En matemáticas , la fórmula de la traza de Arthur-Selberg es una generalización de la fórmula de la traza de Selberg del grupo SL 2 a grupos reductores arbitrarios sobre campos globales , desarrollada por James Arthur en una larga serie de artículos de 1974 a 2003. Describe el carácter de la representación de G ( A ) en la parte discreta L2
0( G ( F ) ∖ G ( A )) de L 2 ( G ( F ) ∖ G ( A )) en términos de datos geométricos, donde G es un grupo algebraico reductivo definido sobre un campo global F y A es el anillo de adeles de F .
Hay varias versiones diferentes de la fórmula de seguimiento. La primera versión fue la fórmula de trazas sin refinar , cuyos términos dependen de operadores de truncamiento y tienen la desventaja de que no son invariantes. Arthur descubrió más tarde la fórmula de trazas invariantes y la fórmula de trazas estables que son más adecuadas para las aplicaciones. La fórmula de rastreo simple ( Flicker & Kazhdan 1988 ) es menos general pero más fácil de probar. La fórmula de la traza local es análoga a los campos locales. La fórmula de traza relativa de Jacquet es una generalización en la que se integra la función del núcleo sobre subgrupos no diagonales.
Notación
- F es un campo global , como el campo de los números racionales.
- A es el anillo de adeles de F .
- G es un grupo algebraica reductora definida sobre F .
El caso compacto
En el (raro) caso en el que G ( F ) ∖ G ( A ) es compacto, la representación se divide como una suma directa de representaciones irreductibles, y la fórmula de la traza es similar a la fórmula de Frobenius para el carácter de la representación inducida a partir de la representación trivial. de un subgrupo de índice finito .
En el caso compacto, que se debe esencialmente a Selberg, los grupos G ( F ) y G ( A ) pueden ser reemplazados por cualquier subgrupo discreto Γ de un grupo localmente compacto G con Γ \ G compacto. El grupo G actúa sobre el espacio de las funciones en Γ ∖ G por la representación regular derecho R , y esto se extiende a una acción del anillo de grupo de G , considerado como el anillo de funciones f en G . El carácter de esta representación viene dado por una generalización de la fórmula de Frobenius como sigue. La acción de una función f sobre una función φ sobre Γ ∖ G está dada por
En otras palabras, R ( f ) es un operador integral en L 2 (Γ ∖ G ) (el espacio de funciones en Γ ∖ G ) con kernel
Por lo tanto, la traza de R ( f ) viene dada por
El kernel K se puede escribir como
donde O es el conjunto de clases de conjugación en Γ, y
donde γ es un elemento de la clase de conjugación o , y Γ γ es su centralizador en Γ.
Por otro lado, la traza también viene dada por
donde m (π) es la multiplicidad de la representación unitaria irreducible π de G en L 2 (Γ ∖ G ).
Ejemplos de
- Si Γ y G son ambos finitos, la fórmula de la traza es equivalente a la fórmula de Frobenius para el carácter de una representación inducida.
- Si G es el grupo R de números reales y Γ el subgrupo Z de números enteros, entonces la fórmula de rastreo se convierte en la fórmula de suma de Poisson .
Dificultades en el caso no compacto
En la mayoría de los casos de la fórmula de trazas de Arthur-Selberg, el cociente G ( F ) ∖ G ( A ) no es compacto, lo que causa los siguientes problemas (estrechamente relacionados):
- La representación en L 2 ( G ( F ) ∖ G ( A )) contiene no solo componentes discretos, sino también componentes continuos.
- El núcleo ya no es integrable sobre la diagonal y los operadores R ( f ) ya no pertenecen a la clase trace.
Arthur resolvió estos problemas truncando el kernel en las cúspides de tal manera que el kernel truncado sea integrable sobre la diagonal. Este proceso de truncamiento causa muchos problemas; por ejemplo, los términos truncados ya no son invariantes bajo la conjugación. Al manipular aún más los términos, Arthur pudo producir una fórmula de rastreo invariante cuyos términos son invariantes.
La fórmula de traza de Selberg original estudió un subgrupo discreto Γ de un grupo de Lie real G ( R ) (generalmente SL 2 ( R )). En un rango superior, es más conveniente reemplazar el grupo de Lie con un grupo adelico G ( A ). Una razón de esto es que el grupo discreto puede tomarse como el grupo de puntos G ( F ) para el campo F a (global), que es más fácil de trabajar que los subgrupos discretos de grupos de Lie. También facilita el trabajo con los operadores de Hecke .
