En matemáticas , una función radial es una función definida en un espacio euclidiano R n cuyo valor en cada punto depende solo de la distancia entre ese punto y el origen. Por ejemplo, una función radial Φ en dos dimensiones tiene la forma
donde φ es una función de una sola variable real no negativa. Las funciones radiales se contrastan con las funciones esféricas , y cualquier función decente (por ejemplo, continua y rápidamente decreciente ) en el espacio euclidiano se puede descomponer en una serie que consta de partes radiales y esféricas: la expansión armónica esférica sólida .
Una función es radial si y solo si es invariante en todas las rotaciones dejando el origen fijo. Es decir, f es radial si y solo si
para todo ρ ∈ SO ( n ) , el grupo ortogonal especial en n dimensiones. Esta caracterización de funciones radiales permite también definir distribuciones radiales . Estas son distribuciones S sobre R n tales que
para cada función de prueba φ y rotación ρ.
Dado cualquier (localmente integrable) función ƒ , su parte radial está dada por un promedio de más esferas centrada en el origen. Esto es,
donde ω n −1 es el área de la superficie de la ( n −1) -esfera S n −1 , y r = | x | , x ′ = x / r . Se sigue esencialmente del teorema de Fubini que una función localmente integrable tiene una parte radial bien definida en casi cada r .
La transformada de Fourier de una función radial también es radial, por lo que las funciones radiales juegan un papel vital en el análisis de Fourier . Además, la transformada de Fourier de una función radial generalmente tiene un comportamiento de desintegración más fuerte en el infinito que las funciones no radiales: para las funciones radiales limitadas en una vecindad del origen, la transformada de Fourier se desintegra más rápido que R - ( n −1) / 2 . Las funciones de Bessel son una clase especial de función radial que surgen naturalmente en el análisis de Fourier como las funciones propias radiales del Laplaciano ; como tales, aparecen naturalmente como la porción radial de la transformada de Fourier.
Ver también
Referencias
- Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier sobre espacios euclidianos , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.