En matemáticas, el cuasideterminante es un reemplazo del determinante para matrices con entradas no conmutativas. Los cuasideterminantes del ejemplo 2 × 2 son los siguientes:
En general, hay n 2 cuasideterminantes definidos para una matriz n × n (uno para cada posición en la matriz), pero la presencia de los términos invertidos anteriores debería hacer que el lector se detenga: no siempre están definidos, e incluso cuando están definidas, no se reducen a determinantes cuando las entradas conmutan. Bastante,
dónde medios eliminar el i ª fila y j ésima columna de A .
La Los ejemplos anteriores fueron introducidos entre 1926 y 1928 por Richardson [1] [2] y Heyting, [3] pero fueron marginados en ese momento porque no eran polinomios en las entradas de. Estos ejemplos fueron redescubiertos y revividos en 1991 por Israel Gelfand y Vladimir Retakh . [4] [5] Allí, desarrollan versiones cuasideterminantes de muchas propiedades determinantes familiares. Por ejemplo, si está construido a partir de reescalando su -th fila (a la izquierda) por , luego . Del mismo modo, si está construido a partir de agregando un múltiplo (izquierda) de la -th fila a otra fila, luego . Incluso desarrollan una versión cuasideterminantal de la regla de Cramer .
Definición
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/a7/QuasidetPictureDef.gif/200px-QuasidetPictureDef.gif)
Dejar frijol matriz sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) y arreglar . Dejar denotar el () -entrada de , dejar denotar el -th fila de con columna eliminado, y deja denotar el -a columna de con fila eliminado. La () -cuasideterminante de se define si la submatriz es invertible sobre . En este caso,
Recuerde la fórmula (para anillos conmutativos) que relaciona al determinante, a saber . La definición anterior es una generalización en el sentido de que (incluso para anillos no conmutativos) uno tiene
siempre que los dos lados tengan sentido.
Identidades
Una de las propiedades más importantes del cuasideterminante es lo que Gelfand y Retakh llaman "principio de herencia". Le permite a uno tomar un cuasideterminante en etapas (y no tiene contraparte conmutativa). Para ilustrar, suponga
es una descomposición de la matriz de bloques de un matriz con a matriz. Si el () -entrada de yace dentro , dice que
Es decir, el cuasideterminante de un cuasideterminante es un cuasideterminante. Para decirlo de manera menos sucinta: los determinantes DIFERENTES, los cuasideterminantes tratan las matrices con entradas de matriz de bloques de la misma manera que las matrices ordinarias (algo que los determinantes no pueden hacer ya que las matrices de bloques generalmente no se conmutan entre sí). Es decir, mientras que la forma precisa de la identidad anterior es bastante sorprendente, la existencia de alguna dicha identidad es menos. Otras identidades de los artículos [4] [5] son (i) las llamadas "relaciones homológicas", que indican que dos cuasideterminantes en una fila o columna común están estrechamente relacionados entre sí, y (ii) la fórmula de Sylvester .
(i) Dos cuasideterminantes que comparten una fila o columna común satisfacen
o
respectivamente, para todas las opciones , de modo que se definan los cuasideterminantes implicados.
(ii) Al igual que el principio de herencia, la identidad de Sylvester es una forma de calcular de forma recursiva un cuasideterminante. Para facilitar la notación, mostramos un caso especial. Dejar ser el superior izquierdo submatriz de un matriz y fijar una coordenada) en . Dejar ser el matriz, con definido como el () -cuasideterminante de la matriz formada colindando con el primero columnas de fila , el primero filas de columna , y la entrada . Entonces uno tiene
Han aparecido muchas más identidades desde los primeros artículos de Gelfand y Retakh sobre el tema, la mayoría de ellas análogas a las identidades determinantes clásicas. Una fuente importante es el artículo de 1995 de Krob y Leclerc. [6] Para resaltar uno, consideramos las identidades de expansión de fila / columna. Arreglar una filaexpandirse a lo largo. Recuerda la fórmula determinante. Bueno, sucede que los cuasideterminantes satisfacen
(expansión a lo largo de la columna ), y
(expansión a lo largo de la fila ).
