Decimal repetido

Representación decimal de un número cuyos dígitos son periódicos

La "fracción repetida" vuelve a dirigir aquí. No debe confundirse con fracción continua .

Un decimal periódico o decimal periódico es una representación decimal de un número cuyos dígitos son periódicos (repiten sus valores a intervalos regulares) y la parte repetida infinitamente no es cero . Se puede demostrar que un número es racional si y solo si su representación decimal es repetitiva o terminante (es decir, todos excepto un número finito de dígitos son cero). Por ejemplo, la representación decimal de 1 / 3 se convierte en periódica justo después del punto decimal , repitiendo el solo dígito "3" para siempre, es decir, 0.333 .... Un ejemplo más complicado es 3227/ 555 , cuyo decimal se vuelve periódico en el segundo dígito que sigue al punto decimal y luego repite la secuencia "144" para siempre, es decir, 5.8144144144 .... En la actualidad, no existe una notación o fraseo universalmente aceptadopara los decimales repetidos.

La secuencia de dígitos infinitamente repetida se llama repetición o repetición . Si la repetición es un cero, esta representación decimal se denomina decimal final en lugar de repetición, ya que los ceros se pueden omitir y el decimal termina antes de estos ceros. ^[1] representación de terminación decimal Cada puede escribirse como una fracción decimal , una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 (por ejemplo, 1,585 = 1,585 / 1 000 ); también se puede escribir como una relación de la forma k / 2 ⁿ 5 ^m (por ejemplo, 1.585 =317 / 2 ³ 5 ² ). Sin embargo,cadanúmero con una representación decimal final también tiene una segunda representación alternativa como un decimal periódico cuya repetición es el dígito9. Esto se obtiene disminuyendo el dígito final distinto de cero (más a la derecha) en uno y agregando una repetición de 9. 1.000 ... = 0.999 ... y1.585000 ... = 1.584999 ...son dos ejemplos de esto. (Este tipo de decimal periódico se puede obtener mediante división larga si se utiliza una forma modificada delalgoritmo de divisiónhabitual. ^[2] )

Cualquier número que no pueda expresarse como una razón de dos enteros se dice que es irracional . Su representación decimal no termina ni se repite infinitamente, sino que se extiende para siempre sin repetición regular. Ejemplos de números tan irracionales son la raíz cuadrada de 2 y π .

Fondo

Notación

Hay varias convenciones de notación para representar decimales repetidos. Ninguno de ellos es aceptado universalmente.

• En los Estados Unidos , Canadá , India , Francia , Alemania , Suiza , Chequia y Eslovaquia, la convención consiste en trazar una línea horizontal (un vinculum ) por encima de la repetición. (Consulte los ejemplos en la tabla siguiente, columna Vinculum).
• En el Reino Unido , Nueva Zelanda , Australia , India, Corea del Sur y China continental , la convención consiste en colocar puntos encima de los números más externos de la repetición. (Consulte los ejemplos en la tabla siguiente, columna Puntos).
• En partes de Europa , Vietnam y Rusia , la convención debe incluir la repetición entre paréntesis . (Consulte los ejemplos en la tabla siguiente, columna Paréntesis). Esto puede causar confusión con la notación de incertidumbre estándar .
• En España y algunos países de América Latina, la notación de arco sobre la repetición también se utiliza como alternativa al vinculum y la notación de puntos. (Vea los ejemplos en la tabla a continuación, columna Arco).
• De manera informal, los decimales repetidos a menudo se representan con puntos suspensivos (tres puntos, 0.333 ...), especialmente cuando las convenciones de notación anteriores se enseñan por primera vez en la escuela. Esta notación introduce incertidumbre en cuanto a qué dígitos deben repetirse e incluso si se está produciendo repetición, ya que estas elipses también se emplean para números irracionales ; π , por ejemplo, se puede representar como 3,14159 ....

Ejemplos de

Fracción	Vinculum	Puntos	Paréntesis	Arco	Elipsis
1 / 9	0, 1	${\displaystyle 0.{\dot {1}}}$	0. (1)	${\displaystyle 0.{\overset {\frown }{1}}}$	0,111 ...
1 / 3 = 3 / 9	0. 3	${\displaystyle 0.{\dot {3}}}$	0. (3)	${\displaystyle 0.{\overset {\frown }{3}}}$	0,333 ...
2 / 3 = 6 / 9	0. 6	${\displaystyle 0.{\dot {6}}}$	0. (6)	${\displaystyle 0.{\overset {\frown }{6}}}$	0,666 ...
9 / 11 = 81 / 99	0. 81	${\displaystyle 0.{\dot {8}}{\dot {1}}}$	0. (81)	${\displaystyle 0.{\overset {\frown }{81}}}$	0,8181 ...
7 / 12 = 525 / 900	0,58 3	${\displaystyle 0.58{\dot {3}}}$	0,58 (3)	${\displaystyle 0.58{\overset {\frown }{3}}}$	0,58 333 ...
1 / 7 = 142857 / 999,999 mil	0. 142857	${\displaystyle 0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}}$	0. (142857)	[3]	0.142857 142857 ...
1 / 81 = 12,345679 millones / 999999.999 mil	0. 012345679	${\displaystyle 0.{\dot {0}}1234567{\dot {9}}}$	0. (012345679)	[3]	0,012345679 012345679 ...
22 / 7 = 3,142854 millones / 999999	3. 142857	${\displaystyle 3.{\dot {1}}4285{\dot {7}}}$	3. (142857)	[3]	3.142857 142857 ...