La fórmula de trazas en el caso no compacto
Una versión de la fórmula de la traza ( Arthur 1983 ) afirma la igualdad de dos distribuciones en G ( A ):
El lado izquierdo es el lado geométrico de la fórmula de la traza y es una suma sobre las clases de equivalencia en el grupo de puntos racionales G ( F ) de G , mientras que el lado derecho es el lado espectral de la fórmula de la traza y es una suma sobre ciertas representaciones de subgrupos de G ( A ).
Distribuciones
Términos geométricos
Términos espectrales
La fórmula de la traza invariante
La versión de la fórmula de rastreo anterior no es particularmente fácil de usar en la práctica, uno de los problemas es que los términos en ella no son invariantes bajo la conjugación. Arthur (1981) encontró una modificación en la que los términos son invariantes.
La fórmula de seguimiento invariante establece
dónde
- f es una función de prueba en G ( A )
- M varía sobre un conjunto finito de subgrupos racionales de Levi de G
- ( M ( Q )) es el conjunto de clases de conjugación de M ( Q )
- Π ( M ) es el conjunto de representaciones unitarias irreductibles de M ( A )
- a M (γ) está relacionado con el volumen de M ( Q , γ) \ M ( A , γ)
- a M (π) está relacionado con la multiplicidad de la representación irreducible π en L 2 ( M ( Q ) \ M ( A ))
- está relacionado con
- está relacionado con la traza
- W 0 ( M ) es el grupo de Weyl de M .
Fórmula de traza estable
Langlands (1983) sugirió la posibilidad de un refinamiento estable de la fórmula de trazas que se puede usar para comparar la fórmula de trazas para dos grupos diferentes. Arthur (2002) encontró y probó una fórmula de trazas tan estable .
Dos elementos de un grupo G ( F ) se denominan de forma estable conjugado si son conjugado sobre el cierre algebraica del campo F . El punto es que cuando se comparan elementos en dos grupos diferentes, relacionados, por ejemplo, por torsión interna, normalmente no se obtiene una buena correspondencia entre clases de conjugación, sino solo entre clases de conjugación estables. Entonces, para comparar los términos geométricos en las fórmulas de trazas para dos grupos diferentes, uno quisiera que los términos no solo fueran invariantes bajo conjugación, sino que también se comportaran bien en clases de conjugación estables; estos se denominan distribuciones estables .
La fórmula de la traza estable escribe los términos en la fórmula de la traza de un grupo G en términos de distribuciones estables. Sin embargo, estas distribuciones estables no son distribuciones en el grupo G , pero son distribuciones en una familia de grupos quasisplit llamados los grupos endoscópicos de G . Integrales orbitales inestables en el grupo G corresponden a las integrales orbitales estables en los grupos endoscópicos H .
Fórmula de seguimiento simple
Hay varias formas simples de la fórmula de rastreo, que restringen de alguna manera las funciones de prueba f con soporte compacto ( Flicker & Kazhdan 1988 ). La ventaja de esto es que la fórmula de trazas y su demostración se vuelven mucho más fáciles, y la desventaja es que la fórmula resultante es menos poderosa.
Por ejemplo, si las funciones f son cúspides, lo que significa que
para cualquier radical unipotente N de un subgrupo parabólico propio (definido sobre F ) y cualquier x , y en G ( A ), entonces el operador R ( f ) tiene una imagen en el espacio de las formas de las cúspides, por lo que es compacto.
Aplicaciones
Jacquet y Langlands (1970) utilizaron la fórmula de trazas de Selberg para probar la correspondencia de Jacquet-Langlands entre formas automórficas en GL 2 y sus formas retorcidas. La fórmula de la traza de Arthur-Selberg se puede utilizar para estudiar correspondencias similares en grupos de rango superior. También se puede utilizar para probar varios otros casos especiales de funcionalidad de Langlands, como el cambio de base, para algunos grupos.
Kottwitz (1988) utilizó la fórmula de la traza de Arthur-Selberg para probar la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa .
Lafforgue (2002) describió cómo se usa la fórmula de la traza en su demostración de la conjetura de Langlands para grupos lineales generales sobre campos funcionales.
Ver también
Referencias
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enlaces externos
- Obras de James Arthur en el Clay institute
- Archivo de obras completas de James Arthur en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Toronto