Análisis cuaterniónico

Estudio de funciones analíticas de cuaterniones, generalizando análisis complejos

En matemáticas , el análisis cuaterniónico es el estudio de funciones con cuaterniones como dominio y / o rango. Estas funciones pueden denominarse funciones de una variable de cuaternión del mismo modo que se denominan funciones de una variable real o una variable compleja .

Al igual que con el análisis complejo y real , es posible estudiar los conceptos de analiticidad , holomorfia , armonicidad y conformalidad en el contexto de los cuaterniones. A diferencia de los números complejos y como los reales , las cuatro nociones no coinciden.

Propiedades

Las proyecciones de un cuaternión en su parte escalar o en su parte vectorial, así como las funciones de módulo y veror , son ejemplos básicos para comprender la estructura del cuaternión.

Un ejemplo importante de una función de una variable de cuaternión es

${\displaystyle f_{1}(q)=uqu^{-1}}$

que rota la parte vectorial de q el doble del ángulo representado por u .

El inverso multiplicativo del cuaternión es otra función fundamental, pero al igual que con otros sistemas numéricos, los problemas relacionados generalmente se excluyen debido a la naturaleza de dividir por cero .${\displaystyle f_{2}(q)=q^{-1}}$${\displaystyle f_{2}(0)}$

Las transformaciones afines de los cuaterniones tienen la forma

${\displaystyle f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathbb {H} .}$

Las transformaciones lineales fraccionarias de los cuaterniones se pueden representar mediante elementos del anillo de la matriz que operan en la línea proyectiva superior . Por ejemplo, las asignaciones donde y son versores fijos sirven para producir los movimientos del espacio elíptico .${\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle q\mapsto uqv,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

La teoría de la variable cuaternión difiere en algunos aspectos de la teoría de la variable compleja. Por ejemplo: el mapeo conjugado complejo del plano complejo es una herramienta central, pero requiere la introducción de una operación no aritmética ni analítica . De hecho, la conjugación cambia la orientación de las figuras planas, algo que las funciones aritméticas no cambian.

En contraste con el conjugado complejo , la conjugación del cuaternión se puede expresar aritméticamente, como${\displaystyle f_{4}(q)=-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}$

Esta ecuación se puede probar, comenzando con la base {1, i, j, k}:

${\displaystyle f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}$.

En consecuencia, dado que es lineal ,${\displaystyle f_{4}}$

${\displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_{4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}$

El éxito del análisis complejo al proporcionar una rica familia de funciones holomórficas para el trabajo científico ha involucrado a algunos investigadores en esfuerzos para extender la teoría planar, basada en números complejos, a un estudio de 4 espacios con funciones de una variable de cuaternión. ^[1] Estos esfuerzos se resumen en Deavours (1973) . ^[a]

Aunque aparece como una unión de planos complejos , la siguiente proposición muestra que extender funciones complejas requiere un cuidado especial:${\displaystyle \mathbb {H} }$

Dejar que sea una función de una variable compleja, . Supongamos también que es una función par de y que es una función impar de . Entonces es una extensión de a una variable de cuaternión donde y . Luego, represente el conjugado de , de modo que . La extensión a estará completa cuando se muestre eso . De hecho, por hipótesis${\displaystyle f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)}$${\displaystyle f_{5}}$${\displaystyle q=x+yr}$${\displaystyle r^{2}=-1}$${\displaystyle r\in \mathbb {H} }$${\displaystyle r^{*}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q=x-yr^{*}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle f_{5}(q)=f_{5}(x-yr^{*})}$

${\displaystyle u(x,y)=u(x,-y),\quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad }$ Se obtiene

${\displaystyle f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*}v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y)=f_{5}(q).}$

Homografías

A continuación, se utilizan dos puntos y corchetes para indicar vectores homogéneos .

La rotación sobre el eje r es una aplicación clásica de los cuaterniones al mapeo espacial . ^[2] En términos de homografía , la rotación se expresa

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],}$

donde es un versor . Si p * = - p , entonces la traslación se expresa por${\displaystyle u=\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$${\displaystyle q\mapsto q+p}$

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}}=[q+p:1].}$

La rotación y traslación xr a lo largo del eje de rotación está dada por

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}}=[qu+uxr:u]\thicksim [u^{-1}qu+xr:1].}$

Tal mapeo se llama desplazamiento de tornillo . En cinemática clásica , el teorema de Chasles establece que cualquier movimiento de un cuerpo rígido puede mostrarse como un desplazamiento de tornillo. Así como la representación de una isometría plana euclidiana como una rotación es una cuestión de aritmética de números complejos, el teorema de Chasles, y el eje del tornillo requerido, es una cuestión de aritmética de cuaterniones con homografías: sea s un versor derecho o raíz cuadrada de menos uno, perpendicular ar , con t = rs .