En inglés, hay varias formas de leer decimales repetidos en voz alta. Por ejemplo, 1.2 34 se puede leer "un punto dos repitiendo tres cuatro", "un punto dos repitiendo tres cuatro", "un punto dos repitiendo tres cuatro", "un punto dos repitiendo tres cuatro" o "un punto dos hasta el infinito tres cuatro".

Secuencia de expansión y recurrencia decimal

Para convertir un número racional representado como una fracción en forma decimal, se puede usar la división larga . Por ejemplo, considere el número racional 5 / 74 :

  0,0 675 74) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

etc. Observe que en cada paso tenemos un resto; los restos sucesivos mostrados arriba son 56, 42, 50. Cuando llegamos a 50 como el resto, y bajamos el "0", nos encontramos dividiendo 500 entre 74, que es el mismo problema con el que comenzamos. Por lo tanto, el decimal se repite: 0.0675 675 675 .....

Cada número racional es un decimal final o repetido

Para cualquier divisor dado, solo pueden ocurrir un número finito de residuos diferentes. En el ejemplo anterior, los 74 residuos posibles son 0, 1, 2, ..., 73. Si en cualquier punto de la división el residuo es 0, la expansión termina en ese punto. Entonces, la longitud de la repetición, también llamada "período", se define como 0.

Si 0 nunca ocurre como resto, entonces el proceso de división continúa para siempre y, finalmente, debe ocurrir un resto que haya ocurrido antes. El siguiente paso en la división producirá el mismo dígito nuevo en el cociente y el mismo resto nuevo, ya que la vez anterior el resto era el mismo. Por lo tanto, la siguiente división repetirá los mismos resultados. La secuencia repetida de dígitos se llama "repetición" que tiene una cierta longitud mayor que 0, también llamada "punto". ^[4]

Cada decimal que se repite o termina es un número racional

Cada número decimal periódico satisface una ecuación lineal con coeficientes enteros, y su única solución es un número racional. Para ilustrar este último punto, el número α = 5,8144144144 ... anteriormente satisface la ecuación 10000 α - 10 α = 58.144,144144 ... - 58.144144 ... = 58086 , cuya solución es α = 58 086 / 9 990 = 3 227 / 555 . El proceso de cómo encontrar estos coeficientes enteros se describe a continuación .

Tabla de valores

• fracción	expansión decimal	ℓ 10
  1 / 2	0,5	0
  1 / 3	0. 3	1
  1 / 4	0,25	0
  1 / 5	0,2	0
  1 / 6	0,1 6	1
  1 / 7	0. 142857	6
  1 / 8	0,125	0
  1 / 9	0, 1	1
  1 / 10	0,1	0
  1 / 11	0. 09	2
  1 / 12	0,08 3	1
  1 / 13	0. 076923	6
  1 / 14	0,0 714285	6
  1 / 15	0,0 6	1
  1 / 16	0.0625	0

• fracción	expansión decimal	ℓ 10
  1 / 17 de	0. 0588235294117647	dieciséis
  1 / 18	0,0 5	1
  1 / 19 de	0. 052631578947368421	18
  1 / 20	0,05	0
  1 / 21 de	0. 047619	6
  1 / 22 de	0,0 45	2
  1 / 23 de	0. 0434782608695652173913	22
  1 / 24	0,041 6	1
  1 / 25	0,04	0
  1 / 26 de	0,0 384615	6
  1 / 27 de	0. 037	3
  1 / 28 de	0,03 571428	6
  1 / 29 de	0. 0344827586206896551724137931	28
  1 / 30 de	0,0 3	1
  1 / 31 de	0. 032258064516129	15

• fracción	expansión decimal	ℓ 10
  1 / 32	0.03125	0
  1 / 33	0. 03	2
  1 / 34	0,0 2941176470588235	dieciséis
  1 / 35	0,0 285714	6
  1 / 36	0,02 7	1
  1 / 37	0. 027	3
  1 / 38	0,0 263157894736842105	18
  1 / 39	0. 025641	6
  1 / 40	0,025	0
  1 / 41	0. 02439	5
  1 / 42	0,0 238095	6
  1 / 43	0. 023255813953488372093	21
  1 / 44	0,02 27	2
  1 / 45	0,0 2	1
  1 / 46	0.0 2173913043478260869565	22

De este modo fracción es la fracción unidad 1 / n y ℓ ₁₀ es la longitud de la repetend (decimal).

