En matemáticas y específicamente en topología , la teoría de la homotopía racional es una versión simplificada de la teoría de la homotopía para espacios topológicos , en la que se ignora toda torsión en los grupos de homotopía . Fue fundada por Dennis Sullivan ( 1977 ) y Daniel Quillen ( 1969 ). Esta simplificación de la teoría de la homotopía facilita mucho los cálculos.
Los tipos de homotopía racional de espacios simplemente conectados se pueden identificar con (clases de isomorfismo de) ciertos objetos algebraicos llamados modelos mínimos de Sullivan, que son álgebras graduales diferenciales conmutativas sobre los números racionales que satisfacen ciertas condiciones.
Una aplicación geométrica fue el teorema de Sullivan y Micheline Vigué-Poirrier (1976): toda variedad X de Riemannian cerrada simplemente conectada cuyo anillo de cohomología racional no es generado por un elemento tiene infinitas geodésicas cerradas geométricamente distintas . [1] La demostración utilizó la teoría de la homotopía racional para demostrar que los números de Betti del espacio de bucle libre de X son ilimitados. El teorema se deriva de un resultado de 1969 de Detlef Gromoll y Wolfgang Meyer.
Espacios racionales
Un mapa continuo de espacios topológicos simplemente conectados se denomina equivalencia de homotopía racional si induce un isomorfismo en grupos de homotopía censurados con los números racionales . De manera equivalente: f es una equivalencia de homotopía racional si y solo si induce un isomorfismo en grupos de homología singulares con coeficientes racionales. [2] La categoría de homotopía racional (de espacios simplemente conectados) se define como la localización de la categoría de espacios simplemente conectados con respecto a las equivalencias de homotopía racionales. El objetivo de la teoría de la homotopía racional es comprender esta categoría. Es decir, si uno declara que todas las equivalencias de homotopía racionales son isomorfismos, ¿cuánta información queda?
Un resultado básico es que la categoría de homotopía racional es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de homotopía de espacios topológicos, la subcategoría de espacios racionales. Por definición, un espacio racional es un complejo CW simplemente conectado , todos cuyos grupos de homotopía son espacios vectoriales sobre los números racionales. Para cualquier complejo CW simplemente conectado, hay un espacio racional , único hasta la equivalencia de homotopía , con un mapaque induce un isomorfismo en grupos de homotopía censurados con los números racionales. [3] El espaciose llama la racionalización de. Este es un caso especial de la construcción de Sullivan de la localización de un espacio en un conjunto dado de números primos .
Se obtienen definiciones equivalentes utilizando homología en lugar de grupos de homotopía. Es decir, un complejo CW simplemente conectado es un espacio racional si y solo si sus grupos de homología son espacios vectoriales racionales para todos . [4] La racionalización de un complejo CW simplemente conectado es el espacio racional único (hasta la equivalencia de homotopía) con un mapa que induce un isomorfismo en la homología racional. Así uno tiene
y
para todos .
Estos resultados para espacios simplemente conectados se extienden con pocos cambios a espacios nilpotentes (espacios cuyo grupo fundamental es nilpotente y actúa nilpotentemente sobre los grupos de homotopía superiores).
Calcular los grupos de esferas de homotopía es un problema central abierto en la teoría de la homotopía. Sin embargo, los grupos de esferas de homotopía racional fueron calculados por Jean-Pierre Serre en 1951:
y
Esto sugiere la posibilidad de describir toda la categoría de homotopía racional de una manera prácticamente computable. La teoría de la homotopía racional ha logrado gran parte de ese objetivo.
