Espacio interior del producto

En matemáticas , un espacio de producto interno (o, raramente, un espacio de Hausdorff anterior a Hilbert ^{[1] [2]} ) es un espacio vectorial real o un espacio vectorial complejo con una operación binaria llamada producto interno. El producto interno de dos vectores en el espacio es un escalar , a menudo denotado con paréntesis angulares , como en . Los productos internos permiten definiciones formales de nociones geométricas intuitivas, como longitudes, ángulos y ortogonalidad (producto interno cero) de los vectores. Los espacios de productos internos generalizan los espacios vectoriales euclidianos${\ Displaystyle \ langle a, b \ rangle}$, en el que el producto interno es el producto escalar o el producto escalar de coordenadas cartesianas . ^[3] Los espacios de productos internos de dimensión infinita se utilizan ampliamente en el análisis funcional . Los espacios de productos internos sobre el campo de números complejos a veces se denominan espacios unitarios . El primer uso del concepto de espacio vectorial con un producto interno se debe a Giuseppe Peano , en 1898. ^[4]

Un producto interno induce naturalmente una norma asociada (indicada y en la imagen); por tanto, cada espacio de producto interno es un espacio vectorial normalizado . Si este espacio normado también está completo (es decir, un espacio de Banach ), entonces el espacio interior del producto es un espacio de Hilbert . ^[1] Si un espacio con producto interno H no es un espacio de Hilbert, se puede ampliarse por la terminación a un espacio de Hilbert , esto significa que es un subespacio lineal del producto interno de es la restricción de la de y${\ Displaystyle | x |}$${\ Displaystyle | y |}$${\ Displaystyle {\ overline {H}}.}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle {\ overline {H}},}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle {\ overline {H}},}$${\ Displaystyle H}$es densa en la topología definida por la norma. ^{[1] [5]}${\ Displaystyle {\ overline {H}}}$

En este artículo, el campo de los escalares denotado es el campo de los números reales o el campo de los números complejos.${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

Formalmente, un espacio de producto interno es un espacio vectorial sobre el campo junto con un mapa.${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$

(observe la conjugación compleja del escalar en la propiedad de homogeneidad conjugada anterior). Cada producto interior es un tipo especial de forma sesquilínea.${\ Displaystyle {\ overline {s}}}$${\ Displaystyle s}$