Las longitudes de las repeticiones de 1 / n , n = 1, 2, 3, ..., son:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (secuencia A051626 en la OEIS ).

Las repeticiones de 1 / n , n = 1, 2, 3, ..., son:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (secuencia A036275 en la OEIS ).

Las longitudes repetidas de 1 / p , p = 2, 3, 5, ... ( n- ésimo primo), son:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (secuencia A002371 en la OEIS ).

Los primos mínimos p para los cuales 1 / p tiene una longitud repetida n , n = 1, 2, 3, ..., son:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (secuencia A007138 en la OEIS ).

Los primos mínimos p para los cuales k / p tiene n ciclos diferentes ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., son:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (secuencia A054471 en la OEIS ).

A modo de comparación, las longitudes de las repeticiones de las fracciones binarias 1 / n , n = 1, 2, 3, ..., son:

1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 1, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 1, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (secuencia A007733 en la OEIS ) .

Fracciones con denominadores primos

Una fracción en los términos más bajos con un denominador primo distinto de 2 o 5 (es decir, coprime a 10) siempre produce un decimal periódico. La longitud de la repetición (período del segmento decimal repetido) de 1 / p es igual al orden de 10 módulo p . Si 10 es una raíz primitiva módulo p , la longitud repetend es igual a p  - 1; si no, la longitud repetida es un factor de p  - 1. Este resultado se puede deducir del pequeño teorema de Fermat , que establece que 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p) .

La repetición en base 10 del recíproco de cualquier número primo mayor que 5 es divisible por 9. ^[5]

Si la longitud repetend de 1 / p para primer p es igual a p  - 1, entonces el repetend, expresado como un número entero, que se llama un número cíclico .

Números cíclicos

Artículo principal: Número cíclico

Ejemplos de fracciones pertenecientes a este grupo son:

• 1 / 7 = 0. 142.857 , 6 dígitos de repetición
• 1 / 17 = 0. 0588235294117647 , 16 dígitos que se repiten
• 1 / 19 = 0. 052631578947368421 , 18 dígitos que se repiten
• 1 / 23 = 0. 0434782608695652173913 , 22 dígitos que se repiten
• 1 / 29 = 0. 0344827586206896551724137931 , 28 dígitos que se repiten
• 1 / 47 = 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 dígitos que se repiten
• 1 / 59 = 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 dígitos que se repiten
• 1 / 61 = 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 dígitos que se repiten
• 1 / 97 = 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 dígitos que se repiten

La lista puede seguir para incluir las fracciones 1 / 109 , 1 / 113 , 1 / 131 , 1 / 149 , 1 / 167 , 1 / 179 , 1 / 181 , 1 / 193 , etc. (secuencia A001913 en la OEIS ) .

Cada múltiplo propio de un número cíclico (es decir, un múltiplo que tiene el mismo número de dígitos) es una rotación:

• 1 / 7 = 1 × 0,142857 ... = 0,142857 ...
• 2 / 7 = 2 × 0,142857 ... = 0,285714 ...
• 3 / 7 = 3 x 0,142857 = 0,428571 ... ...
• 4 / 7 = 4 x 0,142857 = 0,571428 ... ...
• 5 / 7 = 5 x 0,142857 = 0,714285 ... ...
• 6 / 7 = 6 x 0,142857 = 0,857142 ... ...

La razón para el comportamiento cíclico es evidente a partir de un ejercicio aritmética de división larga de 1 / 7 : los restos secuenciales son la secuencia cíclica {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Consulte también el artículo 142.857 para conocer más propiedades de este número cíclico.

Por tanto, una fracción cíclica tiene un decimal recurrente de longitud uniforme que se divide en dos secuencias en forma de complemento de nueves . Por ejemplo 1 / 7 aperturas '142' y es seguido por '857', mientras que 6 / 7 (por rotación) se inicia '857' seguido por sus nueves complemento '142'.

Un primo propio es un primo p que termina en el dígito 1 en base 10 y cuyo recíproco en base 10 tiene un repetido con longitud p  - 1. En tales números primos, cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece en la repetición. secuenciar el mismo número de veces al igual que cada otro dígito (a saber, p  - 1 / 10 veces). Ellos son: ^{[6] : 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861, ... (secuencia A073761 en la OEIS ).

Un primo es un primo adecuado si y solo si es un primo de repetición completo y congruente con 1 mod 10.