Conexiones con otros determinantes
El cuasideterminante no es ciertamente el único determinante análogo existente para los entornos no conmutativos; quizás los ejemplos más famosos son el determinante de Dieudonné y el determinante cuántico . Sin embargo, estos están relacionados con el cuasideterminante de alguna manera. Por ejemplo,
con los factores del lado derecho desplazándose entre sí. Otros ejemplos famosos, como los determinantes berezinianos , de Moore y Study, los determinantes de Capelli y los determinantes de tipo Cartier-Foata también se pueden expresar en términos de cuasideterminantes. Se sabe que Gelfand define un determinante (no conmutativo) como "bueno" si puede expresarse como productos de cuasiminores.
Aplicaciones
Parafraseando su artículo de la encuesta de 2005 con Sergei Gelfand y Robert Wilson, [7] Israel Gelfand y Vladimir Retakh abogan por la adopción de cuasideterminantes como "una herramienta principal de organización en álgebra no conmutativa, dándoles el mismo papel que juegan los determinantes en álgebra conmutativa". Se ha hecho un uso sustantivo del cuasideterminante en campos de las matemáticas como sistemas integrables, [8] [9] teoría de la representación, [10] [11] combinatoria algebraica, [12] la teoría de funciones simétricas no conmutativas , [13] la teoría de polinomios sobre anillos de división , [14] y geometría no conmutativa. [15] [16] [17]
Varias de las aplicaciones anteriores hacen uso de coordenadas cuasi-plucker, el cual parametrizar Grassmannians no conmutativos y banderas de la misma manera que las coordenadas plucker hacer Grassmannians y banderas sobre los campos conmutativa. Puede encontrar más información sobre estos en el artículo de la encuesta. [7]
Ver también
Referencias
- ^ Richardson, Archibald Read (1926). "Determinantes del hipercomplejo". Mensajero de las Matemáticas . 55 : 145-152.
- ^ Richardson, Archibald Read (1928). "Ecuaciones lineales simultáneas sobre un álgebra de división". Actas de la London Mathematical Society . 28 : 395–420. doi : 10.1112 / plms / s2-28.1.395 .
- ^ Heyting, Arend (1928). "Die theorie der linearen gleichungen in einer zahlenspezies mit nichtkommutativer multiplikation" . Mathematische Annalen . 98 : 465–490. doi : 10.1007 / BF01451604 .
- ^ a b Gelfand, Israel ; Retakh, Vladimir (1991). "Determinantes de matrices sobre anillos no conmutativos" . Análisis funcional y sus aplicaciones . 25 : 91-102. doi : 10.1007 / BF01079588 .
- ^ a b Gelfand, Israel ; Retakh, Vladimir (1992). "Una teoría de los determinantes no conmutativos y funciones características de los gráficos" . Análisis funcional y sus aplicaciones . 26 : 231–246. doi : 10.1007 / BF01075044 .
- ^ Krob, Daniel; Leclerc, Bernard (1995). "Identidades menores para cuasi-determinantes y determinantes cuánticos" . Comunicaciones en Física Matemática . 169 : 1-23. doi : 10.1007 / BF02101594 .
- ^ a b Gelfand, Israel ; Gelfand, Sergei; Retakh, Vladimir ; Wilson, Robert Lee (2005). "Cuasideterminantes" . Avances en Matemáticas . 193 : 56-141. arXiv : matemáticas / 0208146 . doi : 10.1016 / j.aim.2004.03.018 .
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- ^ Gilson, Claire R .; Nimmo, Jonathan JC; Sooman, CM (2008). "En un enfoque directo a las soluciones cuasideterminantes de una ecuación KP modificada no conmutativa". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 41 : 085202. arXiv : 0711.3733 . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 41/8/085202 .
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