En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo Janko J 1 es un grupo simple esporádico de orden
- 2 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175560
- ≈ 2 × 10 5 .
Historia
J 1 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descrito originalmente por Zvonimir Janko en 1965. Es el único grupo de Janko cuya existencia fue probada por el propio Janko y fue el primer grupo esporádico que se encontró desde el descubrimiento de los grupos de Mathieu en el Siglo 19. Su descubrimiento lanzó la teoría moderna de los grupos esporádicos .
En 1986, Robert A. Wilson demostró que J 1 no puede ser un subgrupo del grupo de monstruos . [1] Por lo tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .
J 1 no tiene automorfismos externos y su multiplicador de Schur es trivial.
Propiedades
J 1 se puede caracterizar abstractamente como el único grupo simple con subgrupos abelianos 2-Sylow y con una involución cuyo centralizador es isomorfo al producto directo del grupo de orden dos y el grupo alterno A 5 de orden 60, es decir, el grupo icosaédrico rotacional . Esa era la concepción original de Janko del grupo. De hecho, Janko y Thompson estaban investigando grupos similares a los grupos Ree 2 G 2 (3 2 n +1 ), y demostraron que si un grupo G simple tiene subgrupos Sylow 2 abelianos y un centralizador de una involución de la forma Z / 2 Z × PSL 2 ( q ) para q una potencia principal al menos 3, entonces q es una potencia de 3 y G tiene el mismo orden que un grupo Ree (más tarde se demostró que G debe ser un grupo Ree en este caso) o q es 4 o 5. Tenga en cuenta que PSL 2 ( 4 ) = PSL 2 ( 5 ) = A 5 . Este último caso excepcional dio lugar al grupo Janko J 1 .
J 1 está contenido en el grupo de O'Nan como el subgrupo de elementos fijados por un automorfismo externo de orden 2.
Construcción
Janko encontró una representación modular en términos de matrices ortogonales de 7 × 7 en el campo de once elementos , con generadores dados por
y
Y tiene el orden 7 y Z tiene el orden 5. Janko (1966) le dio crédito a WA Coppel por reconocer esta representación como una incrustación en el grupo simple G 2 (11) de Dickson (que tiene una representación de 7 dimensiones sobre el campo con 11 elementos).
También hay un par de generadores a, b tales que
- a 2 = b 3 = (ab) 7 = (abab −1 ) 10 = 1
J 1 es, por tanto, un grupo de Hurwitz , una imagen homomórfica finita del grupo triangular (2,3,7) .
Subgrupos máximos
Janko (1966) encontró las 7 clases de conjugación de subgrupos máximos de J 1 que se muestran en la tabla. Los subgrupos simples máximos de orden 660 dan a J 1 una representación de permutación de grado 266. Encontró que hay 2 clases de conjugación de subgrupos isomorfos al grupo alterno A 5 , ambos encontrados en los subgrupos simples de orden 660. J 1 tiene no abelianos subgrupos propios simples de solo 2 tipos de isomorfismo.
Estructura | Pedido | Índice | Descripción |
---|---|---|---|
PSL 2 (11) | 660 | 266 | Corrige el punto en la representación de permutación más pequeña |
2 3 .7.3 | 168 | 1045 | Normalizador de Sylow 2-subgrupo |
2 × A 5 | 120 | 1463 | Centralizador de involución |
19,6 | 114 | 1540 | Normalizador del subgrupo 19 de Sylow |
11.10 | 110 | 1596 | Normalizador de 11 subgrupos de Sylow |
D 6 × D 10 | 60 | 2926 | Normalizador de Sylow 3-subgrupo y Sylow 5-subgrupo |
7,6 | 42 | 4180 | Normalizador de Sylow 7-subgrupo |
La notación A . B significa un grupo con un subgrupo normal A con cociente B , y D 2 n es el grupo diedro de orden 2 n .
Número de elementos de cada pedido
El orden más grande de cualquier elemento del grupo es 19. Los órdenes y tamaños de las clases de conjugación se encuentran en el ATLAS.
Pedido | No elementos | Conjugado |
---|---|---|
1 = 1 | 1 = 1 | 1 clase |
2 = 2 | 1463 = 7 · 11 · 19 | 1 clase |
3 = 3 | 5852 = 2 2 · 7 · 11 · 19 | 1 clase |
5 = 5 | 11704 = 2 3 · 7 · 11 · 19 | 2 clases, potencia equivalente |
6 = 2 · 3 | 29260 = 2 2 · 5 · 7 · 11 · 19 | 1 clase |
7 = 7 | 25080 = 2 3 · 3 · 5 · 11 · 19 | 1 clase |
10 = 2 · 5 | 35112 = 2 3 · 3 · 7 · 11 · 19 | 2 clases, potencia equivalente |
11 = 11 | 15960 = 2 3 · 3 · 5 · 7 · 19 | 1 clase |
15 = 3 · 5 | 23408 = 2 4 · 7 · 11 · 19 | 2 clases, potencia equivalente |
19 = 19 | 27720 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 3 clases, potencia equivalente |
Referencias
- ^ Wilson (1986). "¿Es J 1 un subgrupo del Monstruo?". Boletín de la London Mathematical Society . 18 (4): 349–350. doi : 10.1112 / blms / 18.4.349 .
- Chevalley, Claude (1995) [1967], "Le groupe de Janko", Séminaire Bourbaki, vol. 10 , París: Société Mathématique de France , págs. 293–307, MR 1610425
- Robert A. Wilson (1986). ¿Es J 1 un subgrupo del monstruo? , Toro. London Math. Soc. 18, no. 4 (1986), 349-350
- RT Curtis, (1993) Representaciones simétricas II: El grupo Janko J1 , J. London Math. Soc., 47 (2), 294-308.
- RT Curtis, (1996) Representación simétrica de elementos del grupo Janko J1 , J. Symbolic Comp., 22, 201-214.
- Zvonimir Janko, Un nuevo grupo simple finito con subgrupos abelianos de Sylow , Proc. Natl. Acad. Sci. Estados Unidos 53 (1965) 657-658.
- Zvonimir Janko, Un nuevo grupo simple finito con subgrupos abelianos de Sylow y su caracterización , Journal of Algebra 3: 147-186, (1966) doi : 10.1016 / 0021-8693 (66) 90010-X
- Zvonimir Janko y John G. Thompson, Sobre una clase de grupos finitos simples de Ree , Journal of Algebra, 4 (1966), 274-292.