Si un primo p es primo de repetición completo y primo seguro , entonces 1 / p producirá un flujo de p  - 1 dígitos pseudoaleatorios . Esos primos son

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, ... (secuencia A000353 en la OEIS ).

Otros recíprocos de primos

Algunos recíprocos de primos que no generan números cíclicos son:

• 1 / 3 = 0. 3 , que tiene un período (longitud repetend) de 1.
• 1 / 11 = 0. 09 , que tiene un período de 2.
• 1 / 13 = 0. 076.923 , que tiene un período de 6.
• 1 / 31 = 0. 032258064516129 , que tiene un período de 15.
• 1 / 37 = 0. 027 , que tiene un período de 3.
• 1 / 41 = 0. 02439 , que tiene un período de 5.
• 1 / 43 = 0. 023255813953488372093 , que tiene un período de 21.
• 1 / 53 = 0. 0188679245283 , que tiene un período de 13.
• 1 / 67 = 0. 014925373134328358208955223880597 , que tiene un período de 33.

(secuencia A006559 en la OEIS )

La razón es que 3 es un divisor de 9, 11 es un divisor de 99, 41 es un divisor de 99999, etc. Para encontrar el período de 1 / p , podemos verificar si el primo p divide algún número 999 ... 999 en el que el número de dígitos divide p  - 1. Dado que el período nunca es mayor que p  - 1, podemos obtener esto calculando 10 ^{p −1} - 1 / p . Por ejemplo, por 11 obtenemos

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

y luego, mediante inspección, encuentre la repetición 09 y el período de 2.

Los recíprocos de los números primos se pueden asociar con varias secuencias de decimales repetidos. Por ejemplo, los múltiplos de 1 / 13 se pueden dividir en dos conjuntos, con diferentes repetends. El primer conjunto es:

• 1 / 13 = 0,076923 ...
• 10 / 13 = 0,769230 ...
• 9 / 13 = 0,692307 ...
• 12 / 13 = 0,923076 ...
• 3 / 13 = 0,230769 ...
• 4 / 13 = 0,307692 ...,

donde la repetición de cada fracción es una reordenación cíclica de 076923. El segundo conjunto es:

• 2 / 13 = 0,153846 ...
• 7 / 13 = 0,538461 ...
• 5 / 13 = 0,384615 ...
• 11 / 13 = 0,846153 ...
• 6 / 13 = 0,461538 ...
• 8 / 13 = 0,615384 ...,

donde la repetición de cada fracción es una reordenación cíclica de 153846.

En general, el conjunto de múltiplos propios de recíprocos de un primo p consta de n subconjuntos, cada uno con longitud repetida  k , donde nk  =  p  - 1.

Regla Totient

Para un entero arbitrario n , la longitud L ( n ) del repetido decimal de 1 / n divide φ ( n ), donde φ es la función totient . La longitud es igual a φ ( n ) si y solo si 10 es una raíz primitiva módulo n . ^[7]

En particular, se sigue que L ( p ) = p - 1 si y solo si p es un primo y 10 es una raíz primitiva módulo p . Entonces, las expansiones decimales de n / p para n = 1, 2, ..., p  - 1, todas tienen período p  - 1 y difieren solo por una permutación cíclica. Tales números p se denominan primos repetidos completos .

Recíprocos de números enteros compuestos coprime a 10

Si p es un número primo distinto de 2 o 5, la representación decimal de la fracción 1 / p ^{2 se} repite:

1 / 49 = 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

El período (longitud repetida) L (49) debe ser un factor de λ (49) = 42, donde λ ( n ) se conoce como función de Carmichael . Esto se sigue del teorema de Carmichael, que establece que si n es un número entero positivo, entonces λ ( n ) es el número entero más pequeño m tal que

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

para cada entero una que es primos entre sí a n .

El período de 1 / p ² suele ser pT _p , donde T _p es el período de 1 / p . Hay tres primos conocidos para los cuales esto no es cierto, y para ellos el período de 1 / p ² es el mismo que el período de 1 / p porque p ² divide 10 ^{p −1} −1. Estos tres números primos son 3, 487 y 56598313 (secuencia A045616 en el OEIS ). ^[8]

De manera similar, el período de 1 / p ^k suele ser p ^{k –1} T _p

Si p y q son números primos distintos de 2 o 5, la representación decimal de la fracción 1 / pq repeticiones. Un ejemplo es 1 / 119 :

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = MCM ( λ (7), λ (17)) = MCM (6, 16) = 48,

donde LCM denota el mínimo común múltiplo .

El período T de 1 / pq es un factor de λ ( pq ) y resulta ser 48 en este caso:

1 / 119 = 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

El periodo T de 1 / pq es LCM ( T _p ,  T _q ), donde T _p es el periodo de 1 / p y T _q es el periodo de 1 / q .

