En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador compacto es un operador lineal. , dónde son espacios vectoriales normativos , con la propiedad de quemapea subconjuntos delimitados dea subconjuntos relativamente compactos de(subconjuntos con cierre compacto en). Tal operador es necesariamente un operador acotado y, por lo tanto, continuo. [1] Algunos autores exigen que son Banach, pero la definición puede extenderse a espacios más generales.
Cualquier operador acotado que tiene rango finito es un operador compacto; de hecho, la clase de operadores compactos es una generalización natural de la clase de operadores de rango finito en un entorno de dimensión infinita. Cuándoes un espacio de Hilbert , es cierto que cualquier operador compacto es un límite de operadores de rango finito, [2] de modo que la clase de operadores compactos puede definirse alternativamente como el cierre del conjunto de operadores de rango finito en la topología de la norma . Si esto era cierto en general para los espacios de Banach (la propiedad de aproximación ) fue una cuestión sin resolver durante muchos años; en 1973, Per Enflo dio un contraejemplo, basándose en el trabajo de Grothendieck y Banach . [3]
El origen de la teoría de operadores compactos está en la teoría de ecuaciones integrales , donde los operadores integrales proporcionan ejemplos concretos de tales operadores. Una ecuación integral típica de Fredholm da lugar a un operador compacto K en espacios funcionales ; la propiedad de compacidad se muestra por equicontinuidad . El método de aproximación por operadores de rango finito es básico en la solución numérica de tales ecuaciones. La idea abstracta del operador Fredholm se deriva de esta conexión.
Formulaciones equivalentes
Un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos se dice que es compacto si existe una vecindad del origen en tal que es un subconjunto relativamente compacto de . [4]
Dejar Ser espacios normativos y un operador lineal. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes, y algunas de ellas se utilizan como definición principal por diferentes autores [5]
- es un operador compacto;
- la imagen de la bola unitaria de debajo es relativamente compacto en;
- la imagen de cualquier subconjunto acotado de debajo es relativamente compacto en;
- existe un barrio del origen en y un subconjunto compacto tal que ;
- para cualquier secuencia acotada en , la secuencia contiene una subsecuencia convergente.
Si además es Banach, estas declaraciones también son equivalentes a:
- la imagen de cualquier subconjunto acotado de debajo está totalmente acotado en.
Si un operador lineal es compacto, entonces es continuo.
Propiedades importantes
En el siguiente, son espacios de Banach, es el espacio de los operadores acotados bajo la norma del operador , y denota el espacio de operadores compactos . denota el operador de identidad en, , y .
- es un subespacio cerrado de (en la topología normalizada). De manera equivalente, [6]
- dada una secuencia de operadores compactos cartografía (dónde son Banach) y dado que converge a con respecto a la norma del operador , Entonces es compacto.
- Por el contrario, si son espacios de Hilbert, entonces cada operador compacto de es el límite de los operadores de rango finito. Cabe destacar que esta " propiedad de aproximación " es falsa para espacios generales de Banach X e Y . [5]
- En particular, forma un ideal de dos caras en.
- Cualquier operador compacto es estrictamente singular , pero no al revés. [7]
- Un operador lineal acotado entre espacios de Banach es compacto si y solo si su adjunto es compacto ( teorema de Schauder ).
- Si es un espacio de Banach y existe un operador compacto acotado invertible luego es necesariamente de dimensión finita. [8]
Ahora suponga que es un espacio de Banach y es un operador lineal compacto, y es el adjunto o transposición de T .
- Para cualquier , luego es un operador de Fredholm de índice 0. En particular, está cerrado. Esto es esencial para desarrollar las propiedades espectrales de los operadores compactos. Se puede notar la similitud entre esta propiedad y el hecho de que, si y son subespacios de dónde está cerrado y es de dimensión finita, entonces también está cerrado.
- Si es cualquier operador lineal acotado, entonces ambos y son operadores compactos. [6]
- Si entonces el rango de está cerrado y el núcleo de es de dimensión finita. [6]
- Si entonces los siguientes son finitos e iguales: [6]
- El espectro de , es compacto, contable y tiene como máximo un punto límite , que necesariamente sería el origen. [6]
- Si es de dimensión infinita entonces . [6]
- Si y luego es un valor propio de ambos y . [6]
- Para cada el conjunto es finito, y para todo distinto de cero el rango de es un subconjunto propio de X . [6]
Orígenes en la teoría de ecuaciones integrales
Una propiedad crucial de los operadores compactos es la alternativa de Fredholm , que afirma que la existencia de solución de ecuaciones lineales de la forma
(donde K es un operador compacto, f es una función dada y u es la función desconocida que se debe resolver) se comporta de manera muy similar a las dimensiones finitas. La teoría espectral de operadores compactos a continuación sigue, y que se debe a Frigyes Riesz (1918). Muestra que un operador compacto K en un espacio de Banach de dimensión infinita tiene un espectro que es un subconjunto finito de C que incluye 0, o el espectro es un subconjunto infinito numerable de C que tiene 0 como su único punto límite . Además, en cualquier caso, los elementos distintos de cero del espectro son valores propios de K con multiplicidades finitas (de modo que K - λ I tiene un núcleo de dimensión finita para todos los complejos λ ≠ 0).
