En matemáticas , el grupo ortogonal especial en tres dimensiones, también conocido como el grupo de rotación SO (3) , es un ejemplo natural de una variedad . Los diversos gráficos en SO (3) establecen sistemas de coordenadas rivales : en este caso, no se puede decir que haya un conjunto preferido de parámetros que describan una rotación. Hay tres grados de libertad , por lo que la dimensión de SO (3) es tres. En numerosas aplicaciones se utiliza uno u otro sistema de coordenadas, y surge la pregunta de cómo convertir de un sistema dado a otro.
El espacio de rotaciones
En geometría, el grupo de rotación es el grupo de todas las rotaciones sobre el origen del espacio euclidiano tridimensional R 3 bajo la operación de composición . [1] Por definición, una rotación sobre el origen es una transformación lineal que preserva la longitud de los vectores (es una isometría ) y preserva la orientación (es decir, la mano ) del espacio. Una transformación que conserva la longitud y que invierte la orientación se denomina rotación incorrecta . Toda rotación incorrecta del espacio euclidiano tridimensional es una rotación seguida de una reflexión en un plano a través del origen.
La composición de dos rotaciones da como resultado otra rotación; cada rotación tiene una rotación inversa única; y el mapa de identidad satisface la definición de rotación. Debido a las propiedades anteriores, el conjunto de todas las rotaciones es un grupo en composición. Además, el grupo de rotación tiene una estructura múltiple natural para la cual las operaciones del grupo son suaves ; por lo que de hecho es un grupo de Lie . El grupo de rotación a menudo se denota SO (3) por las razones que se explican a continuación .
El espacio de rotaciones es isomorfo con el conjunto de operadores de rotación y el conjunto de matrices ortonormales con determinante +1. También está estrechamente relacionado ( doble cubierto ) con el conjunto de cuaterniones con su producto interno, así como con el conjunto de vectores de rotación (aunque aquí la relación es más difícil de describir, ver más abajo para más detalles), con una operación de composición interna diferente. dado por el producto de sus matrices equivalentes.
La notación de vectores de rotación surge del teorema de rotación de Euler que establece que cualquier rotación en tres dimensiones puede describirse mediante una rotación en algún ángulo alrededor de algún eje. Teniendo esto en cuenta, podemos especificar el eje de una de estas rotaciones en dos ángulos, y podemos usar el radio del vector para especificar el ángulo de rotación . Estos vectores representan una bola en 3D con una topología inusual.
Esta esfera sólida 3D es equivalente a la superficie de una esfera 4D, que también es una variedad 3D. Para hacer esta equivalencia, tendremos que definir cómo representaremos una rotación con esta superficie incrustada en 4D.
La hiperesfera de rotaciones
Visualizando la hiperesfera
Es interesante considerar el espacio como la esfera tridimensional S 3 , el límite de un disco en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Para hacer esto, tendremos que definir cómo representamos una rotación con esta superficie incrustada en 4D.
La forma en que se puede utilizar el radio para especificar el ángulo de rotación no es sencilla. Puede relacionarse con círculos de latitud en una esfera con un polo norte definido y se explica de la siguiente manera:
Comenzando en el polo norte de una esfera en un espacio tridimensional, especificamos el punto en el polo norte para representar la rotación de identidad. En el caso de la rotación de identidad, no se define ningún eje de rotación y el ángulo de rotación (cero) es irrelevante. Se puede especificar una rotación con su eje contenido en el plano xy y un ángulo de rotación muy pequeño mediante un corte a través de la esfera paralela al plano xy y muy cerca del polo norte. El círculo definido por este corte será muy pequeño, correspondiente al pequeño ángulo de rotación. A medida que los ángulos de rotación se hacen más grandes, el corte se mueve hacia el sur y los círculos se hacen más grandes hasta que se alcanza el ecuador de la esfera, que corresponderá a un ángulo de rotación de 180 grados. Continuando hacia el sur, los radios de los círculos ahora se vuelven más pequeños (correspondiente al valor absoluto del ángulo de rotación considerado como un número negativo). Finalmente, a medida que se alcanza el polo sur, los círculos se encogen una vez más hasta la rotación de identidad, que también se especifica como el punto en el polo sur. Observe que esta visualización puede ver una serie de características de tales rotaciones y sus representaciones.