En la teoría de la homotopía, las esferas y los espacios de Eilenberg-MacLane son dos tipos muy diferentes de espacios básicos a partir de los cuales se pueden construir todos los espacios. En la teoría de la homotopía racional, estos dos tipos de espacios se acercan mucho más. En particular, el cálculo de Serre implica que es el espacio Eilenberg – MacLane . De manera más general, sea X cualquier espacio cuyo anillo de cohomología racional sea un álgebra conmutativa graduada libre (un producto tensorial de un anillo polinomial en generadores de grado par y un álgebra exterior en generadores de grado impar). Entonces la racionalizaciónes un producto de los espacios Eilenberg – MacLane. La hipótesis sobre el anillo de cohomología se aplica a cualquier grupo de Lie compacto (o más generalmente, a cualquier espacio de bucle ). [5] Por ejemplo, para el grupo unitario SU ( n ) ,
Anillo de cohomología y álgebra de Lie de homotopía
Hay dos invariantes básicos de un espacio X en la categoría de homotopía racional: el anillo de cohomología racional y el álgebra de Lie de homotopía . La cohomología racional es un álgebra conmutativa graduada sobre, y los grupos de homotopía forman un álgebra de Lie graduada a través del producto de Whitehead . (Más precisamente, escribiendopara el espacio de bucle de X , tenemos que es un álgebra de mentira graduada sobre . En vista del isomorfismo, esto solo equivale a un cambio de la calificación en 1.) Por ejemplo, el teorema de Serre anterior dice que es el álgebra de Lie libre graduada en un generador de grados.
Otra forma de pensar en el álgebra de Lie de homotopía es que la homología del espacio de bucle de X es el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de homotopía: [6]
Por el contrario, se puede reconstruir el álgebra de Lie de homotopía racional a partir de la homología del espacio de bucles como subespacio de elementos primitivos en el álgebra de Hopf. . [7]
Un resultado central de la teoría es que la categoría de homotopía racional puede describirse de una manera puramente algebraica; de hecho, de dos formas algebraicas diferentes. En primer lugar, Quillen demostró que la categoría de homotopía racional es equivalente a la categoría de homotopía de las álgebras de Lie diferenciadas y graduadas conectadas . (El álgebra de Lie graduada asociadaes el álgebra de Lie homotopy). Segundo, Quillen mostró que la categoría racional homotopy es equivalente a la categoría homotopy de 1 conectado-diferencial graduada cocommutative coalgebras . [8] (La coalgebra asociada es la homología racional de X como coalgebra; el espacio vectorial dual es el anillo de cohomología racional). Estas equivalencias estuvieron entre las primeras aplicaciones de la teoría de categorías de modelos de Quillen .
En particular, la segunda descripción implica que para cualquier grado-conmutativo -álgebra A de la forma
con cada espacio vectorial de dimensión finita, hay un espacio simplemente conexo X cuyo anillo cohomology racional es isomorfo a A . (Por el contrario, hay muchas restricciones, que no se comprenden completamente, sobre los anillos de cohomología integral o mod p de los espacios topológicos, para los números primos p .) En el mismo espíritu, Sullivan demostró que cualquier grado-conmutativo-álgebra con que satisface la dualidad de Poincaré es el anillo de cohomología de algunos simplemente conectado suave colector cerrado, excepto en dimensión 4 una ; en ese caso, también es necesario asumir que el emparejamiento de intersección en es de la forma encima . [9]
Uno puede preguntarse cómo pasar entre las dos descripciones algebraicas de la categoría de homotopía racional. En resumen, un álgebra de Lie determina un álgebra conmutativa graduada mediante la cohomología del álgebra de Lie , y un álgebra conmutativa aumentada determina un álgebra de Lie graduada mediante la cohomología de André-Quillen reducida . De manera más general, existen versiones de estas construcciones para álgebras graduadas diferenciales. Esta dualidad entre álgebras conmutativas y álgebras de Lie es una versión de la dualidad Koszul .
Álgebras de Sullivan
Para los espacios cuya homología racional en cada grado tiene dimensión finita, Sullivan clasificó todos los tipos de homotopía racional en términos de objetos algebraicos más simples, álgebras de Sullivan. Por definición, un álgebra de Sullivan es un álgebra graduada diferencial conmutativa sobre los racionales, cuya álgebra subyacente es el álgebra graduada conmutativa libre en un espacio vectorial graduado
satisfaciendo la siguiente "condición de nilpotencia" en su diferencial d : el espacio V es la unión de una serie creciente de subespacios graduados,, dónde en y está contenido en . En el contexto de las álgebras graduadas diferenciales A , "conmutativa" se usa para significar graduada-conmutativa; es decir,
por un eny b en.
