Ergodicidad cuántica
En el caos cuántico , una rama de la física matemática , la ergodicidad cuántica es una propiedad de la cuantización de los sistemas mecánicos clásicos que son caóticos en el sentido de sensibilidad exponencial a las condiciones iniciales. La ergodicidad cuántica establece, a grandes rasgos, que en el límite de alta energía, las distribuciones de probabilidad asociadas a estados propios de energía de un hamiltoniano ergódico cuantificado tienden a una distribución uniforme en el espacio de fase clásico. Esto es consistente con la intuición de que los flujos de los sistemas ergódicos están equidistribuidos en el espacio de fases. Por el contrario, los sistemas completamente integrables clásicos generalmente tienen órbitas periódicas en el espacio de fase, y esto se exhibe en una variedad de formas en el límite de alta energía de los estados propios: típicamente se produce alguna forma de concentración o "cicatrización" en el límite.
El caso modelo de un hamiltoniano es el hamiltoniano geodésico sobre el haz cotangente de una variedad compacta de Riemann . La cuantización del flujo geodésico viene dada por la solución fundamental de la ecuación de Schrödinger
donde es la raíz cuadrada del operador de Laplace-Beltrami . El teorema de la ergodicidad cuántica de Shnirelman 1974, Zelditch e Yves Colin de Verdière establece que una variedad riemanniana compacta cuyo haz unitario tangente es ergódica bajo el flujo geodésico también es ergódica en el sentido de que la densidad de probabilidad asociada a la función propia de la laplaciana tiende débilmente a la distribución uniforme sobre el fibrado cotangente unitario cuando n → ∞ en un subconjunto de los números naturales de densidad natural igual a uno. La ergodicidad cuántica se puede formular como un análogo no conmutativo de la ergodicidad clásica (T. Sunada ).