Si p , q , r , etc.son primos distintos de 2 o 5, y k , l , m , etc.son enteros positivos, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{l}r^{m}\cdots }}}$

es un decimal periódico con un período de

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{l}},T_{r^{m}},\ldots )}$

donde T _{p ^k} , T _{q ^l} , T _{r ^m} , ... son respectivamente el período de los decimales repetidos 1 / p ^k , 1 / q ^l , 1 / r ^m , ... como se definió anteriormente.

Recíprocos de números enteros no coprime a 10

Un número entero que no es coprime a 10 pero que tiene un factor primo distinto de 2 o 5 tiene un recíproco que eventualmente es periódico, pero con una secuencia de dígitos no repetida que precede a la parte repetida. El recíproco se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}5^{b}p^{k}q^{l}\cdots }}\,,}$

donde a y b no son ambos cero.

Esta fracción también se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{l}\cdots }}\,,}$

si a > b , o como

${\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{l}\cdots }}\,,}$

si b > a , o como

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{l}\cdots }}\,,}$

si a = b .

El decimal tiene:

• Un transitorio inicial de max ( a ,  b ) dígitos después del punto decimal. Algunos o todos los dígitos del transitorio pueden ser ceros.
• Una repetición posterior que es la misma que la de la fracción 1 / p ^k q ^l ⋯ .

Por ejemplo 1 / 28 = 0,03 571 428 :

• a = 2, b = 0 y los demás factores p ^k q ^l ⋯ = 7
• hay 2 dígitos iniciales no repetidos, 03; y
• hay 6 dígitos que se repiten, 571 428, la misma cantidad que 1 / 7 tiene.

Convertir decimales periódicos a fracciones

Dado un decimal periódico, es posible calcular la fracción que lo produjo. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=0.333333\ldots \\10x&=3.333333\ldots \quad &{\text{(multiplying each side of the above line by 10)}}\\9x&=3&{\text{(subtracting the 1st line from the 2nd)}}\\x&={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}&{\text{(reducing to lowest terms)}}\\\end{alignedat}}}$

Otro ejemplo:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=\ \ \ \ 0.836363636\ldots \\10x&=\ \ \ \ 8.36363636\ldots \quad &{\text{(multiplying by a power of 10 to move decimal to start of repetition)}}\\1000x&=836.36363636\ldots &{\text{(multiplying by a power of 100 to move decimal to end of first repeating decimal)}}\\990x&=828&{\text{(subtracting to clear decimals)}}\\x&={\frac {828}{990}}={\frac {18\times 46}{18\times 55}}={\frac {46}{55}}.\end{alignedat}}}$

Un atajo

El procedimiento siguiente se puede aplicar en particular si la repetición tiene n dígitos, todos los cuales son 0 excepto el final que es 1. Por ejemplo, para n  = 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

Así que este particular corresponde decimal periódico a la fracción 1 / 10 ⁿ  - 1 , donde el denominador es el número escrito como n dígitos 9. Conociendo sólo eso, un decimal de repetición general puede ser expresado como una fracción sin tener que resolver una ecuación. Por ejemplo, se podría razonar:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\times 2}{9\times 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\times 73+10\times 2}{10\times 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

Es posible obtener una fórmula general que exprese un decimal periódico con un período de n dígitos (longitud repetida), comenzando justo después del punto decimal, como una fracción:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

Más explícitamente, se obtienen los siguientes casos:

Si el decimal repetido está entre 0 y 1, y el bloque repetido tiene una longitud de n dígitos, primero ocurre justo después del punto decimal, entonces la fracción (no necesariamente reducida) será el número entero representado por el bloque de n dígitos dividido por el uno representado por n dígitos 9. Por ejemplo,

• 0.444444 ... = 4 / 9 puesto que el bloque de repetición es 4 (un bloque 1 dígitos),
• 0.565656 ... = 56 / 99 puesto que el bloque de repetición es 56 (un bloque de 2 dígitos),
• 0.012012 ... = 12 / 999 desde el bloque de repetición es 012 (un bloque de 3 dígitos); Esto reduce aún más a 4 / 333 .
• 0.999999 ... = 9 / 9 = 1, puesto que el bloque de repetición es 9 (también un bloque 1 dígitos)

Si el decimal repetido es como el anterior, excepto que hay k dígitos (extra) 0 entre el punto decimal y el bloque de n dígitos repetidos , entonces uno puede simplemente agregar k dígitos 0 después de los n dígitos 9 del denominador (y, como antes, la fracción puede simplificarse posteriormente). Por ejemplo,

• 0.000444 ... = 4 / 9 000 desde el bloque de repetición es de 4 y este bloque es precedida por 3 ceros,
• 0.005656 ... = 56 / 9900 desde el bloque de repetición es 56 y está precedido por 2 ceros,
• 0.00012012 ... = 12 / 99,9 mil = 1 / 8325 puesto que el bloque de repetición es 012 y es precedida por 2 ceros.