El álgebra de Sullivan se llama mínima si la imagen de d está contenida en, dónde es la suma directa de los subespacios de grados positivos de .
Un modelo de Sullivan para un álgebra graduada diferencial conmutativa A es un álgebra de Sullivan con un homomorfismo que induce un isomorfismo en cohomología. Si, entonces A tiene un modelo mínimo de Sullivan que es único hasta el isomorfismo. (Advertencia: un álgebra de Sullivan mínima con el mismo álgebra de cohomología que A no necesita ser un modelo de Sullivan mínimo para A : también es necesario que el isomorfismo de la cohomología sea inducido por un homomorfismo de álgebras graduales diferenciales. Hay ejemplos de modelos mínimos de Sullivan con álgebras de cohomología isomórfica).
El modelo mínimo de Sullivan de un espacio topológico
Para cualquier espacio topológico X , Sullivan definió un álgebra graduada diferencial conmutativa, llamado álgebra de formas diferenciales polinomiales en X con coeficientes racionales. Un elemento de esta álgebra consiste en (aproximadamente) una forma polinomial en cada simplex singular de X , compatible con mapas faciales y degenerativos. Esta álgebra suele ser muy grande (dimensión incontable) pero puede ser reemplazada por una álgebra mucho más pequeña. Más precisamente, cualquier álgebra graduada diferencial con el mismo modelo mínimo de Sullivan quese llama un modelo para el espacio X . Cuando X está conectado simplemente, un modelo de este tipo determina el tipo homotopy racional de X .
Para cualquier complejo X de CW simplemente conectado con todos los grupos de homología racional de dimensión finita, hay un modelo de Sullivan mínimo por , que tiene la propiedad de que y todo el tienen dimensión finita. Esto se llama el modelo mínimo de Sullivan de X ; es único hasta el isomorfismo. [10] Esto da una equivalencia entre tipos de homotopía racionales de tales espacios y tales álgebras, con las propiedades:
- La cohomología racional del espacio es la cohomología de su modelo mínimo de Sullivan.
- Los espacios de indecomposables en V son los duales de los grupos de homotopía racional del espacio X .
- El producto de Whitehead sobre la homotopía racional es el dual de la "parte cuadrática" del diferencial d .
- Dos espacios tienen el mismo tipo de homotopía racional si y solo si sus álgebras de Sullivan mínimas son isomórficas.
- Hay un espacio X simplemente conectado correspondiente a cada álgebra de Sullivan posible con y todo el de dimensión finita.
Cuando X es una variedad suave, el álgebra diferencial de formas diferenciales suaves en X (el complejo de De Rham ) es casi un modelo para X ; más precisamente, es el producto tensorial de un modelo para X con los reales y, por lo tanto, determina el tipo de homotopía real . Se puede ir más allá y definir el tipo de homotopía completa p de X para un número primo p . El "cuadrado aritmético" de Sullivan reduce muchos problemas en la teoría de la homotopía a la combinación de la teoría de la homotopía racional y completa p , para todos los números primos p . [11]
La construcción de modelos mínimos de Sullivan para espacios simplemente conectados se extiende a espacios nilpotentes. Para grupos fundamentales más generales, las cosas se complican más; Por ejemplo, los grupos de homotopía racionales de un complejo CW finito (como la cuña) pueden ser espacios vectoriales de dimensión infinita.
Espacios formales
Un álgebra A graduada diferencial conmutativa , de nuevo con, se llama formal si A tiene un modelo con diferencial de fuga. Esto equivale a requerir que el álgebra de cohomología de A (visto como un álgebra diferencial con diferencial trivial) sea un modelo para A (aunque no tiene que ser el modelo mínimo ). Así, el tipo de homotopía racional de un espacio formal está completamente determinado por su anillo de cohomología.
Ejemplos de espacios formales incluyen esferas, H-espacios , espacios simétricos y compactos colectores Kähler . [12] La formalidad se mantiene en los productos y las sumas de cuña . Para los múltiples, la formalidad se conserva mediante sumas conectadas .