Considere el eje que pasa por sy paralelo ar . La rotación a su alrededor se expresa ^[3] por la composición de la homografía.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-s&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}$

donde ${\displaystyle z=us-su=\sin \theta (rs-sr)=2t\sin \theta .}$

Ahora, en el plano ( s, t ), el parámetro θ traza un círculo en el semiplano${\displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )}$${\displaystyle \lbrace wt+xs:x>0\rbrace .}$

Cualquier p en este semiplano se encuentra en un rayo desde el origen a través del círculo y se puede escribir${\displaystyle \lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \rbrace }$${\displaystyle p=au^{-1}z,\ \ a>0.}$

Entonces up = az , con como homografía que expresa la conjugación de una rotación por una traslación p.${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\az&u\end{pmatrix}}}$

La derivada de los cuaterniones

Desde la época de Hamilton, se ha comprendido que exigir la independencia de la derivada del camino que sigue un diferencial hacia cero es demasiado restrictivo: excluye incluso de la diferenciación. Por lo tanto, una derivada dependiente de la dirección es necesaria para las funciones de una variable de cuaternión. ^{[4] [5]} Considerando el incremento de la función polinomial del argumento cuaterniónico, se muestra que el incremento es un mapa lineal del incremento del argumento. ^{[ dudoso - discutir ]} A partir de esto, se puede hacer una definición:${\displaystyle f(q)=q^{2}}$

Un mapa continuo se llama diferenciable en el conjunto , si, en cada punto , el incremento del mapa se puede representar como${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)}$

donde

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

es un mapa lineal de álgebra de cuaterniones y es un mapa tan continuo que${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0}$

El mapa lineal se llama derivada del mapa .${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}}$${\displaystyle f}$

En los cuaterniones, la derivada puede expresarse como

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Por lo tanto, el diferencial del mapa puede expresarse de la siguiente manera con corchetes a cada lado.${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left(\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

El número de términos de la suma dependerá de la función f . Las expresiones se denominan componentes de derivada.${\displaystyle {\frac {d_{sp}df(x)}{dx}},p=0,1}$

La derivada de una función cuaterniónica tiene las siguientes igualdades

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ h=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+th)-f(x)))}$

${\displaystyle {\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg(x)}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)}$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b}$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b}$

Para la función f ( x ) = axb , la derivada es

${\displaystyle {\frac {daxb}{dx}}=a\otimes b}$

${\displaystyle dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b}$

y entonces los componentes son:

${\displaystyle {\frac {d_{10}axb}{dx}}=a}$

${\displaystyle {\frac {d_{11}axb}{dx}}=b}$

De manera similar, para la función f ( x ) = x ² , la derivada es

${\displaystyle {\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x}$

${\displaystyle dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\,dx+dx\,x}$

y los componentes son:

${\displaystyle {\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x}$		${\displaystyle {\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1}$
${\displaystyle {\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1}$		${\displaystyle {\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x}$

Finalmente, para la función f ( x ) = x ⁻¹ , la derivada es

${\displaystyle {\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1}}$

${\displaystyle dy={\frac {dx^{-1}}{dx}}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}}$

y los componentes son:

${\displaystyle {\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}}=x^{-1}}$

Ver también

• Cayley transform

Notas

1. Deavours (1973) recuerda un número de 1935 de Commentarii Mathematici Helvetici donde Fueter (1936) inició una teoría alternativa de las "funciones regulares" através de la idea del teorema de Morera : la función cuaternión"se deja regular en" cuando la integral dedesaparece sobre cualquier hipersuperficie suficientemente pequeña quecontenga. Entonces secumpleel análogo del teorema de Liouville : la única función de cuaternión regular con norma acotadaes una constante. Un enfoque para construir funciones regulares es utilizar series de potencias con coeficientes reales. Deavours también da análogos para el${\displaystyle F}$${\displaystyle q}$${\displaystyle F}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{4}}$Integral de Poisson , la fórmula integral de Cauchy y la presentación de las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell con funciones de cuaternión.

Citas

1. ( Fueter, 1936 )
2. ( Cayley 1848 , especialmente página 198)
3. ( Hamilton 1853 , §287 págs. 273,4)
4. ( Hamilton 1866 , Capítulo II, Sobre diferenciales y desarrollos de funciones de cuaterniones, págs. 391–495)
5. ( Laisant 1881 , Chapitre 5: Différentiation des Quaternions, págs. 104-117)

Referencias

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• Cayley, Arthur (1848), "Sobre la aplicación de los cuaterniones a la teoría de la rotación" , London and Edinburgh Philosophical Magazine , Serie 3, 33 (221): 196–200, doi : 10.1080 / 14786444808645844
• Deavours, CA (1973), "The quaternion calculus", American Mathematical Monthly , Washington, DC: Mathematical Association of America, 80 (9): 995–1008, doi : 10.2307 / 2318774 , ISSN  0002-9890 , JSTOR  2318774 , Zbl  0282.30040
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• Fueter, Rudolf (1936), "Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen", Commentarii Mathematici Helvetici (en alemán), 8 : 371–378, doi : 10.1007 / BF01199562 , Zbl  0014.16702
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