Los métodos de sistemas de estado cuantificados (QSS) son una familia de solucionadores de integración numérica basados en la idea de cuantificación de estados, dual a la idea tradicional de discretización de tiempo. A diferencia de los métodos tradicionales de solución numérica , que abordan el problema discretizando el tiempo y resolviendo el siguiente estado (valor real) en cada paso de tiempo sucesivo, los métodos QSS mantienen el tiempo como una entidad continua y, en cambio, cuantifican el estado del sistema, en lugar de resolver el tiempo. en el que el estado se desvía de su valor cuantificado en un cuanto .
También pueden tener muchas ventajas en comparación con los algoritmos clásicos. [1] Permiten inherentemente modelar discontinuidades en el sistema debido a su naturaleza de evento discreto y naturaleza asincrónica. También permiten la búsqueda explícita de raíces y la detección de cruce por cero utilizando algoritmos explícitos , evitando la necesidad de iteración, un hecho que es especialmente importante en el caso de sistemas rígidos, donde los métodos tradicionales de pasos en el tiempo requieren una gran penalización computacional. debido al requisito de resolver implícitamente el siguiente estado del sistema. Finalmente, los métodos QSS satisfacen una estabilidad global notable y límites de error, descritos a continuación, que no se satisfacen con las técnicas de solución clásicas.
Por su naturaleza, los métodos QSS son, por lo tanto, cuidadosamente modelados por el formalismo DEVS , un modelo de cálculo de eventos discretos , en contraste con los métodos tradicionales, que forman modelos de tiempo discreto del sistema de tiempo continuo . Por lo tanto, se han implementado en [PowerDEVS] , un motor de simulación para tales sistemas de eventos discretos.
Propiedades teóricas
En 2001, Ernesto Kofman demostró [2] una propiedad notable del método de simulación del sistema de estado cuantizado: a saber, que cuando la técnica se utiliza para resolver un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) estable , el error global está limitado por una constante que es proporcional al cuanto, pero (fundamentalmente) independiente de la duración de la simulación. Más específicamente, para un sistema LTI multidimensional estable con la matriz de transición de estado y matriz de entrada , se mostró en [CK06] que el vector de error absoluto está delimitado por encima de
dónde es el vector de los cuantos de estado, es el vector con cuantos adoptados en las señales de entrada, es la eigendecomposition o forma canónica de Jordan de, y denota el operador de valor absoluto por elementos (que no debe confundirse con el determinante o la norma ).
Vale la pena notar que este notable límite de error tiene un precio: el error global para un sistema LTI estable también está, en cierto sentido, delimitado por debajo del cuántico en sí, al menos para el método QSS1 de primer orden. Esto se debe a que, a menos que la aproximación coincida exactamente con el valor correcto (un evento que casi seguramente no sucederá), simplemente continuará oscilando alrededor del equilibrio, ya que el estado siempre (por definición) está garantizado para cambiar exactamente en uno. cuanto fuera del equilibrio. Evitar esta condición requeriría encontrar una técnica confiable para reducir dinámicamente el cuanto de una manera análoga a los métodos adaptativos de tamaño de pasos en los algoritmos tradicionales de simulación de tiempo discreto.
Método QSS de primer orden - QSS1
Deje que un problema de valor inicial se especifique de la siguiente manera.
El método QSS de primer orden, conocido como QSS1, se aproxima al sistema anterior por
dónde y están relacionados por una función de cuantificación histerética
dónde se llama cuanto . Observe que esta función de cuantificación es histerética porque tiene memoria : su salida no solo es una función del estado actual, pero también depende de su antiguo valor, .
Por lo tanto, esta formulación aproxima el estado mediante una función constante a trozos, , que actualiza su valor tan pronto como el estado se desvía de esta aproximación en un cuanto.
La formulación multidimensional de este sistema es casi la misma que la formulación unidimensional anterior: la estado cuantificado es una función de su estado correspondiente, , y el vector de estado es una función de todo el vector de estado cuantificado, :
Métodos QSS de alto nivel: QSS2 y QSS3
El método QSS de segundo orden, QSS2, sigue el mismo principio que QSS1, excepto que define como una aproximación lineal por partes de la trayectoriaque actualiza su trayectoria tan pronto como los dos difieren entre sí en un cuanto. El patrón continúa para aproximaciones de orden superior, que definen el estado cuantificado como aproximaciones polinomiales sucesivamente de orden superior del estado del sistema.
Es importante señalar que, si bien en principio se puede usar un método QSS de orden arbitrario para modelar un sistema de tiempo continuo, rara vez es deseable usar métodos de orden superior a cuatro, ya que el teorema de Abel-Ruffini implica que el tiempo de la siguiente cuantificación,, No puede (en general) ser resuelto de forma explícita para algebraicamente cuando la aproximación polinomio es de grado mayor que cuatro, y por lo tanto debe ser aproximado iterativamente usando un algoritmo de búsqueda de raíz . En la práctica, QSS2 o QSS3 resulta suficiente para muchos problemas y el uso de métodos de orden superior da como resultado poco o ningún beneficio adicional.
Método QSS hacia atrás - BQSS
Método QSS linealmente implícito - LIQSS
Implementación de software
Los métodos QSS pueden implementarse como un sistema de eventos discretos y simularse en cualquier simulador DEVS .
Los métodos QSS constituyen el principal solucionador numérico del software PowerDEVS [BK011] . También se han implementado como una versión independiente.
Referencias
- ^ Migoni, Gustavo, Ernesto Kofman y François Cellier (2011). "Nuevos métodos de integración basados en cuantificación para ecuaciones diferenciales ordinarias rígidas" . Simulación : 387–407.Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Kofman, Ernesto (2002). "Una aproximación de segundo orden para la simulación DEVS de sistemas continuos". Simulación . 78 (2): 76–89. CiteSeerX 10.1.1.640.1903 . doi : 10.1177 / 0037549702078002206 .
- [CK06] Francois E. Cellier y Ernesto Kofman (2006). Simulación continua de sistemas (primera ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-26102-7.
- [BK11] Bergero, Federico y Kofman, Ernesto (2011). "PowerDEVS: una herramienta para el modelado de sistemas híbridos y la simulación en tiempo real" (primera ed.). Sociedad Internacional de Simulación por Computadora, San Diego.
enlaces externos
- Implementación independiente de métodos QSS
- PowerDEVS en SourceForge