Por otro lado, los nilmanifolds cerrados casi nunca son formales: si M es un nilmanifold formal, entonces M debe ser el toro de alguna dimensión. [13] El ejemplo más simple de una variedad nil no formal es la variedad de Heisenberg , el cociente del grupo de Heisenberg de matrices triangulares superiores reales de 3 × 3 con unos en la diagonal por su subgrupo de matrices con coeficientes integrales. Las variedades simplécticas cerradas no necesitan ser formales: el ejemplo más simple es la variedad Kodaira-Thurston (el producto de la variedad de Heisenberg con un círculo). También hay ejemplos de variedades cerradas simplécticas no formales, simplemente conectadas. [14]
Los productos Massey a menudo pueden detectar la no formalidad . De hecho, si un álgebra graduada diferencial A es formal, entonces todos los productos de Massey (de orden superior) deben desaparecer. Lo contrario no es cierto: formalidad significa, en términos generales, la desaparición "uniforme" de todos los productos Massey. El complemento de los anillos borromeos es un espacio no formal: admite un producto triple Massey no trivial.
Ejemplos de
- Si X es una esfera de dimensión impar, su modelo Sullivan mínimo tiene un generador a de grado con , y una base de los elementos 1, a .
- Si X es una esfera de dimensión par, Su modelo mínimo Sullivan tiene dos generadores de una y b de grados y , con , , y una base de elementos , , , donde la flecha indica la acción de d .
- Si X es el espacio proyectivo complejo con , Su modelo mínimo Sullivan tiene dos generadores u y x de 2 grados y, con y . Tiene una base de elementos, , .
- Suponga que V tiene 4 elementos a , b , x , y de grados 2, 3, 3 y 4 con diferenciales, , , . Entonces este álgebra es un álgebra de Sullivan mínima que no es formal. El álgebra cohomology tiene componentes no triviales solamente en dimensión 2, 3, 6, generadas, respectivamente, por una , b , y. Cualquier homomorfismo de V a su álgebra de cohomología mapearía y a 0 yx a un múltiplo de b ; para que se mapearaa 0. Por tanto, V no puede ser un modelo para su álgebra de cohomología. Los espacios topológicos correspondientes son dos espacios con anillos de cohomología racionales isomorfos pero diferentes tipos de homotopía racional. Darse cuenta de está en el producto Massey .
Espacios elípticos e hiperbólicos
La teoría de la homotopía racional reveló una dicotomía inesperada entre los complejos CW finitos: o los grupos de homotopía racional son cero en grados suficientemente altos, o crecen exponencialmente . Es decir, sea X un espacio simplemente conectado tal que es una dimensión finita -espacio vectorial (por ejemplo, un complejo CW finito tiene esta propiedad). Defina X como racionalmente elíptico si es también una dimensión finita -espacio vectorial, y por lo demás racionalmente hiperbólico . Entonces Félix y Halperin demostraron: si X es racionalmente hiperbólico, entonces hay un número realy un entero N tal que
para todos . [15]
Por ejemplo, las esferas, los espacios proyectivos complejos y los espacios homogéneos para grupos de Lie compactos son elípticos. Por otro lado, "la mayoría" de los complejos finitos son hiperbólicos. Por ejemplo:
- El anillo de cohomología racional de un espacio elíptico satisface la dualidad de Poincaré. [dieciséis]
- Si X es un espacio elíptico cuyo grupo de cohomología racional superior distinto de cero está en grado n , entonces cada número de Betties como máximo el coeficiente binomial (con igualdad para el toro n- dimensional). [17]
- La característica de Euler de un espacio elíptico X no es negativa. Si la característica de Euler es positiva, entonces todos los números Betti imparesson cero, y el anillo de cohomología racional de X es un anillo de intersección completo . [18]
Hay muchas otras restricciones sobre el anillo de cohomología racional de un espacio elíptico. [19]
La conjetura de Bott predice que toda variedad Riemanniana cerrada simplemente conectada con curvatura seccional no negativa debería ser racionalmente elíptica. Se sabe muy poco acerca de la conjetura, aunque es válida para todos los ejemplos conocidos de tales variedades. [20]
La conjetura de Halperin afirma que la secuencia espectral racional de Serre de una secuencia de fibras de espacios simplemente conectados con fibra racionalmente elíptica de característica de Euler distinta de cero desaparece en la segunda página.