El espacio de rotaciones es continuo, cada rotación tiene una vecindad de rotaciones que son casi iguales, y esta vecindad se vuelve plana a medida que la vecindad se contrae.
Alias
Además, cada rotación está representada en realidad por dos puntos antípodas en la esfera, que están en los extremos opuestos de una línea que pasa por el centro de la esfera. Esto refleja el hecho de que cada rotación puede representarse como una rotación alrededor de algún eje o, de manera equivalente, como una rotación negativa alrededor de un eje que apunta en la dirección opuesta (la denominada doble cobertura ). La "latitud" de un círculo que representa un ángulo de rotación particular será la mitad del ángulo representado por esa rotación, ya que a medida que el punto se mueve del polo norte al sur, la latitud varía de cero a 180 grados, mientras que el ángulo de rotación varía de 0 a 360 grados . (la "longitud" de un punto entonces representa un eje de rotación particular.) Tenga en cuenta, sin embargo, que este conjunto de rotaciones no está cerrado por composición.
Dos rotaciones sucesivas con ejes en el plano xy no necesariamente darán una rotación cuyo eje se encuentra en el plano xy y, por lo tanto, no puede representarse como un punto en la esfera. Este no será el caso con una rotación general en 3 espacios, que forman un conjunto cerrado bajo composición.
Esta visualización se puede extender a una rotación general en un espacio tridimensional. La rotación de identidad es un punto, y un pequeño ángulo de rotación alrededor de algún eje se puede representar como un punto en una esfera con un pequeño radio. A medida que aumenta el ángulo de rotación, la esfera crece, hasta que el ángulo de rotación alcanza los 180 grados, momento en el que la esfera comienza a encogerse, convirtiéndose en un punto a medida que el ángulo se acerca a los 360 grados (o cero grados desde la dirección negativa). Este conjunto de esferas en expansión y contracción representa una hiperesfera en un espacio de cuatro dimensiones (una esfera de tres).
Al igual que en el ejemplo más simple anterior, cada rotación representada como un punto en la hiperesfera se corresponde con su punto antípoda en esa hiperesfera. La "latitud" en la hiperesfera será la mitad del ángulo de rotación correspondiente, y la vecindad de cualquier punto se volverá "más plana" (es decir, estará representada por un espacio euclidiano de puntos en 3D) a medida que la vecindad se contraiga.
Este comportamiento se corresponde con el conjunto de cuaterniones unitarios: un cuaternión general representa un punto en un espacio de cuatro dimensiones, pero restringirlo para que tenga una magnitud unitaria produce un espacio tridimensional equivalente a la superficie de una hiperesfera. La magnitud del cuaternión unitario será la unidad, correspondiente a una hiperesfera de radio unitario.
La parte vectorial de un cuaternión unitario representa el radio de la 2-esfera correspondiente al eje de rotación, y su magnitud es el seno de la mitad del ángulo de rotación. Cada rotación está representada por dos cuaterniones unitarios de signo opuesto y, como en el espacio de rotaciones en tres dimensiones, el producto del cuaternión de dos cuaterniones unitarios producirá un cuaternión unitario. Además, el espacio de los cuaterniones unitarios es "plano" en cualquier vecindad infinitesimal de un cuaternión unitario dado.
Parametrizaciones
Podemos parametrizar el espacio de rotaciones de varias formas, pero siempre aparecerán degeneraciones. Por ejemplo, si usamos tres ángulos (ángulos de Euler ), dicha parametrización se degenera en algunos puntos de la hiperesfera, lo que lleva al problema del bloqueo del cardán . Podemos evitar esto usando cuatro coordenadas euclidianas w , x , y , z , con w 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1. El punto ( w , x , y , z ) representa una rotación alrededor del eje dirigido por el vector ( x , y , z ) por un ángulo
Este problema es similar a parametrizar la superficie bidimensional de una esfera con dos coordenadas, como latitud y longitud. La latitud y la longitud se comportan mal ( degeneran ) en los polos norte y sur, aunque los polos no son intrínsecamente diferentes de cualquier otro punto de la esfera. En los polos (latitudes + 90 ° y -90 °), la longitud pierde sentido. Se puede demostrar que ningún sistema de coordenadas de dos parámetros puede evitar tal degeneración.
