En matemáticas, la secuencia de Fibonacci aleatoria es un análogo estocástico de la secuencia de Fibonacci definida por la relación de recurrencia f n = f n −1 ± f n −2 , donde los signos + o - se eligen al azar con igual probabilidad 1/2, de forma independiente para diferentes n . Según un teorema de Harry Kesten y Hillel Furstenberg , las secuencias recurrentes aleatorias de este tipo crecen a una cierta tasa exponencial , pero es difícil calcular la tasa explícitamente. En 1999, Divakar Viswanathmostró que la tasa de crecimiento de la secuencia aleatoria de Fibonacci es igual a 1,1319882487943… (secuencia A078416 en la OEIS ), una constante matemática que más tarde se denominó constante de Viswanath. [1] [2] [3]
Descripción
La secuencia de Fibonacci aleatoria es una secuencia aleatoria de números enteros { f n }, donde f 1 = f 2 = 1 y los términos subsiguientes se determinan a partir de la relación de recurrencia aleatoria
Una ejecución de la secuencia aleatoria de Fibonacci comienza con 1,1 y el valor de cada término subsiguiente se determina mediante un lanzamiento de moneda justo : dados dos elementos consecutivos de la secuencia, el siguiente elemento es su suma o su diferencia con probabilidad 1 / 2, independientemente de todas las elecciones realizadas anteriormente. Si en la secuencia de Fibonacci aleatoria se elige el signo más en cada paso, la ejecución correspondiente es la secuencia de Fibonacci { F n },
Si los signos se alternan en un patrón menos-más-más-menos-más-más -..., el resultado es la secuencia
Sin embargo, tales patrones ocurren con probabilidad de desvanecimiento en un experimento aleatorio. En una ejecución típica, los términos no seguirán un patrón predecible:
De manera similar al caso determinista, la secuencia aleatoria de Fibonacci se puede describir de manera rentable a través de matrices:
donde los signos se eligen independientemente para n diferentes con probabilidades iguales para + o -. Por lo tanto
donde { M k } es una secuencia de matrices aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica que toman valores A o B con probabilidad 1/2:
Tasa de crecimiento
Johannes Kepler descubrió que a medida que n aumenta, la proporción de los términos sucesivos de la secuencia de Fibonacci { F n } se aproxima a la proporción áurea que es aproximadamente 1,61803. En 1765, Leonhard Euler publicó una fórmula explícita, conocida hoy como fórmula de Binet ,
Demuestra que los números de Fibonacci crecen a una tasa exponencial igual a la proporción áurea φ .
En 1960, Hillel Furstenberg y Harry Kesten demostraron que para una clase general de productos matriciales aleatorios , la norma crece como λ n , donde n es el número de factores. Sus resultados se aplican a una amplia clase de procesos de generación de secuencia aleatoria que incluye la secuencia de Fibonacci aleatoria. Como consecuencia, la raíz n -ésima de | f n | converge a un valor constante casi con seguridad , o con probabilidad uno:
Divakar Viswanath encontró una expresión explícita para esta constante en 1999. Utiliza la fórmula de Furstenberg para el exponente de Lyapunov de un producto de matriz aleatoria y la integración sobre una determinada medida fractal en el árbol de Stern-Brocot . Además, Viswanath calculó el valor numérico anterior utilizando aritmética de punto flotante validada por un análisis del error de redondeo .
Trabajo relacionado
La constante de Embree-Trefethen describe el comportamiento cualitativo de la secuencia aleatoria con la relación de recurrencia
para diferentes valores de β. [4]
Referencias
- ^ Viswanath, D. (1999). "Secuencias de Fibonacci aleatorias y el número 1.13198824 ..." Matemáticas de Computación . 69 (231): 1131-1155. doi : 10.1090 / S0025-5718-99-01145-X .
- ^ Oliveira, TRABAJO; De Figueiredo, LH (2002). "Cálculo de intervalo de la constante de Viswanath". Computación confiable . 8 (2): 131. doi : 10.1023 / A: 1014702122205 .
- ^ Makover, E .; McGowan, J. (2006). "Una prueba elemental de que las secuencias de Fibonacci al azar crecen exponencialmente". Revista de teoría de números . 121 : 40. arXiv : math.NT / 0510159 . doi : 10.1016 / j.jnt.2006.01.002 .
- ^ Embree, M .; Trefethen, LN (1999). "Crecimiento y decadencia de secuencias de Fibonacci al azar" (PDF) . Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas e Ingeniería . 455 (1987): 2471. Código Bibliográfico : 1999RSPSA.455.2471T . doi : 10.1098 / rspa.1999.0412 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Secuencia aleatoria de Fibonacci" . MathWorld .
- Secuencia OEIS A078416 (Expansión decimal de la constante de Viswanath)
- Números de Fibonacci aleatorios . Video de Numberphile sobre la secuencia aleatoria de Fibonnaci.