En matemáticas , más particularmente en el campo de la geometría algebraica , un esquema tiene singularidades racionales , si es normal , de tipo finito sobre un campo de característica cero, y existe un mapa biracional adecuado
de un esquema regular tal que las imágenes directas superiores de aplicado a son triviales. Es decir,
- por .
Si existe una resolución de este tipo, se deduce que todas las resoluciones comparten esta propiedad, ya que dos resoluciones de singularidades cualesquiera pueden estar dominadas por una tercera.
Para las superficies, las singularidades racionales fueron definidas por ( Artin 1966 ).
Formulaciones
Alternativamente, se puede decir que tiene singularidades racionales si y solo si el mapa natural en la categoría derivada
es un cuasi-isomorfismo . Tenga en cuenta que esto incluye la declaración de que y de ahí la suposición de que es normal.
Hay nociones relacionadas en positivo y se mezcla característica de
- pseudo-racional
y
- F-racional
Las singularidades racionales son, en particular, Cohen-Macaulay , normal y Du Bois . No es necesario que sean Gorenstein o incluso Q-Gorenstein .
Las singularidades logarítmicas terminales son racionales ( Kollár, Mori, 1998, Teorema 5.22. )
Ejemplos de
Un ejemplo de una singularidad racional es el punto singular del cono cuádrico
( Artin 1966 ) demostró que los puntos dobles racionales de las superficies algebraicas son las singularidades de Du Val .
Referencias
- Artin, Michael (1966), "Sobre singularidades racionales aisladas de superficies", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 88 (1): 129-136, doi : 10.2307 / 2373050 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373050 , Señor 0199191
- Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge Tracts in Mathematics, 134 , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959
- Lipman, Joseph (1969), "Singularidades racionales, con aplicaciones a superficies algebraicas y factorización única" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 195-279, ISSN 1618-1913 , MR 0276239