Cualquier decimal periódico que no sea de la forma descrita anteriormente se puede escribir como una suma de un decimal final y un decimal periódico de uno de los dos tipos anteriores (en realidad, el primer tipo es suficiente, pero eso podría requerir que el decimal final sea negativo). Por ejemplo,

• 1,23444 ... = 1,23 + 0,00444 ... = 123 / 100 + 4 / 900 = 1107 / 900 + 4 / 900 = 1,111 / 900
  • o alternativamente 1,23444 ... = 0,79 + 0,44444 ... = 79 / 100 + 4 / 9 = 711 / 900 + 400 / 900 = 1 111 / 900
• 0.3789789 ... = 0,3 + 0,0789789 ... = 3 / 10 + 789 / 9.990 = 2.997 / 9.990 + 789 / 9.990 = 3,786 / 9.990 = 631 / 1665
  • o alternativamente 0.3789789 ... = -0,6 + 0,9789789 ... = - 6 / 10 + 978/999 = - 5.994 / 9 990 + 9.78 mil / 9 990 = 3786 / 9 990 = 631 / 1,665

Un método aún más rápido es ignorar el punto decimal por completo e ir así

• 1,23444 ... = 1234 a 123 / 900 = 1.111 mil / 900 (denominador tiene un 9 y dos 0s porque uno repeticiones dígitos y hay dos dígitos no repetidos después del punto decimal)
• 0.3789789 ... = 3789-3 / 9,990 = 3,786 / 9,990 (denominador tiene tres 9s y un 0 porque tres dígitos repetir y hay un dígito que no se repite después del punto decimal)

De ello se deduce que cualquier decimal periódico con período n , y k dígitos después del punto decimal que no pertenezcan a la parte repetida, se puede escribir como una fracción (no necesariamente reducida) cuyo denominador es (10 ⁿ  - 1) 10 ^k .

A la inversa, el período del decimal periódico de una fracción c / d será (como máximo) el número más pequeño n tal que 10 ⁿ  - 1 es divisible por d .

Por ejemplo, la fracción 2 / 7 tiene d = 7, y el más pequeño k que hace 10 ^k  - 1 divisible por 7 se k = 6, porque 999.999 = 7 × 142857. El período de la fracción 2 / 7 es por lo tanto 6.

Repetir decimales como series infinitas

Un decimal periódico también se puede expresar como una serie infinita . Es decir, un decimal periódico se puede considerar como la suma de un número infinito de números racionales. Para tomar el ejemplo más simple,

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

La serie anterior es una serie geométrica con el primer término como 1 / 10 y el factor común 1 / 10 . Debido a que el valor absoluto del factor común es menor que 1, podemos decir que la serie geométrica converge y encuentra el valor exacto en forma de fracción usando la siguiente fórmula donde a es el primer término de la serie yr es el factor común.

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

Similar,

${\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}$

Multiplicación y permutación cíclica

Artículo principal: Entero transponible

El comportamiento cíclico de los decimales repetidos en la multiplicación también conduce a la construcción de números enteros que se permutan cíclicamente cuando se multiplican por ciertos números. Por ejemplo, 102564 × 4 = 410256 . 102564 es el repetend de 4 / 39 y 410.256 el repetend de 16 / 39 .

Otras propiedades de las longitudes repetidas

Mitchell ^[9] y Dickson dan varias propiedades de las longitudes repetidas (períodos) . ^[10]

• El período de 1 / k para el entero k es siempre ≤  k  - 1.

• Si p es primo, el período de 1 / p se divide uniformemente en p  - 1.

• Si k es compuesto, el período de 1 / k es estrictamente menor que k  - 1.

• El período de c / k , para c coprime a k , es igual al período de 1 / k .

• Si k  = 2 ^a 5 ^b n donde n  > 1 y n no es divisible entre 2 o 5, entonces la longitud del transitorio de 1 / k es max ( a ,  b ), y el período es igual a r , donde r es el entero más pequeño tal que 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .

• Si p , p ′ , p ″ , ... son primos distintos, entonces el período de 1 / p p ′ p ″ ⋯ es igual al mínimo común múltiplo de los períodos de 1 / p , 1 / p ′ , 1 / p ″ , ....

• Si k y k ′ no tienen factores primos comunes distintos de 2 o 5, entonces el período de 1 / kk ′ es igual al mínimo común múltiplo de los períodos de 1 / k y 1 / k ′ .

