En matemáticas , una serie zeta racional es la representación de un número real arbitrario en términos de una serie que consta de números racionales y la función zeta de Riemann o la función zeta de Hurwitz . Específicamente, dado un número real x , la serie zeta racional para x viene dada por
donde q n es un número racional, el valor m se mantiene fijo y ζ ( s , m ) es la función zeta de Hurwitz. No es difícil demostrar que cualquier número real x puede expandirse de esta manera.
Para entero m> 1 , uno tiene
Para m = 2 , varios números interesantes tienen una expresión simple como serie zeta racional:
y
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . Las series
sigue sumando la distribución de Gauss-Kuzmin . También hay series para π:
y
siendo notable por su rápida convergencia. Esta última serie se desprende de la identidad general
que a su vez se sigue de la función generadora de los números de Bernoulli
Adamchik y Srivastava dan una serie similar
Se pueden derivar varias relaciones adicionales de la serie de Taylor para la función poligamma en z = 1, que es
- .
Lo anterior converge para | z | <1. Un caso especial es
que es válido para | t | <2. Aquí, ψ es la función digamma y ψ ( m ) es la función poligamma. Se pueden derivar muchas series que involucran el coeficiente binomial :
donde ν es un número complejo. Lo anterior se deriva de la expansión de la serie de Hurwitz zeta.
tomado en y = −1. Se pueden obtener series similares mediante álgebra simple:
y
y
y
Para un número entero n ≥ 0, la serie
se puede escribir como la suma finita
Lo anterior se sigue de la relación recursiva simple S n + S n + 1 = ζ ( n + 2). A continuación, la serie
puede escribirse como
para el número entero n ≥ 1. Lo anterior se sigue de la identidad T n + T n + 1 = S n . Este proceso se puede aplicar de forma recursiva para obtener series finitas para expresiones generales de la forma
para enteros positivos m .
Se pueden obtener series similares explorando la función zeta de Hurwitz en valores medio enteros. Así, por ejemplo, uno tiene
Adamchik y Srivastava dan
y
dónde son los números de Bernoulli yson los números de Stirling del segundo tipo .
Otras constantes que tienen series zeta racionales notables son: