En teoría de números , el teorema de Baker-Heegner-Stark [1] establece con precisión qué campos numéricos imaginarios cuadráticos admiten una factorización única en su anillo de números enteros . Resuelve un caso especial del problema del número de clase de Gauss de determinar el número de campos cuadráticos imaginarios que tienen un número de clase fijo dado .
Sea Q el conjunto de números racionales y sea d un número entero no cuadrado . Entonces Q ( √ d ) es una extensión finita de Q de grado 2, llamada extensión cuadrática. El número de clase de Q ( √ d ) es el número de clases de equivalencia de ideales del anillo de enteros de Q ( √ d ), donde dos ideales I y J son equivalentes si y solo siexisten ideales principales ( una ) y ( b ) tal que ( a ) I = ( b ) J . Por lo tanto, el anillo de números enteros de Q ( √ d ) es un dominio ideal principal (y, por lo tanto, un dominio de factorización único ) si y solo si el número de clase de Q ( √ d ) es igual a 1. El teorema de Baker-Heegner-Stark Entonces puede expresarse de la siguiente manera:
- Si d <0, entonces el número de clase de Q ( √ d ) es igual a 1 si y solo si
Estos se conocen como números de Heegner .
Esta lista también se escribe, reemplazando −1 con −4 y −2 con −8 (que no cambia el campo), como: [2]
donde D se interpreta como discriminante (ya sea del campo numérico o de una curva elíptica con multiplicación compleja ). Esto es más estándar, ya que las D son entonces discriminantes fundamentales .
Historia
Este resultado fue conjeturado por primera vez por Gauss en la Sección 303 de sus Disquisitiones Arithmeticae (1798). Fue esencialmente probado por Kurt Heegner en 1952, pero la prueba de Heegner tenía algunas lagunas menores y el teorema no fue aceptado hasta que Harold Stark dio una prueba completa en 1967, que tenía muchos puntos en común con el trabajo de Heegner, pero suficientes diferencias que Stark considera las pruebas. ser diferente. [3] Heegner "murió antes de que nadie entendiera realmente lo que había hecho". [4] Stark llenó formalmente el vacío en la prueba de Heegner en 1969 (otros artículos contemporáneos produjeron varias pruebas similares mediante funciones modulares, pero Stark se concentró en llenar explícitamente el vacío de Heegner). [5]
Alan Baker dio una prueba completamente diferente un poco antes (1966) que el trabajo de Stark (o más precisamente Baker redujo el resultado a una cantidad finita de cálculo, con el trabajo de Stark en su tesis de 1963/4 ya proporcionando este cálculo), y ganó la Medalla Fields. por sus métodos. Más tarde, Stark señaló que la prueba de Baker, que involucra formas lineales en 3 logaritmos, podría reducirse a solo 2 logaritmos, cuando el resultado ya era conocido desde 1949 por Gelfond y Linnik. [6]
El artículo de Stark de 1969 ( Stark 1969a ) también citó el texto de 1895 de Heinrich Martin Weber y señaló que si Weber "solo hubiera hecho la observación de que la reducibilidad de [una cierta ecuación] conduciría a una ecuación diofántica , el problema de clase número uno sería se han resuelto hace 60 años ". Bryan Birch señala que el libro de Weber, y esencialmente todo el campo de las funciones modulares, dejó de ser de interés durante medio siglo: "Desafortunadamente, en 1952 no quedaba nadie que fuera lo suficientemente experto en el álgebra de Weber para apreciar el logro de Heegner". [7]
Deuring, Siegel y Chowla dieron pruebas ligeramente variantes de funciones modulares en los años inmediatamente posteriores a Stark. [8] Otras versiones de este género también han aparecido a lo largo de los años. Por ejemplo, en 1985, Monsur Kenku dio una prueba usando el cuartico de Klein (aunque nuevamente utilizando funciones modulares). [9] Y nuevamente, en 1999, Imin Chen dio otra prueba variante por funciones modulares (siguiendo el esquema de Siegel). [10]
El trabajo de Gross y Zagier (1986) ( Gross y Zagier 1986 ) combinado con el de Goldfeld (1976) también ofrece una prueba alternativa. [11]
Caso real
Por otro lado, se desconoce si hay infinitos d > 0 para los cuales Q ( √ d ) tiene el número de clase 1. Los resultados computacionales indican que hay muchos campos de este tipo. Los campos numéricos con la clase número uno proporcionan una lista de algunos de ellos.
Notas
- ↑ Elkies (1999) llama a esto el teorema de Stark-Heegner (afín a los puntos de Stark-Heegner como en la página xiii de Darmon (2004) ) pero omitir el nombre de Baker es atípico. Chowla (1970) agrega gratuitamente Deuring y Siegel en el título de su artículo.
- ^ Elkies (1999) , p. 93.
- ^ Stark (2011) página 42
- ^ Goldfeld (1985) .
- ↑ Stark (1969a)
- ↑ Stark (1969b)
- ^ Abedul (2004)
- ↑ Chowla (1970)
- ^ Kenku (1985) .
- ^ Chen (1999)
- ↑ Goldfeld (1985)
Referencias
- Birch, Bryan (2004), "Heegner Points: The Beginnings", Publicaciones de MSRI , 49 : 1–10[1]
- Chen, Imin (1999), "On Siegel's Modular Curve of Level 5 and the Class Number One Problem", J. Number Theory , 74 (2): 278-297, doi : 10.1006 / jnth.1998.2320
- Chowla, S. (1970), "El teorema de Heegner-Stark-Baker-Deuring-Siegel", Crelle , 241 : 47-48[2]
- Darmon, Henri (2004), "Prefacio a Heegner Points y Rankin L-Series ", Publicaciones de MSRI , 49 : ix – xiii[3]
- Elkies, Noam D. (1999), "The Klein Quartic in Number Theory" (PDF) , en Levy, Silvio (ed.), The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve , Publicaciones MSRI, 35 , Cambridge University Press, págs. 51-101, MR 1722413
- Goldfeld, Dorian (1985), "Problema numérico de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios", Boletín de la American Mathematical Society , 13 : 23–37, doi : 10.1090 / S0273-0979-1985-15352-2 , MR 0788386
- Gross, Benedict H .; Zagier, Don B. (1986), "Puntos de Heegner y derivadas de la serie L", Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225–320, doi : 10.1007 / BF01388809 , MR 0833192.
- Heegner, Kurt (1952), "Diophantische Analysis und Modulfunktionen" [Análisis diofantino y funciones modulares], Mathematische Zeitschrift (en alemán), 56 (3): 227-253, doi : 10.1007 / BF01174749 , MR 0053135
- Kenku, MQ (1985), "Una nota sobre los puntos integrales de una curva modular de nivel 7", Mathematika , 32 : 45–48, doi : 10.1112 / S0025579300010846 , MR 0817106
- Levy, Silvio, ed. (1999), The Eightfold Way: The Beauty of Klein Quartic Curve , Publicaciones MSRI, 35 , Cambridge University Press
- Stark, HM (1969a), "Sobre la brecha en el teorema de Heegner" (PDF) , Journal of Number Theory , 1 : 16-27, doi : 10.1016 / 0022-314X (69) 90023-7 , hdl : 2027.42 / 33039
- Stark, HM (1969b), "Una nota histórica sobre campos cuadráticos complejos con clase número uno", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 21 : 254–255, doi : 10.1090 / S0002-9939-1969-0237461-X
- Stark, HM (2011), El origen de las conjeturas "Stark" , que aparecen en Aritmética de funciones L[4]