Los posibles candidatos a parametrizaciones incluyen:
- Ángulos de Euler (θ, φ, ψ), que representan un producto de rotaciones sobre los ejes x , y y z ;
- Ángulos de Tait-Bryan (θ, φ, ψ), que representan un producto de rotaciones sobre los ejes x , y y z ;
- Par de ángulos de eje ( n , θ) de un vector unitario que representa un eje y un ángulo de rotación alrededor de él;
- Un cuaternión q de longitud 1 (cf. Versor , cuaterniones y rotación espacial , 3 esferas ), cuyos componentes también se denominan parámetros de Euler-Rodrigues ;
- una matriz de simetría sesgada de 3 × 3 , mediante exponenciación; las matrices asimétricas de 3 × 3 son el álgebra de Lie SO (3), y este es el mapa exponencial en la teoría de Lie ;
- Parámetros racionales de Cayley, basados en la transformada de Cayley , utilizables en todas las características;
- Transformaciones de Moebius ,actuando sobre la esfera de Riemann .
Problemas de las parametrizaciones
Hay problemas al usar estos como algo más que gráficos locales, que tienen que ver con su naturaleza de valores múltiples y singularidades. Es decir, hay que tener cuidado sobre todo de trabajar solo con difeomorfismos en la definición de gráfico . Los problemas de este tipo son inevitables, ya que SO (3) es difeomórfico al espacio proyectivo real P 3 ( R ), que es un cociente de S 3 al identificar puntos antípodas, y los gráficos intentan modelar una variedad usando R 3 .
Esto explica por qué, por ejemplo, los ángulos de Euler parecen dar una variable en el 3- toro y los cuaterniones unitarios en una 3-esfera . La singularidad de la representación por ángulos de Euler se rompe en algunos puntos (cf. bloqueo de cardán ), mientras que la representación del cuaternión es siempre una doble cubierta , con q y - q dan la misma rotación.
Si usamos una matriz de simetría sesgada, cada matriz de simetría sesgada de 3 × 3 está determinada por 3 parámetros, por lo que, a primera vista, el espacio de parámetros es R 3 . Exponenciar dicha matriz da como resultado una matriz ortogonal de 3 × 3 del determinante 1; en otras palabras, una matriz de rotación, pero este es un mapa de muchos a uno. Tenga en cuenta que no es un mapa de cobertura ; si bien es un homeomorfismo local cerca del origen, no es un mapa de cobertura en rotaciones de 180 grados. Es posible restringir estas matrices a una bola alrededor del origen en R 3 para que las rotaciones no superen los 180 grados, y esto será uno a uno, excepto para las rotaciones de 180 grados, que corresponden al límite S 2 , y estos identifican puntos antípodas: este es el lugar de corte . La bola 3 con esta identificación del límite es P 3 ( R ). Una situación similar es válida para aplicar una transformada de Cayley a la matriz de simetría asimétrica.
El ángulo del eje da parámetros en S 2 × S 1 ; si reemplazamos el vector unitario por el eje de rotación real, de modo que n y - n dan la misma línea del eje, el conjunto de ejes se convierte en P 2 ( R ), el plano proyectivo real . Pero dado que las rotaciones alrededor de ny - n están parametrizadas por valores opuestos de θ, el resultado es un paquete S 1 sobre P 2 ( R ), que resulta ser P 3 ( R ).
Transformaciones lineales fraccionales utilizan cuatro parámetros complejos, un , b , c , y d , con la condición de que ad - bc no es cero. Dado que multiplicar los cuatro parámetros por el mismo número complejo no cambia el parámetro, podemos insistir en que ad - bc = 1. Esto sugiere escribir ( a , b , c , d ) como una matriz compleja de 2 × 2 del determinante 1, es decir, como un elemento del grupo lineal especial SL (2, C ). Pero no todas estas matrices producen rotaciones: también se incluyen mapas conformes en S 2 . Para obtener solo rotaciones, insistimos en que d es el conjugado complejo de a , y c es el negativo del conjugado complejo de b . Entonces tenemos dos números complejos, una y B , sujetos a | a | 2 + | b | 2 = 1. Si escribimos a + bj , este es un cuaternión de unidad de longitud.