Un ejemplo importante de un operador compacto es la incrustación compacta de espacios de Sobolev , que, junto con la desigualdad de Gårding y el teorema de Lax-Milgram , se puede utilizar para convertir un problema de valor de frontera elíptico en una ecuación integral de Fredholm. [9] La existencia de la solución y las propiedades espectrales se desprenden de la teoría de los operadores compactos; en particular, un problema de valor de frontera elíptico en un dominio acotado tiene infinitos valores propios aislados. Una consecuencia es que un cuerpo sólido puede vibrar solo a frecuencias aisladas, dadas por los valores propios, y siempre existen frecuencias de vibración arbitrariamente altas.
Los operadores compactos de un espacio de Banach a sí mismos forman un ideal bilateral en el álgebra de todos los operadores acotados en el espacio. De hecho, los operadores compactos en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita forman un ideal máximo, por lo que el álgebra del cociente , conocida como álgebra de Calkin , es simple . De manera más general, los operadores compactos forman un operador ideal .
Operador compacto en espacios Hilbert
Para los espacios de Hilbert, a continuación se da otra definición equivalente de operadores compactos.
Un operador en un espacio de Hilbert de dimensión infinita
se dice que es compacto si se puede escribir en la forma
dónde y son conjuntos ortonormales (no necesariamente completos), y es una secuencia de números positivos con límite cero, llamados valores singulares del operador. Los valores singulares pueden acumularse solo en cero. Si la secuencia se vuelve estacionaria en cero, eso es para algunos y cada , entonces el operador tiene rango finito, es decir , un rango de dimensión finita y se puede escribir como
El soporte es el producto escalar en el espacio de Hilbert; la suma del lado derecho converge en la norma del operador.
Una subclase importante de operadores compactos es la clase de trazas o operadores nucleares .
Operadores completamente continuos
Sean X e Y espacios de Banach. Un operador lineal acotado T : X → Y se llama completamente continuo si, para cada secuencia débilmente convergente de X , la secuenciaes norma-convergente en Y ( Conway 1985 , §VI.3). Los operadores compactos en un espacio de Banach son siempre completamente continuos. Si X es un espacio de Banach reflexivo , entonces todo operador completamente continuo T : X → Y es compacto.
De manera algo confusa, los operadores compactos a veces se denominan "completamente continuos" en la literatura más antigua, aunque no necesariamente son completamente continuos según la definición de esa frase en la terminología moderna.
Ejemplos de
- Cada operador de rango finito es compacto.
- Para y una secuencia (t n ) que converge a cero, el operador de multiplicación ( Tx ) n = t n x n es compacto.
- Para algunos g fijos ∈ C ([0, 1]; R ), defina el operador lineal T de C ([0, 1]; R ) a C ([0, 1]; R ) por Que el operador T sea de hecho compacto se deduce del teorema de Ascoli .
- De manera más general, si Ω es cualquier dominio en R n y el núcleo integral k : Ω × Ω → R es un núcleo de Hilbert-Schmidt , entonces el operador T en L 2 (Ω; R ) definido por es un operador compacto.
- Según el lema de Riesz , el operador de identidad es un operador compacto si y solo si el espacio es de dimensión finita. [10]
Ver también
- Incrustación compacta
- Operador compacto en el espacio Hilbert
- Alternativa de Fredholm
- Ecuaciones integrales de Fredholm
- Operador de Fredholm
- Teoría espectral de operadores compactos
- Operador estrictamente singular
Notas
- ^ Conway 1985 , sección 2.4
- ^ Conway 1985 , sección 2.4
- ^ Enflo 1973
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 98.
- ↑ a b Brézis, H. (2011). Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales . H .. Brézis. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. OCLC 695395895 .
- ↑ a b c d e f g h i j Rudin 1991 , págs. 103-115.
- ^ NL Carothers, Un curso corto sobre la teoría del espacio de Banach , (2005) Textos de estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres 64 , Cambridge University Press.
- ↑ a b c Conway , 1990 , págs. 173-177.
- ^ William McLean, Sistemas fuertemente elípticos y ecuaciones integrales de límites, Cambridge University Press, 2000
- ^ Kreyszig 1978 , Teoremas 2.5-3, 2.5-5.
Referencias
- Conway, John B. (1985). Un curso de análisis funcional . Springer-Verlag. Sección 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
- Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Enflo, P. (1973). "Un contraejemplo al problema de aproximación en los espacios de Banach" . Acta Mathematica . 130 (1): 309–317. doi : 10.1007 / BF02392270 . ISSN 0001-5962 . Señor 0402468 .
- Kreyszig, Erwin (1978). Análisis funcional introductorio con aplicaciones . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-50731-4.
- Kutateladze, SS (1996). Fundamentos del análisis funcional . Textos en Ciencias Matemáticas. 12 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 292. ISBN 978-0-7923-3898-7.
- Lax, Peter (2002). Análisis funcional . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143 .
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- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
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