, pero lo contrario no se cumple. [3] Un campo cuadráticamente cerrado es un campo pitagórico pero no a la inversa (es pitagórica); sin embargo, un campo pitagórico no formalmente real está cuadráticamente cerrado. [4]
El anillo de Witt de un campo pitagórico es de orden 2 si el campo no es formalmente real y libre de torsión en caso contrario. [1] Para un campohay una secuencia exacta que involucra a los anillos de Witt
dónde es el ideal fundamental del anillo de Witt de [5] ydenota su subgrupo de torsión (que es solo el nilradical de). [6]
Condiciones equivalentes
Las siguientes condiciones en un campo F son equivalentes a que F sea pitagórica:
- La invariante u general u ( F ) es 0 o 1. [7]
- Si ab no es un cuadrado en F, entonces hay un orden en F para el cual a , b tienen diferentes signos. [8]
- F es la intersección de sus cierres euclidianos . [9]
Modelos de geometría
Los campos pitagóricos pueden usarse para construir modelos para algunos de los axiomas de Hilbert para la geometría ( Iyanaga & Kawada 1980 , 163 C). La geometría de coordenadas dada por por un campo pitagórico satisface muchos de los axiomas de Hilbert, como los axiomas de incidencia, los axiomas de congruencia y los axiomas de paralelos. Sin embargo, en general, esta geometría no necesita satisfacer todos los axiomas de Hilbert a menos que el campo F tenga propiedades adicionales: por ejemplo, si el campo también está ordenado, la geometría satisfará los axiomas de ordenación de Hilbert, y si el campo también es completo, la geometría satisfará las de Hilbert. axioma de integridad.
El cierre pitagórico de un campo ordenado no arquimediano , como el cierre pitagórico del campo de funciones racionales en una variable sobre los números racionales se puede utilizar para construir geometrías no arquimedianas que satisfagan muchos de los axiomas de Hilbert, pero no su axioma de completitud. [10] Dehn usó un campo de este tipo para construir dos planos de Dehn , ejemplos de geometría no Legendriana y geometría semi-euclidiana respectivamente, en los que hay muchas líneas a través de un punto que no interseca una línea determinada, pero donde la suma de los ángulos de una triángulo es al menos π. [11]
Teorema de Diller-Dress
Este teorema establece que si E / F es un número finito de extensión de campo , y E es Pitágoras, entonces también lo es F . [12] Como consecuencia, ningún campo numérico algebraico es pitagórico, ya que todos esos campos son finitos sobre Q , que no es pitagórico. [13]
Campos superpitagóricos
Un campo superpythagorean F es un campo formalmente real con la propiedad de que si S es un subgrupo de índice 2 en F * y no contiene -1, entonces S define un ordenamiento en F . Una definición equivalente es que F es un campo formalmente real en el que el conjunto de cuadrados forma un abanico . Un campo superpitagórico es necesariamente pitagórico. [12]
El análogo del teorema de Diller-Dress es válido: si E / F es una extensión finita y E es superpitagórica, F también lo es . [14] En la dirección opuesta, si F es superpythagorean y E es un campo formalmente real que contiene F y está contenido en la clausura cuadrática de F, entonces E es superpythagorean. [15]
Notas
- ↑ a b Milnor y Husemoller (1973) p. 71
- ↑ Greenberg (2010)
- ↑ Martin (1998) p. 89
- ^ Rajwade (1993) p.230
- ^ Milnor y Husemoller (1973) p. 66
- ^ Milnor y Husemoller (1973) p. 72
- ^ Lam (2005) p.410
- ^ Lam (2005) p.293
- ^ Efrat (2005) p.178
- ↑ ( Iyanaga y Kawada 1980 , 163 D)
- ↑ Dehn (1900)
- ↑ a b Lam (1983) p.45
- ^ Lam (2005) p.269
- ^ Lam (1983) p.47
- ^ Lam (1983) p.48
Referencias
- Dehn, Max (1900), "Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck" , Mathematische Annalen , 53 (3): 404–439, doi : 10.1007 / BF01448980 , ISSN 0025-5831 , JFM 31.0471.01
- Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K -theory , Mathematical Surveys and Monographs, 124 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-4041-X, Zbl 1103.12002
- Elman, Richard; Lam, TY (1972), "Formas cuadráticas sobre campos formalmente reales y campos pitagóricos", American Journal of Mathematics , 94 : 1155-1194, doi : 10.2307 / 2373568 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373568 , MR 0314878
- Greenberg, Marvin J. (2010), "Viejos y nuevos resultados en los cimientos de geometrías euclidianas y no euclidianas del plano elemental", Am. Matemáticas. Lun. , 117 (3): 198–219, ISSN 0002-9890 , Zbl 1206.51015
- Iyanaga, Shôkichi ; Kawada, Yukiyosi, eds. (1980) [1977], Diccionario enciclopédico de matemáticas, Volúmenes I, II , Traducido de la segunda edición japonesa, versión de bolsillo de la edición de 1977 (1.ª ed.), MIT Press , ISBN 978-0-262-59010-5, MR 0591028
- Lam, TY (1983), Ordenaciones, valoraciones y formas cuadráticas , Serie de conferencias regionales de CBMS en matemáticas, 52 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001
- Lam, TY (2005), "Capítulo VIII sección 4: Campos pitagóricos", Introducción a las formas cuadráticas sobre los campos , Estudios de posgrado en matemáticas , 67 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 255-264, ISBN 978-0-8218-1095-8, MR 2104929
- Martin, George E. (1998), Construcciones geométricas , Textos de pregrado en matemáticas , Springer-Verlag , ISBN 0-387-98276-0
- Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Formas bilineales simétricas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , 73 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
- Rajwade, AR (1993), Squares , London Mathematical Society Lecture Note Series, 171 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-42668-5, Zbl 0785.11022