En última instancia, dado que R 3 no es P 3 ( R ), habrá un problema con cada uno de estos enfoques. En algunos casos, debemos recordar que ciertos valores de parámetros dan como resultado la misma rotación, y para eliminar este problema, se deben establecer límites, pero luego una ruta a través de esta región en R 3 debe saltar repentinamente a una región diferente cuando cruza una frontera. El bloqueo del cardán es un problema cuando la derivada del mapa no es de rango completo, lo que ocurre con los ángulos de Euler y los ángulos de Tait-Bryan, pero no con las otras opciones. La representación del cuaternión no tiene ninguno de estos problemas (es un mapeo de dos a uno en todas partes), pero tiene 4 parámetros con una condición (unidad de longitud), lo que a veces hace que sea más difícil ver los tres grados de libertad disponibles.
Aplicaciones
Un área en la que estas consideraciones, de alguna forma, se vuelven inevitables, es la cinemática de un cuerpo rígido . Se puede tomar como definición la idea de una curva en el grupo euclidiano E (3) del espacio euclidiano tridimensional , partiendo de la identidad (posición inicial). El subgrupo de traducción T de E (3) es un subgrupo normal , con cociente SO (3) si miramos el subgrupo E + (3) de isometrías directas solamente (lo cual es razonable en cinemática). La parte traslacional se puede desacoplar de la parte rotacional en la cinemática newtoniana estándar considerando el movimiento del centro de masa y las rotaciones del cuerpo rígido alrededor del centro de masa. Por lo tanto, cualquier movimiento de cuerpo rígido conduce directamente a SO (3), cuando factorizamos la parte traslacional.
Estas identificaciones ilustran que SO (3) está conectado pero no simplemente conectado . En cuanto a lo último, en la bola con puntos de superficie antípoda identificados, considere la trayectoria que va desde el "polo norte" directamente desde el centro hasta el polo sur. Este es un circuito cerrado, ya que se identifican el polo norte y el polo sur. Este bucle no se puede reducir a un punto, ya que no importa cómo se deforme el bucle, el punto inicial y final deben permanecer antípodas, o de lo contrario el bucle se "abrirá". En términos de rotaciones, este bucle representa una secuencia continua de rotaciones sobre el eje z que comienza y termina en la rotación de identidad (es decir, una serie de rotaciones a través de un ángulo φ donde φ va de 0 a 2π).
Sorprendentemente, si recorre el camino dos veces, es decir, desde el polo norte hasta el polo sur y de regreso al polo norte de modo que φ vaya de 0 a 4π, obtendrá un circuito cerrado que se puede reducir a un solo punto: primer movimiento los caminos continuamente a la superficie de la bola, todavía conectando el polo norte con el polo sur dos veces. La segunda mitad del camino puede luego reflejarse en el lado antípoda sin cambiar el camino en absoluto. Ahora tenemos un circuito cerrado ordinario en la superficie de la bola, que conecta el polo norte consigo mismo a lo largo de un gran círculo. Este círculo se puede reducir al polo norte sin problemas. El truco del plato balinés y trucos similares lo demuestran prácticamente.
El mismo argumento se puede realizar en general, y muestra que el grupo fundamental de SO (3) es un grupo cíclico de orden 2. En aplicaciones físicas, la no trivialidad del grupo fundamental permite la existencia de objetos conocidos como espinores , y es una herramienta importante en el desarrollo del teorema de estadística de espín .
La cobertura universal de SO (3) es un grupo de Lie llamado Spin (3) . El grupo Spin (3) es isomorfo al grupo unitario especial SU (2); también es difeomórfico a la unidad 3-esfera S 3 y puede entenderse como el grupo de cuaterniones unitarios (es decir, aquellos con valor absoluto 1). La conexión entre cuaterniones y rotaciones, comúnmente explotada en gráficos por computadora , se explica en cuaterniones y rotaciones espaciales . El mapa de S 3 a SO (3) que identifica los puntos antípodas de S 3 es un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie, con kernel {± 1}. Topológicamente, este mapa es un mapa de cobertura de dos a uno .
Ver también
- Atlas (topología)
- Rotación (matemáticas)
- Formalismos de rotación en tres dimensiones
Referencias
- ^ Jacobson (2009), p. 34, ej. 14.