Teoría de la homotopía racional

En matemáticas y específicamente en topología , la teoría de la homotopía racional es una versión simplificada de la teoría de la homotopía para espacios topológicos , en la que se ignora toda torsión en los grupos de homotopía . Fue fundado por Dennis Sullivan ( 1977 ) y Daniel Quillen ( 1969 ). Esta simplificación de la teoría de la homotopía facilita mucho los cálculos.

Los tipos de homotopía racional de espacios simplemente conectados se pueden identificar con (clases de isomorfismo de) ciertos objetos algebraicos llamados modelos mínimos de Sullivan, que son álgebras graduadas diferenciales conmutativas sobre los números racionales que satisfacen ciertas condiciones.

Una aplicación geométrica fue el teorema de Sullivan y Micheline Vigué-Poirrier (1976): cada variedad X de Riemann cerrada simplemente conectada cuyo anillo de cohomología racional no es generado por un elemento tiene infinitas geodésicas cerradas geométricamente distintas . ^[1] La prueba utilizó la teoría de la homotopía racional para mostrar que los números de Betti del espacio de bucle libre de X no están acotados. Luego, el teorema se deriva de un resultado de 1969 de Detlef Gromoll y Wolfgang Meyer.

Un mapa continuo de espacios topológicos simplemente conectados se denomina equivalencia de homotopía racional si induce un isomorfismo en los grupos de homotopía tensorizados con los números racionales . De manera equivalente: f es una equivalencia de homotopía racional si y solo si induce un isomorfismo en grupos de homología singulares con coeficientes racionales. ^[2] La categoría de homotopía racional (de espacios simplemente conectados) se define como la localización de la categoría $f\dos puntos X\a Y$ $\mathbb {Q}$ de espacios simplemente conexos con respecto a las equivalencias de homotopía racional. El objetivo de la teoría de la homotopía racional es comprender esta categoría. Es decir, si uno declara que todas las equivalencias homotópicas racionales son isomorfismos, ¿cuánta información queda?

Un resultado básico es que la categoría de homotopía racional es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de homotopía de espacios topológicos, la subcategoría de espacios racionales. Por definición, un espacio racional es un complejo CW simplemente conectado cuyos grupos de homotopía son espacios vectoriales sobre los números racionales. Para cualquier complejo CW simplemente conectado , existe un espacio racional , único hasta la equivalencia de homotopía , con un mapa que induce un isomorfismo en los grupos de homotopía tensorizados con los números racionales. ^[3] El espacio se llama la racionalización de $X$ $X_{\mathbb {Q} }$ $X\to X_{\mathbb {Q} }$ $X_{\mathbb {Q} }$ $X$ . Este es un caso especial de la construcción de Sullivan de la localización de un espacio en un conjunto dado de números primos .