Un complejo finito X simplemente conectado es racionalmente elíptico si y solo si la homología racional del espacio de buclescrece a lo sumo polinomialmente. De manera más general, X se llama integralmente elíptica si la homología mod p decrece a lo sumo polinomialmente, para cada número primo p . Todas las variedades de Riemann conocidas con curvatura seccional no negativa son de hecho integralmente elípticas. [21]
Ver también
- Teorema de Mandell : análogo de la teoría de la homotopía racional en entornos p-ádicos
- Teoría de la homotopía cromática
Notas
- ^ Félix, Oprea y Tanré (2008), Teorema 5.13.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 8.6.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 9.7.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 9.3.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Corolario de la Proposición 16.7.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 21.5 (i).
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 21.5 (iii).
- ↑ Quillen (1969), Corolario II.6.2.
- ^ Sullivan (1977), Teorema 13.2.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Proposición 12.10.
- ^ May y Ponto (2012), sección 13.1.
- ^ Félix, Oprea y Tanré (2008), Teorema 4.43.
- ^ Félix, Oprea y Tanré (2008), Observación 3.21.
- ^ Félix, Oprea y Tanré (2008), Teorema 8.29.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 33.2.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Proposición 38.3.
- ^ Pavlov (2002), Teorema 1.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), Proposición 32.10.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (2001), sección 32.
- ^ Félix, Oprea y Tanré (2008), Conjetura 6.43.
- ^ Félix, Halperin y Thomas (1993), sección 3.
Referencias
- Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (1993), "Espacios elípticos II", L'Enseignement Mathématique , doi : 10.5169 / seals-60412 , MR 1225255
- Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2001), Teoría de la homotopía racional , Nueva York: Springer Nature , doi : 10.1007 / 978-1-4613-0105-9 , ISBN 0-387-95068-0, MR 1802847
- Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2015), Teoría de la homotopía racional II , Singapur: World Scientific , doi : 10.1142 / 9473 , ISBN 978-981-4651-42-4, Señor 3379890
- Félix, Yves; Oprea, John; Tanré, Daniel (2008), Modelos algebraicos en geometría , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-920651-3, MR 2403898
- Griffiths, Phillip A .; Morgan, John W. (1981), Teoría de la homotopía racional y formas diferenciales , Boston: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3041-4, MR 0641551
- Hess, Kathryn (1999), "Una historia de la teoría de la homotopía racional", en James, Ioan M. (ed.), History of Topology , Amsterdam: North-Holland, págs. 757–796, doi : 10.1016 / B978-044482375 -5 / 50028-6 , ISBN 0-444-82375-1, MR 1721122
- Hess, Kathryn (2007), "Teoría racional de la homotopía: una breve introducción" (PDF) , Interacciones entre la teoría de la homotopía y el álgebra , Matemáticas contemporáneas, 436 , American Mathematical Society , págs. 175-202, arXiv : math / 0604626 , doi : 10.1090 / conm / 436/08409 , ISBN 9780821838143, MR 2355774
- Mayo, J. Peter ; Ponto, Kathleen (2012), Topología algebraica más concisa. Categorías de localización, finalización y modelo (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51178-8, MR 2884233
- Pavlov, Aleksandr V. (2002), "Estimaciones para los números Betti de espacios racionalmente elípticos", Siberian Mathematical Journal , 43 (6): 1080-1085, doi : 10.1023 / A: 1021173418920 , MR 1946233
- Quillen, Daniel (1969), "Teoría de la homotopía racional", Annals of Mathematics , 90 (2): 205-295, doi : 10.2307 / 1970725 , JSTOR 1970725 , MR 0258031
- Sullivan, Dennis (1977), "Cálculos infinitesimales en topología" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269–331, doi : 10.1007 / bf02684341 , hdl : 10338.dmlcz / 128041 , MR 0646078
- Sullivan, Dennis (2001) [1994], "Teoría de la homotopía racional" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Sullivan, Dennis; Vigué-Poirrier, Micheline (1976), "La teoría de la homología del problema geodésico cerrado", Journal of Differential Geometry , 11 (4): 633–644, doi : 10.4310 / jdg / 1214433729 , MR 0455028