• Para primo p , si

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

para algunos m , pero

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),}$

entonces para c  ≥ 0 tenemos

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).}$

• Si p es un número primo propio que termina en 1, es decir, si el repetido de 1 / p es un número cíclico de longitud p  - 1 yp = 10 h  + 1 para alguna h , entonces cada dígito 0, 1, .. ., 9 aparece en la repetend exactamente h =  p  - 1 / 10 veces.

Para conocer otras propiedades de los repeticiones, consulte también. ^[11]

Ampliación a otras bases

Varias características de los decimales repetidos se extienden a la representación de números en todas las demás bases enteras, no solo en la base 10:

• Cualquier número real se puede representar como una parte entera seguida de un punto de base (la generalización de un punto decimal a sistemas no decimales) seguido de un número finito o infinito de dígitos .
• Si la base es un número entero, una secuencia de terminación obviamente representa un número racional.
• Un número racional tiene una secuencia de terminación si todos los factores primos del denominador de la forma fraccionaria completamente reducida también son factores de la base. Estas cifras representan un conjunto denso en Q y R .
• Si el sistema de numeración posicional es estándar, es decir, tiene base

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}}$

combinado con un conjunto consecutivo de dígitos

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}}$

con r  : = | b | , d _r  : = d ₁ + r - 1 y 0 ∈ D , entonces una secuencia de terminación es obviamente equivalente a la misma secuencia con una parte repetida no terminante que consiste en el dígito 0. Si la base es positiva, entonces existe un orden homomorfismo del orden lexicográfico de las cadenas infinitas del lado derecho sobre el alfabeto D en algún intervalo cerrado de los reales, que mapea las cadenas 0. A ₁ A ₂ ... A_n d _b y0. A ₁ A ₂ ... ( A _n +1) d ₁ con A _i ∈ D y A _n ≠ d _b para el mismo número real - y no hay otras imágenes duplicadas. En el sistema decimal, por ejemplo, hay 0.9 = 1.0 = 1; en elternario equilibradosistema no es 0.1 = 1.T =  1 / 2 .

• Un número racional tiene una secuencia repetida indefinidamente de longitud finita l , si el denominador de la fracción reducida contiene un factor primo que no es un factor de la base. Si q es el factor máximo del denominador reducido que es coprime a la base, l es el exponente más pequeño tal que q divide b ^l - 1 . Es el orden multiplicativo ord _q ( b ) de la clase de residuo b mod q el cual es un divisor de la función de Carmichael λ ( q ) que a su vez es menor queq . La secuencia repetida está precedida por un transitorio de longitud finita si la fracción reducida también comparte un factor primo con la base. Una secuencia que se repite

${\displaystyle (0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{l}}})_{b}}$

representa la fracción

${\displaystyle {\frac {\left({A_{1}A_{2}\ldots A_{l}}\right)_{b}}{b^{l}-1}}}$.

• Un número irracional tiene una representación de longitud infinita que no es, desde ningún punto, una secuencia repetida indefinidamente de longitud finita.

Por ejemplo, en duodecimal , 1 / 2 = 0,6, 1 / 3 = 0,4, 1 / 4 = 0,3 y 1 / 6 = 0,2 todo terminar; 1 / 5 = 0. 2497 repeticiones con longitud de periodo 4, en contraste con la expansión decimal equivalente de 0,2; 1 / 7 = 0. 186 ᘔ 35 tiene período de 6 en duodecimal, tal como lo hace en decimal.

Si b es una base entera y k es un número entero,

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+{\frac {(b-k)^{4}}{b^{5}}}+\cdots +{\frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots }$

Por ejemplo 1 / 7 en duodecimal:

1 / 7 = ( 1 / 10 + 5 / 10 ² + 21 / 10 ³ + ᘔ 5 / 10 ⁴ + 441 / 10 ⁵ + 1985 / 10 ⁶ + ...) _{base 12}

que es 0. 186 ᘔ 35 (base 12). 10 (base 12) es 12 (base 10), 10 ² (base 12) es 144 (base 10), 21 (base 12) es 25 (base 10), ᘔ 5 (base 12) es 125 (base 10),. ..

