En matemáticas, más específicamente en geometría diferencial, el isomorfismo musical (o isomorfismo canónico ) es un isomorfismo entre el haz tangente y el paquete cotangente de una variedad pseudo-Riemanniana inducida por su tensor métrico . Hay isomorfismos similares en variedades simplécticas . El término musical se refiere al uso de los símbolos. (plano) y (agudo). [1] [2] Se desconoce el origen exacto de esta notación, pero el término musicalidad en este contexto se debería a Marcel Berger . [3]
En notación covariante y contravariante , también se conoce como índices ascendentes y descendentes .
Discusión
Sea ( M , g ) una variedad pseudo-Riemanniana . Suponga que { e i } es un marco tangente móvil (ver también marco suave ) para el paquete tangente T M con, como marco dual (ver también base dual ), el coframe móvil (un marco tangente móvil para el paquete cotangente . Véase también coframe ) { e i } . Entonces, localmente , podemos expresar la métrica pseudo-Riemanniana (que es un campo tensorial de 2 covariantes que es simétrico y no degenerado ) como g = g ij e i ⊗ e j (donde empleamos la convención de suma de Einstein ).
Dado un campo vectorial X = X i e i , definimos su plano por
Esto se conoce como " reducción de un índice ". Usando la notación tradicional de corchetes de diamante para el producto interno definido por g , obtenemos la relación algo más transparente
para cualquier vector campos X y Y .
De la misma manera, dado un campo covector ω = ω i e i , definimos su agudo por
donde g ij son los componentes del tensor métrico inverso (dado por las entradas de la matriz inversa en g ij ). Tomar la nitidez de un campo covector se conoce como " elevar un índice ". En la notación de producto interno, esto dice
para cualquier campo covector ω y cualquier campo vectorial Y .
A través de esta construcción, tenemos dos isomorfismos mutuamente inversos
Estos son isomorfismos de paquetes de vectores y, por lo tanto, tenemos, para cada p en M , isomorfismos de espacio vectorial mutuamente inversos entre T p M y T∗
pM .
Extensión a productos tensoriales
Los isomorfismos musicales también pueden extenderse a los paquetes
Debe indicarse qué índice se va a subir o bajar. Por ejemplo, considere el campo de tensión (0, 2) X = X ij e i ⊗ e j . Elevando el segundo índice, obtenemos el (1, 1) -campo de tensión
Extensión a k -vectores y k- formas
En el contexto del álgebra exterior , una extensión de los operadores musicales se puede definir en ⋀ V y su dual ⋀∗
V , que con un abuso menor de notación , se puede denotar de la misma manera, y nuevamente son inversas mutuas: [4]
definido por
En esta extensión, en la que ♭ mapea p -vectores a p -covectores y ♯ mapea p -covectores a p -vectores, todos los índices de un tensor totalmente antisimétrico aumentan o disminuyen simultáneamente, por lo que no es necesario indicar ningún índice:
Traza de un tensor a través de un tensor métrico
Dado un campo tensorial de tipo (0, 2) X = X ij e i ⊗ e j , definimos la traza de X a través del tensor métrico g por
Observe que la definición de traza es independiente de la elección del índice a subir, ya que el tensor métrico es simétrico.
Ver también
- Dualidad (matemáticas)
- Subiendo y bajando índices
- Espacio dual § Productos bilineales y espacios duales
- Hodge dual
- Paquete de vectores
- Flat (música) y Sharp (música) sobre los signos ♭ y ♯
Citas
- ^ Lee 2003 , Capítulo 11.
- ^ Lee 1997 , Capítulo 3.
- ^ ver este hilo
- ^ Vaz y da Rocha , 2016 , págs.48, 50.
Referencias
- Lee, JM (2003). Introducción a los colectores lisos . Springer Graduate Texts in Mathematics. 218 . ISBN 0-387-95448-1.
- Lee, JM (1997). Colectores de Riemann: una introducción a la curvatura . Springer Graduate Texts in Mathematics. 176 . Nueva York · Berlín · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
- Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). Una introducción a las álgebras y espinores de Clifford . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-878-292-6.