Algoritmo para bases positivas

Para un 0 < p / q <1 racional (y base b ∈ N _{> 1} ) existe el siguiente algoritmo que produce la repetición junto con su longitud:

función  b_adic ( b , p , q )  // b ≥ 2; 0 <p <q  dígitos estáticos  = "0123 ..." ; // hasta el dígito con valor b – 1 begin s = "" ; // la cadena de dígitos pos = 0 ; // todos los lugares están justo al punto de la base mientras no están definidos ( ocurre [ p ]) sí ocurre [ p ] = pos ; // la posición del lugar con el resto p bp                     =  b * p ; z = piso ( bp / q ) ; // índice z del dígito dentro de: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p - z * q ; // 0 ≤ p <q si p = 0 entonces L = 0 ; retorno ( s ) ; finaliza si s = s . subcadena ( dígitos , z , 1 ) ;                          // añadir el carácter del dígito  pos  + =  1 ;  end  while  L  =  pos  -  ocurre [ p ] ;  // la longitud de la repetición (siendo <q)  // marcar los dígitos de la repetición con un vinculum:  para  i  de  ocurre [ p ]  a  pos - 1  do  substring ( s ,  i ,  1 )  =  overline ( substring ( s ,  yo ,  1)) ;  fin  de  devolución  ( es ) ; función final 

La primera línea resaltada en amarillo calcula el dígito z .

La línea siguiente calcula el nuevo resto p ′ de la división módulo el denominador q . Como consecuencia de la función de suelo floor tenemos

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

por lo tanto

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

y

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

Debido a que todos estos residuos p son números enteros no negativos menores que q , solo puede haber un número finito de ellos con la consecuencia de que deben repetirse en el whileciclo. Tal recurrencia es detectada por la matriz asociativa occurs . El nuevo dígito z se forma en la línea amarilla, donde p es la única no constante. La longitud L de la repetición es igual al número de restos (consulte también la sección Cada número racional es un decimal final o repetido ).

Aplicaciones a la criptografía

Los decimales repetidos (también llamados secuencias decimales) han encontrado aplicaciones de codificación criptográfica y de corrección de errores. ^[12] En estas aplicaciones se utilizan generalmente decimales repetidos hasta la base 2, lo que da lugar a secuencias binarias. La secuencia binaria de longitud máxima para 1 / p (cuando 2 es una raíz primitiva de p ) viene dada por: ^[13]

${\displaystyle a(i)=2^{i}~{\bmod {p}}~{\bmod {2}}}$

Estas secuencias de período p  - 1 tienen una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de -1 para cambio de p  - 1 / 2 . La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante pruebas intransigentes . ^[14]

Ver también

• Representación decimal
• Prime reptend completo
• Teorema de midy
• Número de parásitos
• Cero final
• Prima única
• 0.999 ... , un decimal periódico igual a uno

Referencias y comentarios

1. Courant, R. y Robbins, H. ¿Qué son las matemáticas ?: Un enfoque elemental de ideas y métodos, 2ª ed. Oxford, Inglaterra: Oxford University Press, 1996: pág. 67.
2. Beswick, Kim (2004), "¿Por qué 0.999 ... = 1 ?: Una pregunta perenne y sentido numérico", Profesor de matemáticas australiano , 60 (4): 7-9
3. A partir del 1 de febrero de 2018, los generales están limitados a 1 o 2 dígitos en Wikipedia.
4. Para una base b y un divisor n , en términos de teoría de grupos esta longitud divide

   ${\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(b):=\min\{L\in \mathbb {N} \,\mid \,b^{L}\equiv 1{\text{ mod }}n\}}$

   (con aritmética modular ≡ 1 mod n ) que divide la función de Carmichael

   ${\displaystyle \lambda (n):=\max\{\operatorname {ord} _{n}(b)\,\mid \,\gcd(b,n)=1\}}$

   que nuevamente divide la función totient de Euler φ ( n ).
5. Gray, Alexander J., "Raíces digitales y recíprocos de números primos", Gaceta matemática 84.09, marzo de 2000, 86.
6. Dickson, LE, Historia de la teoría de los números , volumen 1, Chelsea Publishing Co., 1952.
7. William E. Heal. Algunas propiedades de las repeticiones. Annals of Mathematics, vol. 3, núm. 4 (agosto de 1887), págs. 97-103
8. Albert H. Beiler, Recreaciones en la teoría de los números , p 79
9. Mitchell, Douglas W., "Un generador de números aleatorios no lineal con una longitud de ciclo larga conocida", Cryptologia 17, enero de 1993, 55-62.
10. Dickson, Leonard E. , Historia de la teoría de los números , vol. Yo , Chelsea Publ. Co., 1952 (orig. 1918), 164-173.
11. Armstrong, NJ y Armstrong, RJ, "Algunas propiedades de repetends", Mathematical Gazette 87, noviembre de 2003, 437–443.
12. Kak, Subhash, Chatterjee, A. "Sobre secuencias decimales". Transacciones IEEE sobre teoría de la información, vol. IT-27, págs. 647–652, septiembre de 1981.
13. Kak, Subhash, "Cifrado y corrección de errores mediante secuencias d". IEEE Trans. On Computers, vol. C-34, págs. 803–809, 1985.
14. Bellamy, J. "Aleatoriedad de secuencias D a través de pruebas intransigentes". 2013. arXiv: 1312.3618

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Decimal de repetición" . MathWorld .